奇異的數字誕生了現代代數

19世紀發現的「四元數」為數學家提供了一種描述空間旋轉的新方法，這將會改變物理和數學。時針從3轉動到12，數學家早已知道如何把這種旋轉用簡單的乘法描述出來：將時針在平面上的初始位置數字與另一個常數相乘。19世紀最多產的數學家之一威廉·漢密爾頓花了十多年的時間才找到了描述三維旋轉的數學方法。這個不太可能的解決方案讓他在四種數字系統中找到了第三種數字系統。這四種系統與標準算術相似，並幫助推動了現代代數的發展。

帶有絲帶的旋轉立方體只有經過兩次完整旋轉才會回到初始狀態；四元數的四維數與電子和夸克等物質粒子的行為極為相似。 圖片：Jason Hise

博科園-科學科普：實數構成了第一個數字系統。實數包含了我們學習到的所有熟悉數字,如-3、7、5 、-√42。文藝復興時期，代數家們偶然發現了第二種數字系統，意識到在解某些方程時，需要引入一個新數字i，這一數字可以被加、減、乘和除；於是他們邁出了第一步，進入了「複雜平面，而後將「虛構」數字與真實數字相結合。在這個平面世界中，「複數」代表箭頭，利用加減法來可以將箭頭滑動，用乘法和除法可以旋轉和拉伸箭頭。

哈密爾頓是愛爾蘭數學家，古典和量子力學中「哈密頓算符」的同姓者。他希望通過增加一個虛構的j軸走出複雜平面。這就像米爾頓?布拉德利將《戰艦》變成《列陣列陣》那樣。但三維空間中有一些東西打破了哈密爾頓能想到的所有方法。

在複雜平面中，乘法會產生旋轉。不管哈密爾頓如何用3-D來定義乘法，他始終無法找到一個相反的除法來得到有意義答案。要想知道是什麼讓3-D旋轉變得如此困難，可以將方向盤與地球儀進行對比

方向盤上的所有點都以相同方式運動，所以每個點就像是乘了相同的複數。但是地球上所有點的移動速度由赤道向兩級遞減，赤道上的點的移動速度最快，而兩極根本不會有任何改變。Baez解釋說：如果三維旋轉和二維旋轉一樣，那麼每個點都會移動。1843年10月16日，哈密爾頓在都柏林布魯姆橋上刻下了著名的符號：三個虛軸i、 j、 k，加上實數軸a。哈密爾頓定義的新數字類似於4維空間中的箭頭。他把它們命名為「四元數」。旋轉一個3-D矢量意味著它乘以了一對完整的4-D四元數，其中包含關於旋轉方向和程度的信息。

用真實和複雜的數字能夠解決任何事情，除了一個不和諧問題——四元數乘法階次問題。例如把你的手機正面放在平面上，向左旋轉90度，然後將它翻轉，注意相機指向哪個方向。回到初始位置，先將手機翻轉，然後將它轉到左邊，觀察相機如何指向右邊。這個令人驚恐的屬性被稱為非交換性，是四元數與現實共享的一個特徵。但新數字系統中也潛伏著一個漏洞。當手機或箭頭以360度旋轉時，描述這種360度旋轉的四元數在四維空間中只上升了180度。

所以手機或箭頭只需要兩個完整旋轉，就可以使相關四元數回到初始狀態。倒置箭頭會產生虛假的負面信號，這可能會對物理學造成嚴重破壞。因此，在哈密爾頓破壞大橋事件發生近40年後，物理學家們為了防止四元數系統成為標準而相互開戰。當耶魯大學教授約西亞·吉布斯定義了現代向量時，敵對情緒爆發了。

吉布斯斷定第四維太麻煩了，於是哈密爾頓的創建完全砍掉一個術語：吉布斯的四元數分拆保持了i，j，k符號，但是把四元數相乘的笨拙規則分解成相乘向量的單獨操作——點積和叉乘。漢密爾頓的學生將這個新系統稱為「怪物」，而矢量迷則將四元組貶低為「無理取鬧」和「純粹的邪惡」。這場辯論在期刊和小冊子上激烈地進行了多年，由於便捷矢量最終獲得了勝利。四元數在向量的陰影下逐漸衰敗，直到量子力學在20世紀20年代揭示了它們的真實身份。

正常的360度足以完全旋轉光子和其他力粒子，而電子和所有其他物質粒子則需要兩圈才能回到初始狀態。哈密爾頓的數字系統一直在描述這些尚未被發現的實體，現在被稱為「旋量」。儘管如此，物理學家們在日常計算中從未採用四元數，因為他們在矩陣基礎上找到了另一種處理旋量的方案。直到最近幾十年，四元系統才經歷了一次復興。除了在計算機圖形學中作為計算旋轉的有效工具，四元數還存在於高維表面的幾何中。

高kahler流形允許向量組和旋量組來迴轉換，這將向量-代數敵對的雙方聯合起來。由於矢量描述力粒子而旋流描述物質粒子，物理學家們對這種性質非常感興趣，他們想知道物質和力之間是否存在超對稱性，這種對稱性是否在自然界中存在。如果事實如此，那麼宇宙中的對稱性將會被嚴重破壞。與此同時，對於數學家來說，四元數從未真正失去光芒。當漢密爾頓發明四元數時，每個人和他的兄弟就決定建立自己的數字系統，大多數系統完全沒用，但最終他們創造了現代代數。

今天抽象代數家正在研究各種維數和各種奇異性質的大量數字系統。哈密爾頓的朋友約翰·格雷夫斯在四元數之後發現了第四個也是最後一個允許乘法模擬和相關除法運算的數字系統，這種結構並非毫無用處。一些物理學家懷疑這些特殊八維的「八元數」可能在基礎物理學中起著至關重要的作用。牛津大學幾何學家奈傑爾·希欽說：我認為基於四元數的幾何學還有很多東西需要探索，如果想要一個新前沿，非八進位莫屬。

博科園-科學科普｜文：Charlie Wood/Quanta magazine/Quanta Newsletter

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