數學裡的π究竟牛在哪裡

學過數學的同學想必都跟小編一樣，都知道π

，不知道的不配做小編的盆友噠

。

那麼什麼是π呢

圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。π也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。 在分析學裡，π可以嚴格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數x。

由於圓周率π約等於3.14，因而人們將每年的3月14日設定為圓周率日。在這一天，世界各地的數學家和數學愛好者們歡聚一堂，歌頌讚美這個數學世界中的奇蹟。

小編之前也搞不懂，圓周率 π 它究竟哪點吸引人了，能夠讓數學家們對它痴迷到如此地步？

其實，π 本身的存在就是一個奇蹟：

不管一個圓有多大，它的周長和直徑之比總是一個固定的數，它就是 3.141592653589793 … ，是一個無限不循環小數。我們把這個數就叫做圓周率，用希臘字母 π 來表示。

在幾何問題中，圓周率扮演著非常重要的角色；然而更神奇的是，它也馳騁於幾何以外的其它數學領域。

下面跟大家分享幾個case：

1、布豐投針實驗

在地板上畫一系列間距為 2 cm的平行線，然後把一根長度為 1 cm的針扔在地板上。那麼，這根針與地板上的線條相交的概率是多少呢？

1733 年，法國博物學家布豐（Comte de Buffon）第一次提出了這個問題。1777 年，布豐自己解決了這個問題——這個概率值是 1/π。別的不說，就憑這自問自答地完成了超高級難度的數學問題的一件事，想必就讓大家與小編一樣，頂禮膜拜了吧

另外，這個問題可以用微積分直接求解，也能利用期望值的性質得到一個異常精妙的解答。即使我們現在已經能輕易求出它的答案，結論依然相當令人吃驚——在這個概率問題上，竟然也有 π 的蹤影。有人甚至利用投針法，求出過 π 的近似值來。

2、斯特林近似公式

我們把從 1 開始一直連乘到 n 的結果稱作「n 的階乘」，在數學中用n!來表示。也就是說：

1733 年，數學家亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）發現，當 n 很大的時候，有：

其中 c 是某個固定常數。

不過棣莫弗本人並沒有求出這個常數的準確值。幾年後，數學家詹姆斯·斯特林（James Stirling）

指出，這個常數 c 等於 2π 的平方根。也就是說：

這個公式就被稱作斯特林近似公式。

3、伽馬函數

階乘運算本來是定義在正整數上的，但我們可以很自然地把它擴展到所有的正數上——只需要尋找一條經過所有形如 (n, n!) 的整格點的曲線就可以了。由此定義出來的函數就叫做伽馬函數，用希臘字母 Г 來表示。好了，神奇的事情出現了。我們有這樣一個結論：

π 再次出現在了與幾何毫無關係的場合中！你說神奇不神奇？

4、平方數的倒數和的極限

1 的平方分之一，加上 2 的平方分之一，加上 3 的平方分之一，這樣一直加下去，結果會怎樣呢？這是一個非常吸引人的問題。

從上表中可以看到，越往後加，得數變化幅度就越小。可以預料，如果無窮地加下去，得數將會無限接近於某一個固定的數。這個數是多少呢？

1735 年，大數學家歐拉（Euler）非常漂亮地解決了這一問題。神奇的是，這個問題的答案里竟然包含有 π：

5、兩個整數互質的概率

如果兩個整數的最大公約數為 1，我們就說這兩個數是互質的。

例如，9 和 14 就是互質的，除了 1 以外它們沒有其它的公共約數；9 和 15 就不互質，因為它們有公共的約數 3。可以證明這樣一個令人吃驚的結論：任取兩個整數，它們互質的概率是 6 / π2，恰好是上面一個問題的答案的倒數。在一個純數論領域的問題中出現了圓周率，無疑給小小的希臘字母 π 更添加了幾分神秘。

6、歐拉恆等式

這是整個數學領域中最偉大，最神奇的公式：

這個公式用加法、乘法、乘方這三個最基礎的運算，把數學中最神奇的三個常數（圓周率 π、自然底數 e、虛數單位 i）以及最根本的兩個數（0 和 1）聯繫在了一起，沒有任何雜質，沒有任何冗餘，漂亮到了令人敬畏的地步。

這個等式也是由大數學家歐拉發現的，它就是傳說中的歐拉恆等式（Euler"s identity）。《數學情報》雜誌（The Mathematical Intelligencer）曾舉辦過一次讀者投票活動，歐拉恆等式被評選為「史上最美的公式」。

然而，這些也都只是數學這個奇妙大世界的其中一角罷了。

關於π的介紹可以參考以下內容：

Pi Day(3.14)剛剛過去，我們也奉上一篇和Pi有關的譯作《π與最美的數學公式》，展示科學最單純的美。據說文章每多一個方程，讀者就會減少一半，不過小編很自信，因為下面列舉的都是最美的。

--小編Z

今天我想談談π和數學意義上的的美。

要談論這個，還有比十八世紀著名的歐拉公式更好的例子嗎？

注意e指的是自然對數的底數。i是虛數單位，也就是-1的平方根。

這個公式經常被叫做「最美數學公式」，不過其實歐拉並沒有真正的確切的把它寫出來過。一個容易誤解人的數學命名約定。相反，它是歐拉在證明指數增長和圓周運動的等價性時用到的公式的一種特殊情況。這個公式是這樣的

