量子力學：規範不變性是規範場論的基礎

規範不變性（gauge invariance）是指拉格朗日量和運動方程在規範變換下保持不變的性質。規範不變性是構造規範理論的基本原理。

粒子體系的拉格朗日量，即粒子體系的動能減去粒子體系的勢能的算符。物質場（如電子場、希格斯場等）的相位變換稱為規範變換（如電子場Ψ(x)的相位變換Ψ(x)eiαΨ(x)，常數α為變換參數）。

如果變換參數與時空點無（有）關，則該變換叫作整體（定域）規範變換。單參數的相位變換在數學上可用U(1)群表示，相應的規範變換稱為阿貝爾規範變換。具有阿貝爾定域規範變換不變性的理論稱為阿貝爾規範理論，如量子電動力學。

如果有多個物質場（如三個不同「顏色」的夸克場），它們的相位變換由非阿貝爾群元素所聯繫，則稱為非阿貝爾規範變換，具有非阿貝爾定域規範變換不變性的理論稱為非阿貝爾規範理論，如量子色動力學。上一章講的楊—米爾斯理論，就是非阿貝爾規範理論。

為了使拉格朗日量具有規範不變性，必須引進規範場，並用協變導數代替普通導數，這就決定了規範相互作用的形式。規範不變性也導致規範場量子的質量為零。像任何別的對稱性一樣，規範對稱性也與守恆流相聯繫，如在量子電動力學中，與U(1)規範對稱性對應的電流即為守恆流，相應的荷守恆即為電荷守恆定律。

對於具有定域手征對稱性的規範理論，要保持矢量流的瓦德恆等式，則軸矢流的瓦德恆等式必定被量子效應所破壞（稱為軸矢流或手征流反常），從而破壞理論的可重正性和幺正性，必須選取規範群或物質場所屬規範群的表示，使得沒有手征流反常或反常消去。

如果真空（基態）破壞了規範不變性，則規範場量子可有質量，這樣的規範理論稱為規範對稱性自發破缺的規範理論（如電弱統一理論）。規範對稱性自發破缺的規範理論是可重正化的。

上面說了規範不變性是規範場論的基礎。反過來也可以這樣說規範場論（Gauge Theory）是基於對稱變換可以局部也可以全局地施行這一思想的一類物理理論。非交換對稱群（又稱非阿貝爾群）的規範場論最常見的例子為楊-米爾斯理論。

物理系統往往用在某種變換下不變的拉格朗日量表述，當變換在每一時空點同時施行，它們有全局對稱性。規範場論推廣了這一思想，它要求拉格朗日量必須也有局部對稱性—應該可以在時空的特定區域施行這些對稱變換而不影響到另外一個區域。這個要求是廣義相對論的等效原理的一個推廣。

規範「對稱性」反映了系統表述的一個冗餘性。規範場論在物理學上的重要性，在於其成功為量子電動力學、弱相互作用和強相互作用提供了一個統一的數學形式化架構——標準模型。這套理論精確地表述了自然界的三種基本力的實驗預測，它是一個規範群為SU(3) × SU(2) × U(1)的規範場論。像弦論這樣的現代理論，以及廣義相對論的一些表述，都是某種意義上的規範場論。

最早包含規範對稱性的物理理論是詹姆斯·麥克斯韋的電動力學。麥克斯韋在他的論文里特別提出，這理論源自於開爾文男爵於1851年發現的關於磁矢勢的數學性質。

但是，該對稱性的重要性在早期的表述中沒有被注意到。大衛·希爾伯特假設在坐標變換下作用量不變，由此推導出愛因斯坦場方程時，也沒有注意到對稱性的重要。

之後，赫爾曼·外爾試圖統一廣義相對論和電磁學，他猜想尺度（「規範」）變換下的「不變性」可能也是廣義相對論的局部對稱性。後來發現該猜想將導致某些非物理的結果。但是在量子力學發展以後，外爾、弗拉基米爾·福克（俄語：Vladimir Fock）和弗里茨·倫敦（英語：Fritz London）實現了該思想，但作了一些修改（把縮放因子用一個複數代替，並把尺度變化變成了相位變化—一個U(1)規範對稱性），這相應於帶電荷的量子粒子其波函數受到電磁場的影響，給定了一個漂亮的解釋。這是第一個規範場論。泡利在1940年推動了該理論的傳播。

