被評為20世紀最偉大的物理定理

諾特定理是理論物理的中心結果之一，它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律都成立。例如，物理定律不隨著時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。

埃米·諾特是20世紀初著名的數學家，她解決了愛因斯坦新發現的引力理論——廣義相對論中一個令人困擾的難題。在這個過程中，她證明了一個革命性的定理，為當時所知的物理學提供了一個統一的視角，並為此後幾乎所有重大的基本發現奠定了基礎。諾特的深刻洞見，徹底地改變了物理學家研究宇宙的方式。愛因斯坦說：「她是數學史上最偉大的女性」。

1915年，作為一個全新的引力理論，廣義相對論將引力描述為物質彎曲時空的結果。除了愛因斯坦外，德國哥廷根大學的數學家希爾伯特（David Hilbert）和克萊因（Felix Klein）都沉浸在新理論的奇妙世界中。希爾伯特與愛因斯坦競爭，希望發展出這個複雜理論背後的數學。但希爾伯特和克萊因卻遇到了一個難題。他們在試圖用廣義相對論的框架寫一個能量守恆的方程時，遇到了一個無謂的重複：就好比寫」0「等於」0」一樣，這個方程沒有物理意義。這個發現令他們感到驚訝，在這之前並沒有一個被接受的理論有這樣的能量守恆定律。他們想要弄明白為什麼廣義相對論會有如此奇異的特徵。

諾特發現，這些看似奇怪的守恆定律是一種被稱為「廣義協變」的特定類型的理論所固有的。在這樣的理論中，無論你是穩步前進還是瘋狂加速，與理論相關的方程都是成立的，因為理論方程的兩邊都是同步變化的。其結果是，廣義協變理論——包括廣義相對論——總是會有這些非傳統的守恆定律。這一發現被稱為諾特第二定律。

在她證明第二個定理的過程中，諾特證明了她的第一個定理是關於對稱性和守恆定律之間的聯繫。

自諾特在1918年7月26日發表她的定理以來，已經過去了整整一個世紀，但該定理的重要性卻一直持續到今天。諾貝爾物理學獎得主Frank Wilczek說：「諾特定理一直是20世紀和21世紀物理學的指路明燈。」

1918年，艾米·諾特發表了論文 Invariante Variationsprobleme，她在論文中證明了諾特定理。

諾特定理宣稱，每一個對稱性都有一個相關的守恆定律，反之亦然。能量守恆與這樣一個事實有關，那就是物理規律在時間上的對稱性。同樣地，動量守恆與物理規律在空間上的對稱性。

守恆定律——例如能量守恆定律——說的是一個特定的量必須保持恆定。無論我們如何努力，能量都不能被創造或毀滅。從計算一個球滾下山坡的速度到理解核聚變的過程，能量守恆的確定性可以幫助物理學家解決許多問題。

對稱性，如果你對一個物體進行某些操作，在這些操作完成之後，它看起來和之前是一樣的，那麼這個物體就是對稱的。例如，球體是完全對稱的：無論你朝哪個方向轉動球體，它看起來都是一樣的。同樣地，對稱性也普遍存在於物理學定律中：物理方程在時間或空間的不同位置不會改變。

根據諾特定理，能量守恆來自於時間的平移對稱性。比如火箭發射會將燃料中的化學能轉化為動能和勢能，由於時間的對稱性，因此總能量保持不變。同樣地，動量守恆源自於空間中的平移對稱性。例如，在牛頓擺中，當一個球擊中另一個時，另一端的球會向外飛，保持動量守恆。這是為什麼？因為空間的對稱性。而角動量守恆則是從旋轉對稱性（即物理規律在空間旋轉時保持不變）中出現。一個熟悉的例子是，當一位溜冰者把她的手臂收起時，她的旋轉速度會加快。這是因為總的角動量必須保持不變，而這要歸功於旋轉對稱性。

物理規律在時間、空間和旋轉上都是對稱的。根據諾特定理，這些對稱性表明能量、動量和角動量是守恆的。

諾特定理相關的是連續對稱性，其中一種連續對稱性被稱為平移對稱（translation symmetry），意思是說物理定律不隨空間中的位置而變化，它在這裡、哪裡、任何地方都是一樣的。

