原來金庸的武俠世界有這麼多數學故事 | 漲姿勢
圖 | 一米
「飛雪連天射白鹿，笑書神俠倚碧鴛」金庸先生一生總共寫了15本武俠小說，他是武俠小說的一代宗師，對諸子百家、佛經道藏、詩詞歌賦、醫卜星象等等都瞭然於胸，其作品也被認為是中國文化的瑰寶。
除去這些，金庸小說中亦包含了濃厚的數學文化，如《連城訣》中，將寶藏隱藏在一串數字里；「九陰真經」「獨孤九劍」「六脈神劍」這些絕世神功都含有數字9或者6；《射鵰英雄傳》，瑛姑研究的算術題……
其實仔細研究，不難發現，數學和文學是相通的，而裡面蘊涵的信息之精妙。現在，我們以《射鵰英雄傳》瑛姑算算術這一小說情節為例，一起來探討下，古人是如何算算數的。
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案例一：古人是如何開平方的
在《射鵰英雄傳》之中就有這麼一段情節：
黃蓉坐了片刻，精神稍復，見地下那些竹片都是長約四寸，闊約二分，知是計數用的運算元。再看那些運算元排成商、實、法、借算四行，暗點運算元數目，知她正在計算五萬五千二百二十五的平方根，這時「商」位上已記算到二百三十，但見那老婦撥弄運算元，正待算那第三位數字。黃蓉脫口道：「五！二百三十五！」
那老婦吃了一驚，抬起頭來，一雙眸子精光閃閃，向黃蓉怒目而視，隨即又低頭撥弄運算元。這一抬頭，郭、黃二人見她容色清麗，不過四十左右年紀，想是思慮過度，是以鬢邊早見華髮。那女子搬弄了一會，果然算出是「五」，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見怒容，似乎是說：「原來是個小姑娘。你不過湊巧猜中，何足為奇？別在這裡打擾我的正事。」順手將「二百三十五」五字記在紙上，又計下一道算題。
這段故事當中，郭靖與黃蓉被鐵掌派追殺，郭、黃二人無意中闖到瑛姑的小屋中，正巧撞見瑛姑正在算這樣一道開平方的問題。
那麼小說當中，宋朝人用來計算平方根的方法是什麼呢？我們今天就來介紹一下。
增乘開方法
小說中所提到的這種計算平方根的方法叫做增乘開方法，是由我國古代數學家賈憲在十一世紀中葉所提出來的，其方法與義大利數學家魯裴尼（P.Ruffini）和英國數學家霍納（W.G.Horner）所提出來的高次方程數值解法相同，但比他們早了750年。
那麼增乘開方法是如何來計算一個數的平方根的呢？
舉個例子
我們就以小說中瑛姑所計算的求55,225的平方根這個問題為例（為了便於理解我們就直接用阿拉伯數字來表示，就不用算籌啦。
首先我們把55,225放入實這一行。
1.由於55,225是一個五位數，因此我們估算商應當是一個三位數，並且由於萬位上的數是5，所以估計商的百位數是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位數一定是2）。
2.令借為1，法的值則為借乘商（1×2）。
3.更新實，使之為原實減去商乘法（5-2×2=1），則新實為1。
4.更新法為商乘借加到舊法上（2+2×1=4）。
5.將法後移一位，借後移兩位。
然後我們再次重複1- 5的循環；
1.估算商的十位為3（3×4,000=12,000＜15,225）。
2.更新法，為原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）。
3.更新實，使之為原實減去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），則新實為2325。
4.更新法為商乘借加到舊法上（43+3×1=46）。
5.將法後移一位，借後移兩位。
第二輪結束，第三輪開始，再一次重複這五個步驟。
1.估算商的個位為5。
2.更新法，為原法加個位商乘借（460+5×1=465）。
3.更新實，使之為原實減去商乘法（2325-465×5=0）。
到這一步我們驚喜的發現，實的值為0了，也就是說我們最後解出來了55,225的平方根為235。
我們可以再驗證一下，計算235的平方。
發現235的平方果然是55,225，也就是說我們的計算結果是正確的。
增乘開方法的步驟
總結一下，增乘開方法其實一共五個步驟：
估算商；
用商乘借加到法上；
實減去商乘法；
再用商乘借加到法上；
法後移一位，借後移兩位。
然後只要不斷地循環上述步驟，直到實為0，此時的商就是我們所求的平方根的值啦。雖然步驟比較抽象，但是對照著例子還是比較容易理解的。
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案例二：如何用增乘開方法開更高次方
案例一我們說到，郭靖黃蓉二人誤打誤撞來到了瑛姑的小屋，看到她正在計算一道開平方的問題，我們繼續來看小說後面的案例二：
這次是求三千四百零一萬二千二百二十四的立方根，她剛將運算元排為商、實、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個「三」，黃蓉輕輕道：「三百二十四。」那女子「哼」了一聲，哪裡肯信？布算良久，約一盞茶時分，方始算出，果然是三百二十四。
接下來瑛姑又計算了一道開立方的問題，那麼如何來開一個數的立方根呢？其實之前我們所講的增乘開方法，不只能用來開平方根，還能用來開立方以及更高次方的根。我們接著介紹一下如何用增乘開方法開更高次的平方。
小說中的bug
書中所寫故事的時代背景是寫到成吉思汗去世為止，成吉思汗死於公元1227年，而關於賈憲的增乘開方法的提出時間，所能找到的最早的記載是楊輝的《詳解九章演算法纂類》，該書寫於1261年。