這個公式通常被稱為cis函數，結合了餘弦(cos)和正弦(sin)。theta是希臘字母。

美國理論物理學家理查德·費曼稱其為「最引人注目的數學公式」。

歐拉社會的創始人——Ed Sandifer 曾在2007年的一篇好玩的文章中詳細討論了歐拉超過四十多年的方法，嘗試去說明這個公式到底在幹什麼。在這裡我將盡量用最少的公式來講清楚這個故事。

這個公式幹了什麼？

歐拉公式包括了五個基本的數學常數0,1,i,e和π，以及它們之間的等號，加號和指數，以一種神秘而又有用的方式，組成了一個七字元的公式。它的等價形式也可以寫成：

重寫過的歐拉公式

這個形式甚至更加簡潔並且介紹了負數。

數學的一個共同特徵是：發現總是首先被使用，然後才是被理解。18世紀法國數學家達朗貝爾寫過代數是慷慨的，她經常給我們的答案超過了我們所問。

讓我介紹一下構造歐拉公式的這些磚塊的2000多年的歷史。你不必去理解確切的數學，只要了解一下這些不同元素的不同起源，以及它們是怎麼如此緊密地結合起來的。

等於 （=）

"="符號歸因於1557年威爾士科學家羅伯特·雷科德。數學上關於相等的意思的討論反映了同時又推動了哲學上關於確切描述的概念的討論。

英國著名的邏輯學家伯特蘭·羅素的例子是金星,稱為晨星和昏星。一個反覆提及的數學例子是0.99999999…和1是否相等。他們是，他們也不是。

零（0）

「0」的標記符號比 "= "更早。但是希臘人也好還是別的民族也好，都沒有發現怎麼去演算 0 的法則。一個數學上成熟的「0」的概念歸功於大約公元650年的偉大的印度思想家Brahmagupta.

當「0」和另一個印度發明：進位計數法結合起來之後，計算數字便變得簡單多了。這種能力直到15世紀或者更晚才傳到歐洲。

1

沒有「1」就沒有先進的演算法。「0」和「1」一起,我們有了二進位記數法和現代數字計算機。美國理論物理學家約翰·泰勒把這叫做「來自一點「（「來自比特「，英語雙關，it from bit——譯者）

這進一步導致了現代群論，代數，機密技術以及許多許多的其它知識。

i

虛數的使用大約開始於16到17世紀。法國哲學家和數學家笛卡爾就已經早早使用過它了，不過是以輕視的態度。

我們現在認為理所當然的數學概念有時候要花費幾個世紀才能被接受和理解。難怪學生反抗虛數。這先是經過歐拉後來又經過德國數學家高斯的努力，虛數才真正的被開發起來了。「虛」這個詞終於有了一個積極的數學內涵。

定義 i 作為-1 的平方根有一個非常美妙的結果。那就是一個n次多項式一定有n個（復）根了。比如說x^4=(x+1)(x-1)(x-i)(x+i), 它有四個根。這個導致了現在所謂複分析的發展。

如果沒有複數，大多數現代數學和數學物理（比如量子力學）都不能工作了。

Pi(π)

π是半徑為1的圓的面積和圓的周長。偉大的希臘數學家阿基米德(公元前287 - 前212)使用這個結論得到π近似值為22/7(3.141592…)。

歐拉提出了π的現代定義：即定義泰勒級數裡面的餘弦函數的最小的正係數為π/2.這有點複雜,但如果你只是想像這個級數是一個非常大的多項式，你會懂的。

cis函數是兩個泰勒級數

這裡 n!= 1 x 2 x···x n 叫做n的階乘。這個十七世紀的另一個數學發現。

e

常數「e」起源於十七世紀，它被定義為自然對數的底數。到小數點後三位是2.718...，有點像π，這是一個無限不循環小數。

歐拉這位大師不光命名了「π」和「e」，他還意識到e^x也有一個花哨的泰勒級數。

展開的泰勒級數

然後令theta等於1，給出了一個關於e的有效公式。

現在我們知道了所有我們需要知道的磚塊。我們需要對第二個公式做的是令theta等於π，利用簡單的三角函數，我們知道sin(π)=0和cos(π)=-1，於是一步一步的約掉這個公式，我們便得到了美麗的第一個公式了。

什麼是數學美？

正如你看到的，要看到這個公式的美我們必須理解這個公式的元素，至少是大概的理解。

羅素在他的《西方哲學史》上這樣說:

「恰當的說，數學不僅涵括真理，亦表現最高等的美——這種美冷靜而簡樸，宛若雕塑，不訴諸我們任何柔弱的本性，沒有繪畫中亦或音樂中的華麗絢爛，但是純粹得莊嚴，只有最偉大的藝術才能展示其嚴格的完美。」

大多數數學家都同意，一個美麗的公式一定是意料不到的，簡潔的和有用的，有一種專業數學家能夠感知到的高超的巧妙。

如果不得不列出來的話，大多數數學家會列出阿基米德，高斯，歐拉作為自古以來最傑出的五位數學思想家。另外兩個是艾薩克·牛頓(微積分和力學)和波恩哈德·黎曼(黎曼幾何和黎曼假設)。

同時擁有三位傑出的思想家和基本常數。難怪歐拉公式被人們崇拜地叫做最美麗的數學公式。

來源：數學與人工智慧

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