數學的統一美：從「斐波那契數列」與「黃金分割」

數學君曾經看過一部長篇小說《達芬奇密碼》

估計很多人在大學都讀過，這是由美國作家丹·布朗創作的長篇小說

小說以這樣的懸念開場：

臨近午夜，法國盧浮宮年邁的館長被人殺害在藝術大畫廊的地板上。在人生的最後時刻，館長脫光了衣服，用自己的身體擺成達芬奇的名畫《維特魯威人》的樣子，並在屍體旁邊留下了一個令人難以琢磨的密碼：13-3-2-21-1-1-8-5，這些看似無序的數字，密碼專家索菲-奈芙一看就明白，實際它可以按照遞增排序為：1-1-2-3-5-8-13-21，這正是斐波那契數列，是數學史上的一個著名數列。

小說借斐波那契數列和另外兩個隱語（字母重排後，一句是萊昂納多.達.芬奇，一句是蒙娜麗莎），製造重重懸念，使讀者欲罷不能

。

達芬奇、維特魯威人這幾個詞，都以高頻率出現在往期的數學故事—「『黃金分割』的應用」中，但它們不是建立起黃金分割和斐波那契數列的橋樑，它們都只是這兩個規律的應用和體現而已

。

對斐波那契數列的描述有多種方法、多個版本，我們這裡引用《珠算原理》（Fibonacci，1202年，出版於義大利）中對斐波那契數列的描述。

斐波那契

假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那麼，由一對初生兔子開始，並且兔子不會死亡，問：一年後會有多少對兔子呢？

如上圖所示，空心圓圈代表沒有成熟的一對兔子，黑色實心圓圈代表成熟的一對兔子，可以計算出由兔子數量(對)組成的數列為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

斐波那契數列的另一種描述為：

若一個數列，前兩項等於1，而從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數列為斐波那契數列。且這個數列中的數，如1,2,3,5,8,13,21,34,55等都被稱為斐波那契數。

既然神似黃金分割了，那生活中也必定無處不在斐波那契的身影了

。

大自然界里的絕大多數花朵的花瓣的數量，都是斐波那契數。大多數植物的花，其花瓣數都恰是斐波那契(Fibonacci)數

。

在中國，梅花有著美好的象徵意義。民間傳說梅花五瓣代表著五福。民國把梅花定為國花，聲稱梅花五瓣象徵五族共和，具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。

但是梅花有五枚花瓣並非獨特.事實上，花最常見的花瓣數目就是五枚，例如與梅同屬薔薇科的其他物種，像桃、李、櫻花、杏、蘋果、梨等等就都開五瓣花。

常見的花瓣數還有：

3枚，鳶尾花、百合花(看上去6枚，實際上是兩套3枚)；

8枚，飛燕草；

13枚，瓜葉菊；

向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；

雛菊的花瓣有的是34、55或89枚。

而其他數目花瓣的花則很少。

蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣。

仙人球也是如此。

大自然里一些花草長出的枝條也會出現斐波那契數，有一種叫著「噴嚏麥」（Sneezewort的直譯，可能會像魯迅指出的鬧「牛奶路」Mikyway的笑話，希望懂植物學的讀者賜以正確的中文名）的花草，新的一枝從葉腋長出，而另外的新枝又從舊枝長出來，老枝條和新枝條的數目的和就像那兔子問題一樣。

仔細觀察向日葵的花，可以看到，向日葵花盤內，種子是按對數螺線排列的，有順時針轉和逆時針轉的兩組對數螺線。兩組螺線的條數往往成相繼的兩個斐波那契數，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發現過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數。

還有下面的松塔和菜花結構中的斐波那契元素。

這一模式幾個世紀前已被注意到，此後曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：

這是植物生長的動力學特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角----137.50776度；這使種子的堆集效率達到最高。

無論是上面的松果的結構，還是下面的向日葵和菠蘿的結構中，都蘊含著同一個元素—斐波那契螺旋線。

如果順時針與逆時針螺旋的數目，是斐波那契數列中相鄰的2項，可稱其為斐波那契螺旋，也被稱作黃金螺旋。

不僅是自然界中純天然的東西有這麼多的斐波那契元素，經濟學中也有很多的斐波那契元素，如股票指數增減的「波浪理論」：

完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數；

每次股指增長幅度（8，13等）或回調幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數。

1934年美國經濟學家艾略特在通過大量資料分析、研究後，發現了股指增減的微妙規律，並提出了頗有影響的「波浪理論」。該理論認為：

股指波動的一個完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無論從小波還是從大波波形上看，均如此。其中的2、3、5、8均系斐波那契數。

同時，每次股指的增長幅度常循斐波那契數列中數字規律完成。比如：如果某日股指上升8點，則股指下一次攀升點數為13；若股指回調，其幅度應在5點左右。顯然，5、8、13為斐氏數列的相鄰三項。

因此，可以說，斐波那契以他的兔子問題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數列的種種應用，是這個奧秘的不同體現。

那說了半天了斐波那契數列和黃金分割有著統一美，到底是哪裡統一了呢？最後數學君交待一下：

首先，斐波那契數列的通項公式是：

一個正整數序列的通項，竟然可以用帶有無理數的式子表達，這是十分意外的結果。而這兩個無理數更是眼熟吧，不就是黃金分割率和其倒數嘛。

第二，斐波那契數列相鄰兩項的比值的極限值為黃金分割率的倒數，即

。

數學具備統一的美！

來源：數學君

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