一個公式玩轉勾股數(上)
作者 | 王至宏
廣州大學數學系
▎勾股定理
公元前1000多年,商高答周公曰:「勾廣三,股修四,徑隅五。既方之,外半其一矩,環而共盤,得成三四五。」故而,勾股定理又稱「商高定理」。
2002年數學家大會會標
從第一組勾股數發現至今,已過去3000多年。
對勾股數,你真的了解嗎?
會標上的勾股定理
舉個例子,請寫出所有包含12的勾股數。
經過計算,容易求出這四組
[5,12,13]
[9,12,15]
[12,16,20]
[12,35,37]
但包含12的勾股數只有這4組嗎?
此外,平時遇到的互素勾股數中,總有一個是4的倍數,且最大數與該數求和作差,結果都是平方數。
例如
[3,4,5],5+4=32,5-4=12
[7,24,25],25+24=72,25-24=12
[8,15,17],17+8=52,17-8=32
[9,40,41],41+40=92,41-40=12
是巧合還是一般規律?
如果有普遍的勾股數公式,這類命題就可以輕鬆論證了。
下邊就來說說,公式應該怎麼求。
勾股樹
▎勾股數公式
早在古希臘時期,歐幾里得就已經給出了勾股數公式。
而公式的證明,用初中知識就足夠了。
很多時候,公式定理怎麼得來,比怎麼證明更加重要。
▎公式怎麼求
公式的產生,有兩種方法最常見。
一、直覺
說到公式直覺,就不得不提到,印度一千年來最偉大的數學家——拉馬努金。
他沒受過正規的高等數學教育,沉迷數論,慣以直覺導出公式,不喜作證明(事後往往證明他是對的)。
他留下的那些沒有證明的公式,引發了後來的大量研究。
電影《知無涯者》
他有很強的直覺洞察力,雖未受過嚴格數學訓練,卻獨立發現了近3900個數學公式和命題。
拉馬努金恆等式
他經常宣稱在夢中娜瑪卡爾女神給其啟示,早晨醒來就能寫下不少數學公式和命題。他所預見的數學命題,日後有許多得到了證實。
——資料摘自百度百科
直覺是學識,閱歷,人生經歷等在一瞬間集合之後發生的反應。影響因素很多,通常還需要一萬小時的刻意練習。這裡重點介紹尋找公式的第二種方法。
二、合情推理
那美女歸,林柳綠呀!(鈉鎂鋁硅,磷硫氯氬)
初高中挖空心思背的元素周期表,都要歸功於門捷列夫」玩」的一手好牌。
據說門捷列夫從小愛玩撲克牌,經常牌不離手。
有一回,他在撰寫《化學原理》時,遇到了難題。為了尋找元素的科學分類方法,不得不研究有關元素之間的內在聯繫。
正在思考,請勿打擾
他埋頭在圖書館裡夜以繼日地閱讀、思考,並琢磨出一套特殊的「撲克牌」來幫助尋找元素之間的規律。
有一天,門捷列夫又旁若無人地擺弄起「紙牌」來了,擺著,擺著,他像觸電似的站了起來,在他面前出現了完全沒有料到的現象,每一行元素的性質都是按照原子量的增大而從上到下地逐漸變化著。
這一天,元素周期律被發現了。
巧合往往受原理支配,合情推理就是透過巧合尋找原理的過程。
合情推理的大致過程
把勾股數放在一起會出現什麼規律?
▎勾股規律
初中經常遇到這幾組勾股數,觀察規律:
信息預處理
其中c-b總為1或2,把差為2的勾股數同除以2,再重新排列
調整排列
這時,規律比較明顯了
a逐行增1,依次為:3,4,5,...
b相鄰行作差,差值增1:3.5,4.5,5.5,...
c與b類似
根據規律,正推和逆推,補充式子
新添的式子也都成立
猜想:按規律遞推下去,等式始終成立。
▎勾股公式
根據小學「找規律」題的套路,易得
於是
通過公式,可以生成無窮多勾股數,但未必可以生成所有勾股數。
猜想:公式[an,bn,cn]遍歷正整數,再同乘一個整數可以得到所有勾股數。
很快,就遇到了例外:
[20,21,29]不能由遞推式生成。
但如果n不取整數,令n=2.5
得
再同乘以8,也可以得到[20,21,29]
原公式有缺陷,需要改進,繼續觀察:
公式中,a為一次齊次函數,b和c為二次非齊次函數,缺少對稱美
把常數1改為變元m,增加公式的對稱性:
新公式中,abc均為二次齊次多項式
此時,新公式仍滿足勾股定理,實際上這就是我們要找的公式。即公式中,m,n跑遍正整數時,可跑遍所有互素勾股數。
P.S. 這是初二時做的探究,過程可能比較啰嗦,但剛好體現了合情推理的過程。
▎回到問題
得到勾股公式(未證),再回顧最開始的兩個問題。
互素勾股數[a,b,c]中,總有一個為4的倍數,不妨設為b,最大數為c,則c±b均為平方數。
求包含12的所有勾股數。
公式中
∵b,c為整數
∴m,n同奇偶且m
命題1:
若m,n同為偶數,則4 | a
且此時[a,b,c]有公因子2。
若m,n同為奇數
設m=2k+1,n=2t+1,則
又∵c-b=m2
c+b=n2
即c±b為平方數,命題1成立。
命題2的一般形式是,求包含k的所有勾股數,在下篇的公式應用中再一併討論。
公式的證明及應用,下一篇再繼續討論吧。
* 本文作者王至宏,廣州大學數學系大四學生,好玩的數學實習作者。歡迎更多人加入到數學科普寫作的隊伍,好玩的數學給你一個展示才華的平台。
好玩的數學
微信號:mathfun
好玩的數學以數學學習為主題,以傳播數學文化為己任,以激發學習者學習數學的興趣為目標,分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等,為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。
※立交橋布局中的曲線之美(上)
※武俠小說中的數學(二)—如何用增乘開方法開更高次方?
TAG:好玩的數學 |