虛數到底有沒有用？如果有用，有什麼用？答案比你想像的重要得多
接著說這本數學科普神作《從一到無窮大》
我們知道，一個數的平方，永遠是正數，10的二次方是正100，負10的二次方還是正100。所以可以理所當然地認為，只有正數才有平方根，負數是沒有平方根的。但數學家們在進行計算的時候，其實經常會碰到負數的平方根。比如說，有沒有可能找出兩個數字，讓它們加起來等於10，乘積等於40呢？在實數範圍內來看，答案是不存在的。但如果允許負數的平方根存在的話，那我們就可以找出一個答案，只不過這個答案中會包含根號-15這個奇怪的數字。數學家給負數的平方根起了個名字，跟實數相對應，叫虛數，還規定，根號-1叫i，這樣的話，根號-20就是20i，根號-15就是15i。
但虛數這個東西，實在是看不出它有什麼意義，所以即使它在數學計算里大量出現，數學家們一開始還是不承認它的名分。比如著名的數學家歐拉就說，虛數是想像出來的數，是不可能存在的，它們什麼都不是，純屬虛幻。不過話雖這麼說，歐拉該用虛數的時候還是用，因為實在沒辦法，不用的話，很多計算根本無法進行。
虛數的這種尷尬地位持續了整整有200多年，最後還是兩個業餘數學家給了它一個名分。這倆人一個是測繪員，一個是會計師，他倆從幾何的角度，給虛數做了這樣一個解釋：你看啊，我們平常說的「數軸」，一般就是畫一條橫線，然後標上一個零點，左邊是負數，右邊是正數。那虛數如果要在數軸上找一個位置，應該怎麼找呢？這兩位說，在這條橫線上，那肯定是找不到的，我們應該在零點處畫一條跟橫軸垂直的縱軸，也標上1、2、3、4……只不過這條線是代表虛數，所以其實是1i、2i、3i……這樣一來，兩條線組成一個坐標系，所有的數字，就都能在這個坐標系裡找到了。比如15i，也就是根號-15，就在坐標軸里的縱軸上，如果是20+根號-15，那就在橫軸上找到20，縱軸上找到15i，然後二者一交會，就能在坐標軸里找到這個數字。
你肯定想問，道理我都懂，但這個虛數不還是沒用嗎？其實，虛數還真有用，而且有大用處。我們可以用虛數，來把時間和空間結合起來，構建出一套四維空間的幾何學。而這套幾何學會讓我們發現，時間和空間並不是絕對獨立的，也不是恆定不變的。如果你對物理學比較熟悉就會發現，這個觀點就是愛因斯坦相對論的雛形。
我們生活的世界，在空間上是一個三維世界，意思就是說，確定任何一個位置，無論你採用哪種方法，都至少需要三個維度的數據才能確定，比如經度、緯度和高度。但如果我們要確定某件事情的具體狀況，那光有空間還不夠，還得加上另一個維度，時間。比方說，在2017年9月24日晚上10點，北京市海淀區下了一場雨，這才能準確地說出一個具體的事件。所以，我們需要四個維度，才能準確地確定某件事的時空位置。也就是說，我們生活在一個四維的時空世界中。
但如果要把時間看成是第四維度，就必須要面對一個問題，就是怎麼才能把時間和空間聯繫到一起進行計算呢？比如說，我們怎麼才能測量一個四維時空里兩個事件之間的距離呢？如果要測量長寬高，那我們可以用統一的單位，比如多少米、多少英尺。但如果要測量時間的話，就只能用小時、分鐘、年這些計量單位。那1米跟1小時，怎麼結合？
乍看起來，這個問題就跟負數的平方根一樣，毫無意義，但其實也有辦法解決。舉個例子。如果你出門問路，說地鐵站還有多遠啊？那人家可能會跟你說，有點遠，走路還要20分鐘，你不如騎個共享單車，5分鐘就到了。這就是一個典型的，用時間來表示距離的辦法。我們只要找到一個確定的速度，就可以把時間轉換成空間。那怎麼找到這個確定的速度呢？你可能已經想到了，就是光速。科學家已經發現，光在真空中的傳播速度是恆定的，不受任何情況的影響。如果我們把光速和時間結合到一起，就可以得到一個距離單位，比如光年就是一個距離單位，代表光在一年時間內傳播的距離。如果我們要計算5分鐘相當於多遠，那就用5分鐘乘以光速，就能得到一個距離。
現在所有的工具都全了，我們看看科學家是如何確定四維時空里，兩個事件的距離的。測量兩個事件在空間上的距離很簡單，而時間上的距離剛才也說了，我們可以測出兩個事件之間的時間間隔，然後乘以光速，就能得到一個距離。
關鍵在於，時間和空間，畢竟還是不一樣的兩種東西。不能把這兩個結果簡單地加在一起，那樣是沒有意義的。這兩個距離必須要有所區分，顯示出不同才行。那怎麼區分呢？科學家想了個辦法：建立一個坐標系，然後把空間距離當做橫軸，時間距離當成縱軸，這樣一來，四維時間裡的距離，就既有空間意義，也有時間意義，能把兩者完美地結合到一起。
聽到這個坐標軸，你應該想起了剛才說到的虛數吧？沒錯，在這種計算中，虛數就發揮了重要的作用。因為代表時間距離的那根縱軸，實際上就相當於虛數軸。在四維空間的計算中，時間距離前面，是要乘以i的，也就是乘以根號負1，以顯示出時間和空間的本質不同。
利用虛數將時間和空間結合在一起，組成坐標系之後，科學家發現了一個非常奇異的現象：我們平常所說的兩個事件之間的時間距離和空間距離，其實可以看作是四維距離在時間和空間這兩根坐標軸上的投影。這麼一來，一旦旋轉這個四維坐標系，就可以讓時間和距離相互轉化。從這一點出發，我們會發現，時間和空間都不是恆定不變的，而是跟物體的運動狀態有關。什麼意思呢？一個靜止的人，和一個高速運動的人，時間在他們身上流逝的快慢是不同的。這就相當於運動旋轉了時空坐標系，因此改變了四維距離在時空坐標軸上的投影。聽到這裡，你可能已經意識到了，這不就是狹義相對論嘛。也就是說，數學家們曾經以為沒用的虛數，在相對論的計算中就派上了一個大用場。人們恍然間發現，原來看似毫無意義的虛數之下，居然隱藏著如此重要的意義。
題外話：讀書可以擴充我們知識邊界，獲得更多看問題的視角，但盲從是要不得的...
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