這道像是奧數題的「填色問題」，至今無人能解決

如果給平面上所有的點都賦予一個顏色，那麼至少需要多少種顏色才能保證存在一種著色方法，使得任意兩個距離為1的點不同色？

想像一下，如果你要用矩形完全覆蓋一個8*8的棋盤，每一個矩形覆蓋棋盤上的兩個正方形。容易想到的是，你可以這麼做：你可以將四個矩形橫著排或者豎著排。你可以將它們排列成樓梯狀、同心正方形或者交錯的牙齒形狀。一共有大約一千三百萬種排列方式，每種方式都需要32個矩形，因為整個棋盤包含64個正方形而每個矩形包含兩個正方形。

但是如果我們拿掉棋盤對角上的兩個正方形會發生什麼？如果我們想用2*1的矩形覆蓋新的棋盤有多少種方式？答案是零，你不可能用2*1的矩形完全覆蓋這樣的棋盤。是什麼讓可能性從一千三百萬如此迅速的變成零？如果我們知道如何去考察這個問題，原因是很容易發現的。

把棋盤上的矩形交替的塗上亮暗兩種色塊。將會出現兩種重要的結果：1、一定有數量相同的亮暗色塊，2、關於中心對稱的兩個矩形一定具有相同的顏色。這意味著我們拿走位置相反的兩個正方形那麼亮暗色塊的數量將不再相等。但是每個2*1的矩形一定覆蓋一個亮色塊和一個暗色塊，也就是說想要2*1的矩形完全覆蓋棋盤，棋盤一定要包含相同數量的亮暗色塊才行。所以，我們的改變過的棋盤不可能被矩形完全覆蓋。

在眾多的棋盤數學題中，這是我最喜歡的一個，因為它能用令人驚奇的方式解決。誰能想到將正方形塗色是解決這個難題的關鍵？但是數學家很久之前已經利用將正方形塗色的方式解決問題。最近，平面塗色的進展使困擾數學家超過60年的問題煥發新的生機。

想像一個標準的幾何平面，沿著兩個方向無限延伸。你的任務是將面上的的無數個點塗色。你可能想把整個平面塗成紅色，或者一半紅色一半藍色，或者將色彩灑在平面上，像JacksonPollack的繪畫一樣。但是在我們塗色的過程中要遵循一個原則:如果兩個點相距一個單位長度，他們就不能塗成相同的顏色。你可以完成平面的塗色並且不打破這個規則嗎？

「當然！」你也許會說，「我可以利用無數種顏色來塗色。」這當然是一種解決方案，但是你能用有限多種顏色做到這一點嗎？進一步的，你需要多少種顏色？尋找至少需要多少種顏色的問題被稱為Hadwiger-Nelson問題，它也經常被描述為尋找平面的「色彩數」。 Hadwiger-Nelson問題在70年前最早被提出，但是至今我們也不知道最少需要多少顏色。

首先，讓我們看一下使用有限多種顏色可以做到什麼。

上面的正方形邊長2/3，想像兩個在正方形中的點，他們的距離可以是多少？正方形中 任意兩點之間的最長距離是正方形的對角線長，我們可以用勾股定理計算得到：

又因為：

我們知道正方形中任意兩點之間的距離小於1.這意味著將整個正方形塗成紅色並不違反我們的塗色原則。

接下來我們用九個這樣的小正方形組成一個大正方形，並且每個小正方形擁有它自己的顏色。

因為每個正方形顏色不同，我們依然沒有違反塗色規則。當然，因為大正方形的邊長是2 ，所以它只覆蓋4平方單位的面積、但我們可以通過複製粘貼來做出其他的部分。

我們可以像這樣覆蓋整個平面，但是這滿足相距為1的點塗不同顏色的規則嗎？只考慮紅色正方形。我們證明了紅色正方形內任意兩點之間的距離都不是1。現在，因為每個小正方形的邊長都是2/3，兩個紅色正方形之間的最小距離是2/3+2/3=4/3 。這意味著不同紅色正方形中的兩點之間的距離都大於1.結果就是，平面上沒有哪兩個紅色的點之間的距離是1。這證明了不但色彩數是有限的，而且最大是9。

稍微複雜的情況是用正六邊形來分割整個平面，這種情況下，7種顏色就足夠了。你可以用六個六邊形包圍一個六邊形並把他們塗成不同的顏色。

利用上面的構造，你可以把圖形沿著任意方向擴展。

通過合適選擇六邊形的大小，並且按照正確的方式擴展圖形，我們可以保證任意兩個相同顏色的點之間的距離都不是1。

通過上面的例子我們可以確定色彩數的上限是7，我們是都可以找到更小的色彩數?

容易看出，色彩數一定大於1，在平面上放置一個點並把它塗成藍色。

因為平面是無限延伸的，所以一定可以找到一個距離P點為1的點。

Q點需要另一種顏色，我們把它塗成紅色：

因此，平面的色彩數至少是2，那麼，兩種顏色是足夠的嗎？因為平面是無限延伸的，因此距離P為1的點有無數個。

因為P是藍色且圓上的點距離P都是1，所以圓上的點都不能是藍色。如果只使用兩種顏色意味著圓上的點都是紅色的。

現在開始考慮Q點：距離Q為1的點不能是紅色。就像P點那樣，Q點周圍有一個圓，它上面的點距離Q都是1。

Q周圍新的圓和P周圍的圓有兩個交點，我們把它們稱為R和S。R和S不能是藍色，因為它們距離P是1。同時它們不能是紅色，因為它們距離Q點也是1。

我們注意到PRQ和PSQ都是正三角形且PRQS是菱形，通過平面幾何的知識可以發現RS之間的距離大於1，所以讓它們的顏色都是綠色是沒有問題的。

這表明色彩數至少是3，有一個辦法可以證明這個數至少是4。考慮我們剛才得到的菱形：

想像我們有兩個形同的矩形並讓它們的一個頂點重合，再用一枚針固定在一起，如圖所示。我們轉動其中一個矩形並讓他們漸漸分開。

菱形在轉動過程中保持形狀不變。隨著分開的距離越來越大，底部的兩個頂點之間的距離最終可以是1。

現在有一個問題。底部的兩個頂點不能都是綠色，因為它們的距離是1。它們也不能是藍色或者紅色。我們需要第四種顏色！這個圖形被稱為Moser紡錘，它是以Leo和William Moser的名字命名，並且它證明了色彩數至少是4。

作為總結，我們知道色彩數至少是4，最大是7。在接近60年的時間內，這是我們關於這個問題所知道一切，直到Aubrey de Grey 在2018年4月發表了他的工作。

就像Moser 紡錘利用7個點證明需要至少四種顏色那樣，Grey利用1581個點證明了四種顏色也是不夠用的，就像上圖顯示的那樣。但是不同的是，這不能直接看出來，事實上，證明過程藉助了計算機的幫助。藉助Grey的發現，我們發現色彩數至少是5。結合之前的論證，色彩數一定是5、6、7中的一個，但是我們並不知道是哪一個。

毫無疑問，Grey讓我們距離這個答案的最終結果又更近一步。我們能發現最終的答案嗎？

作者：Patrick Honner

翻譯：nothing

審校：山寺小沙彌

來源：中科院物理所（ID：cas-iop）

https://www.quantamagazine.org/the-numbers-and-geometry-behind-a-math-coloring-puzzle-20180618/

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！