也就是說，瑛姑所用的開平方的方法，如果按照時間關係上來看，所用的應該是時間更早的《九章算術》中的開平方的方法；但如果根據書中所寫的瑛姑把算籌擺成「商、實、法、借」四行的話，就應該用的是賈憲的增乘開方法了。
而瑛姑所用的開立方的方法，將運算元擺為六行，又是《九章算術》的方法了，用增乘開方法的話只需要擺成五行就夠了。
增乘開方法是賈憲在《九章算術》中開方的方法的基礎上，對傳統方法進行改進，並推廣到了開更高次方的情況，因此，我們還是主要來介紹增乘開方法。
先復個習
我們先來複習一下，之前所講的增乘開方法的五個步驟：估算商；用商乘借加到法上；實減去商乘法；再用商乘借加到法上；法後移一位，借後移兩位。
只要不斷循環這五個步驟，直到實變為0，所得到的商就是我們的結果啦。
開平方與開立方的方法是類似的，我們介紹完開立方的方法之後，再經過類比，推廣出開任意次方的方法。
舉個例子
接下來我們還是以小說中的這道題為例來計算，為了便於理解，我把每一步計算所變化的數框了起來~
先將被開方數放到實的位置上，並將1置於下法。
將下法的1每次向前移動兩格，共移動了三次，說明商應當是一個三位數。
接下來正式開始計算啦~
1.估算商的值為3（3的三次方為27，小於34）。
2.用商乘下法置於廉（3×1=3），再用商乘廉置於方（3×3=9）。
3.實減去商乘方（34-3×9=7）。
4.商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）。
再用商乘下法加到廉（3×1+6=9）。
5.將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。
然後我們就可以開始下一個循環啦。
1.估計商的十位為2。
2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。
3.實減去商乘方。
4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉。
5.將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。
第二個循環結束，開始第三遍啦~
1.估計商的個位為4。
2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。
3.實減去商乘方。
我們驚喜的發現，實變成了0，也就是說，我們所求的34,012,224的立方根就是324啦~
開立方的步驟
我們總結一下，開立方其實也是五個步驟：
估算商；
商乘下法加到廉，商乘廉加到方；
實減去商乘方；
商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；
將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。
和開平方的步驟一樣，接下來只要不斷地循環以上步驟，直到實為0，此時的商便是所求的根啦~
推廣到開任意次方的步驟
我們先把開平方和開立方的步驟放到一起來對比一下。
從這個表格中我們能夠非常容易的找到規律，從而總結出用增乘開方法開任意正整數次方的方法。
假設我們要求一個數的n次方（n為正整數），那麼我們共需要寫出n+2行，前兩行分別是商和實，其餘的n行我們用N1、N2、···、Nn來表示。
將被開方數放入實這一行，在Nn上的最後一格放上一個1，將Nn上的1向左移動，每次移動n-1格，在下一次移動便會超出實的時候停止，此時1移動的次數便是商的位數。
接下來，我們就可以開始進行五個步驟循環的計算啦~
1.估算商。估計出一個商的第一位數的值，設它為a1，a1的n次方應當小於1上面的實的值，而a1+1的n次方是大於它的。
2.依次從下到上填入數字，Nn中已經填入了1，接下來
Nn-1=a1×1
Nn-2=a1×Nn-1
……
N1=a1×N2
3.更新實。新的實=原實-N1×a1
4.更新從N1到Nn。
第1輪：
Nn-1=a1×1+Nn-1
Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2
……
N1=a1×N2
第2輪：
Nn-1=a1×1+Nn-1
Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2
……
N2=a1×N3
如此不斷循環下去，一直重複到第n-2輪，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2為止。
5.將從N1到Nn上的數依次向後移動1、2、3、...n個格。
接下來只要重複上述幾個步驟，直至實變為0為止。
如果是無法開出整數的情況的話，實便永遠除不盡，便可以不斷地重複上述步驟，得到後面無窮無盡的小數啦。
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【參考文獻】
[1] 金庸. 射鵰英雄傳[M]. 北京: 生活·讀書·新知三聯書店, 1994.
[2] 梅榮照. 賈憲的增乘開方法——高次方程數值解的關鍵一步[J]. 自然科學史研究, 1989, (01):：1-8.
[3] 李兆華. 增乘開方法與賈憲三角形[J]. 中等數學, 1986, (1)： 44-45.
趙志桐
☆
星教師
數學和文學是相通的，而裡面蘊涵的信息之精妙。
來源︱道和老師教數學
作者︱趙志桐（成都嘉祥外國語學校成華校區）
轉載自 | 星教師（ID：new_jiaoshi
）
責任編輯 | 郭可暢
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