一個公式玩轉勾股數（下）

作者 | 王至宏

廣州大學數學系

▎公式回顧

上篇中（>>戳此查看），通過合情推理，得到了勾股數公式。

其中m，n同奇偶且m＜n

公式預處理，換元消去1/2

本篇為證明應用篇，知識背景為整除及公因子的相關性質。

公式怎麼證明，有什麼用？分4步討論

明確問題

推導性質

證明公式

相關問題及應用

▎明確問題

記(a,b,c)為a,b,c的最大公因子

探究問題

Q1：公式是否遍歷所有勾股數

Q2：退一步說，公式是否遍歷所有互素勾股數

Q2"：若Q2成立，如何添加條件，使公式不重不漏地遍歷互素勾股數

Q1：公式是否遍歷所有勾股數

A1：勾股數[9,12,15]不能由公式生成，猜想不成立。

（令b=12，c=15，則b+c=27=(u+v)2，矛盾）

Q2：公式是否遍歷所有互素勾股數？

已知條件還不夠，先推導性質。

畢達哥拉斯樹

▎推導性質

考慮互素勾股數中a,b,c及u,v滿足的性質

主要結論：

若a2+b2=c2且(a,b,c)=1，則

I. (a,b)=(a,c)=(b,c)=1

II. a，b中有一個為偶數（設為b）

III.勾股公式中， (u,v)=1，v＜u且2 | u·v

I. 設[a,b,c]為勾股數，即a2+b2=c2，a,b,c為整數，則

（由a2+b2=c2容易看出）

II. 若(a,b,c)=1，則c為奇數，a,b一奇一偶。

由a2+b2=c2知，a,b,c二奇一偶

若a和b同為奇數

矛盾，因而c為奇數，a,b一奇一偶

畢達哥拉斯

uv性質

勾股公式

III.若(a,b,c)=1，則(u,v)=1，且2 | u·v

根據公式，由a,b,c互素知u,v互素。

若u,v同為奇數，則a,b,c均為偶數，與互素矛盾

因而 2 | u·v

IV. 反之，若(u,v)=1，且2 | u·v，則(a,b,c)=1

用反證法，假設(a,b,c)=d≠1

容易推得d | (u,v)=1，矛盾。

結合III和IV，為使公式只遍歷互素勾股數

添加條件：(u,v)=1，且2|u·v

實際上，增加條件後並不影響公式可遍歷的勾股數類

若，可構造2 | u"·v"，

新生成的勾股數同乘2，將得到原勾股數

時：

其中，u",v"有一個為偶數

有了相關性質，就可以著手公式證明了

▎公式證明

待證公式：

其中，b為偶數，a，c為奇數

給定的互素勾股數[a,b,c]，是否可以唯一找到uv，通過uv生成[a,b,c]。

不妨設b為偶數

對勾股數[a,b,c]，通過b，c可唯一反解出u，v。當且僅當c±b為平方數時，u，v有整數解，問題得證。

下證c±b為平方數

由勾股定理， (c+b)(c-b)為平方數(即a2)

當c+b與c-b互素時，c±b為平方數

（由於a2可分解為平方因子乘積）

∵c-b為奇數，且(c,b)=1

∴ (c+b,c-b)=(2c,c-b)=(c,c-b)=(c,b)=1

故c+b與c-b互素，c±b為平方數，證畢。

▎公式小結

令

則u,v在條件下遍歷正整數時，公式可以不重不漏地遍歷互素勾股數，其中b為勾股數中的偶數項。

常用形式：

簡化公式條件

▎公式應用

一、編程遍歷

取簡化後的公式

u取值1,2,3,...

v取1,3,5,...，且和u互素

生成互素勾股數[a,b,c]

導出一般勾股數

錯覺三角形

二、相關問題

求勾股數

上篇的末尾留下的問題：求含k的所有勾股數

實際上，只需求出含k因子的互素勾股數，再導出含k勾股數。

以k=12為例，先求出含有1,2,3,4,6,12的互素勾股數

由互素勾股數性質，只需考慮含有3,4,12的情況：

基本公式

令b=12，得u=3,v=1或u=1,v=3

得到勾股數[12,35,37]，[12,5,13]

令b=4，或a=3，得u=v=1，得到勾股數[4,3,5]

同乘以因子3，得[12,9,15]

同乘以因子4，得[12,16,20]

因而，含有12的勾股數有且僅有這四組

計算數目

若k為偶數，且

則包含k的互素勾股數有2n個

（令b=k，由u和v取法易見）

例：

12=22×3，則包含12的互素勾股數有2個

2018=2×1009，則不存在包含2018的互素勾股數

但可由1009，導出勾股數[2018,1018080,1018082]

一般地，若k＞1，當且僅當k為奇數或被4整除時，k含在某組互素勾股數中。

特別地，對任意整數k＞2，一定存在包含k的勾股數。且通過分解k，可構造出所有包含k的勾股數。

整除性質

上篇的留言區中，有朋友提到：

勾股數[a,b,c]中，總包含3，4，5的倍數

設u,v=kx+y，分類討論，容易證明：

b=4uv必為4的倍數

當b=4uv不被3整除時，a=|4u2-v2|必為3的倍數。

當b=4uv不被5整除時，a=|4u2-v2|與c=4u2+v2必有一個是5的倍數

其中，被3，4，5整除的可能是同一個數

例如[11,60,61]中，60被3,4,5整除

近期的數學打卡，也有不少和勾股數相關的問題

好玩的數學-打卡問題

學習越是深入，越是自覺所知甚少，到這裡，你還覺得關於勾股定理只是a2+b2=c2嗎

▎小確幸

數論探究往往會與各種巧合不期而遇

這是探究中遇到的2組勾股數：

[72 ,1295,1297]

[108,2915,2917]

除了形式上的對稱性外

這三個數還可以用1,2,3如下表示

三個數均與2,3的冪次相關

同時也發現了2,3冪次的一些「巧合」

伴隨探究而來的小確幸，也使得數學更加好玩。

P.S. 探究中的疏漏之處，還請留言區指出。

* 本文作者王至宏，廣州大學數學系大四學生，好玩的數學實習作者。歡迎更多人加入到數學科普寫作的隊伍，好玩的數學給你一個展示才華的平台。

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