20世紀下半葉，諾特定理成為了粒子物理學標準模型的基礎。標準模型描述了微觀尺度的世界，並預言了希格斯玻色子的存在。今天，物理學家在譜寫新理論時，仍然依賴於諾特定理。

在粒子物理學中，相關的對稱性是被稱為「規範對稱」的隱藏類型。物理學家在電磁學中發現了這種對稱性，它導致了電荷守恆。

規範對稱出現在電壓的定義中。電壓是兩點之間的電勢差異。電勢本身的實際值並不重要，重要的是差值。這在電勢上創造了一種對稱性：它的整體值可以在不影響電壓的情況下改變。這一特性解釋了為什麼鳥站在電線上不會觸電，但如果它同時接觸到兩根電勢不同的電線，那麼，悲劇將立即降臨在鳥的身上。

在發現守恆定律的任何地方，物理學家都在尋找對稱性，反之亦然。這個標準模型解釋了大量的基本粒子以及它們之間的相互作用。許多物理學家都認為標準模型是有史以來最成功的科學理論之一，因為它能夠精確地預測實驗結果。然而，標準模型並不完美，還有許多問題是它無法解釋的。

一直以來，物理學家的目標便是構建一個統一理論，用幾個方程就可以描述萬物，儘管這已經被證明是非常困難的。這些統一理論是建立在基本對稱的假設上。什麼樣的對稱性能夠統一基本力中的電弱力（電磁力和弱核力的統一）和強核力，物理學家還不知道。但是尋找這樣的一個「大統一理論」是物理學中一個活躍的領域。

一個好的大統一理論能夠預言宇宙中的質子和中子從何而來。質子和中子這兩種粒子被稱為重子，重子的總數應該是守恆的。在實驗上，科學家尋找的是質子是否會發生衰變。如果我們觀測到質子衰變，那麼我們就會知道重子數是否真的守恆，這是大統一理論的關鍵線索。

但是，當我們尋找超越標準模型的理論時，物理學家發現了一種隱藏的對稱，稱為超對稱，這是許多大統一理論的核心。超對稱是建立在統一兩組主要的基本粒子的基礎上：費米子（比如電子和夸克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假設所有的費米子都有一個玻色子夥伴，反之亦然。

對稱性是標準模型的基礎。圖中圓圈部分代表了標準模型中的粒子，比如光子和電子。外圍則是超對稱理論提出的假想粒子。

另外，諾特定理是發展量子引力的潛在理論的必要工具。量子引力理論把兩種截然不同的理論——廣義相對論和量子力學——結合在一起。諾特的工作幫助科學家理解在這樣一個統一的理論中可以出現怎樣的對稱性。

在眾多理論中，有一個候選者依賴於兩種互補理論間的聯繫：二維表面的量子理論可以作為三維彎曲時空中量子引力理論的全息投影。這意味著，三維宇宙中包含的信息，可以編碼到環繞它的二維表面上。

試想一下，一瓶汽水罐的標籤上描述了罐中每個氣泡的大小和位置，並列出了這些氣泡是如何合併和破裂的。一個好奇的研究人員可以利用罐子表面的行為來了解罐子內部的情況，例如計算搖晃罐子時可能發生的事情。對於物理學家來說，理解一個更簡單的二維理論可以幫助他們理解發生在三維物體內部更複雜的情況。（這種全息原理（holographic principle）適用的量子引力理論被稱為弦理論，在弦理論中，粒子是通過振動的弦來描述的。）

在一個描述粒子二維空間行為的理論可以作為三維量子引力的全息圖。這就像僅僅通過閱讀標籤就能研究汽水罐裡面的氣泡一樣。

「 二維量子理論中的對稱性出現在不同背景下的三維量子引力理論中。通過一種令人滿意的轉換，諾特第一、第二定理被連接起來了：描述二維空間的第一個定理，與描述三維空間的第二個定理有著同樣的表述。這就好比有兩個句子，一句是中文，一句是英文，在翻譯的時候意識到它們用不同的方式表達了同一件事。

諾特的工作徹底改變了我們理解宇宙的方式。

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