1954年，為了解決一些基本粒子物理中的巨大混亂，楊振寧和羅伯特·米爾斯引入非交換規範場論，來建構將核子綁在原子核中的強相互作用的模型。（Ronald Shaw，在阿卜杜勒·薩拉姆指導下，在他的博士論文中獨立地引入了相同的概念。）通過推廣電磁學中的規範不變性，他們試圖構造基於（非交換的）SU(2)對稱群在同位旋質子和中子對上的作用的理論，類似於U(1)群在量子電動力學的旋量場上的作用。在粒子物理中，重點在於量子化規範場論。

該思想後來被發現能夠用於弱相互作用的量子場論，以及它和電磁學的電弱統一理論中。當人們意識到非交換規範場論能夠導出漸近自由的時候，規範場論變得更有吸引力，因為漸近自由被認為是強相互作用的一個重要特點—因而推動了尋找強相互作用的規範場論的研究。這個理論現在稱為量子色動力學，是一個SU(3)群作用在夸克的色荷上的規範場論。標準模型用規範場論的語言統一了電磁力、弱相互作用和強相互作用的表述。

1970年代邁克爾·阿蒂亞爵士提出了研究經典楊-米爾斯方程的數學解的計劃。1983年，阿蒂亞的學生西蒙·唐納森 在這個工作之上證明了光滑4-流形的可微性分類和同胚性分類非常不同。麥可·弗里德曼採用唐納森的工作證明奇異R4的存在，也就是，歐幾里得4維空間上的奇異微分結構。這導致對於規範場論作為數學理論的興趣逐漸增加，獨立於它在基礎物理中的成功。1994年，愛德華·威滕和Nathan Seiberg發明了基於超對稱的規範場技術，使得特定拓撲不變數的計算成為可能。這些數學上的成果也導致了對該領域的新興趣。所以楊—米爾斯的理論貢獻還是很大的。

電磁學中的簡單的規範對稱性的例子 ：電路中接地的定義是規範對稱性的一個例子；當線路所有點的電位升高相同的值時，電路的行為完全不變；因為電路中的電位差不變。該事實的一個常見釋例是棲息在高壓電線上的鳥不會遭電擊，因為鳥對地絕緣。

這稱為整體規範對稱性。電壓的絕對值不是真實的；真正影響電路的是電路組件兩端的電壓差。接地點的定義是任意的，但一旦該點確定了，則該定義必須全局的採用。

相反，如果某個對稱性可以從一點到另一點任意的定義，它是一個局域規範對稱性。

那麼有的同學可能會問了：「這個規範對稱性和數學上選取坐標無關是一樣的嗎？」

我的答案是不一樣的。規範不變性是指我們對作用量里的各個場做一個局域的（李群的參數依賴於時空）變換後不變，這會導致我們要對每一個李群的生成元都引入一個矢量場（就是規範場），而且這些規範場的質量項為0（否則破壞了規範不變性）。所以電磁U(1)規範不變性保證了光子的質量為0。

對於像W和Z這樣的規範玻色子有質量那是因為希格斯機制的引入，作用量依然規範不變，但是真空對稱性破壞了。所以數學上與坐標選取無關和規範不變性還不太一樣，坐標選取是對時空的，而我們說的規範不變性一般是內部對稱性，當然和時空是有關係的。

規範不變性在物理里意味著什麼，意味著理論的可變換，也意味著聯繫的普遍性。這和廣義相對論的等效原理還有聯繫。等效原理也可以是一種規範不變性。

一些純幾何上的概念描述這個世界本身就很不可思議，另外物理上要求可重整，而現在已知的可重整的理論就是楊—米爾斯理論，湯川耦合(費米子與標量場的耦合)，phi 4(標量場的自耦合)。

還有就是規範不變性和我們現在所知道的眾多的「守恆」定律無疑是相觀的。也意味著我們可以找到一個大統一理論，因為描述相互作用的正是規範場，如果我們能夠找到一個大的群，它的子群包含標準模型SU(3)×SU(2)×U(1)，並且能夠找到好的機制使它破缺到標準模型，那麼就是個大統一理論。在《變化》一書中，對於這個觀點，我認為引力量子化，和廣義相對論時空背景平整化是突破點。也就是放棄引力是時空彎曲的觀點。而把引力的本質歸結為時空，而不是時空彎曲。

摘自獨立學者，詩人，作家，國學起名師靈遁者量子力學科普書籍《見微知著》

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