危險的「黎曼猜想」
Sept.
23
灼見（微信號：penetratingview）
都在等待「黎曼猜想」證明，卻不知道它後面隱藏的危險。
作者 | 17進位
都在等待「黎曼猜想」證明
卻不知道它後面隱藏的危險
——節選自《人類最美的54個公式》
01
大神黎曼
過直線外一點，可作其幾條平行線？
歐氏幾何說，只能作一條；
羅氏幾何說，至少可以作兩條（包括一組和無數）。
黎曼慢悠悠地反問：誰知道平行線相交還是不相交呢？
「平行線公理」的世紀之爭，最終終結於黎曼。
黎曼提出：過直線外一點，一條平行線也作不出來。（這是人話嗎？）
可基於黎曼幾何得出的「無平行線」結論，最終成了廣義相對論的數學幫手。
廣義相對論最初源於愛因斯坦意識到引力並不是一種力，而是時空幾何彎曲的體現。
物理直覺超於常人的愛因斯坦一直找不到數學工具來表達他的想法，
如果沒有數學支撐，直接說引力是時空彎曲效應，肯定會被吐槽成「物理是體育老師教的」。
所以，
直到他從數學界朋友了解到黎曼的「非歐幾何」，才讓廣義相對論提早問世。
當愛因斯坦得意地跟全世界說：如果沒有我，50年內也不會出現廣義相對論。這時候，能和愛因斯坦站在一起吹牛的，也只有數學大神黎曼了。
02
黎曼猜想與裸奔的互聯網
「幾何」一直是黎曼的主業，這又是一座深不可測的數學殿堂。
但今天聊的不是他的主業，而是他在1859年「閑暇之餘」隨手丟下的一個猜想。
這個猜想說的是：存在一個對素數分布規律有著決定性影響的黎曼ζ函數
①
非平凡零點
②
。
講人話，我們來看黎曼猜想到底長什麼樣紙！
黎曼猜想指的是，黎曼函數所有非平凡零點的實部都是1/2。
更通俗的數學表達式如下：
ζ（s）= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直線x=1/2上。
怎麼樣！看懂了吧，如果還有疑問……那我也沒輒了，我的智商有限。
黎曼自己肯定沒有想到，他所提出的這個猜想，足足折騰了數學家們159年。
如果黎曼知道直到2018年我們還在糾結，一定會花點時間把證明寫出來的。
這件事情還得怪他的老師高斯，高斯的座右銘是「寧肯少些，但要成熟」的低調作風，這一點影響到黎曼，讓他成為一個惜字如金的大神。
他一生僅發表過10篇論文，但每篇論文都橫跨各領域，是多領域的先鋒開拓者，
雖然不到40歲就去世，但仍然顯示出不可一世的才華。
1859年黎曼拋出的這個不朽謎題，就是想解決素數之秘。
一旦素數之秘被解開，那麼現在幾乎所有互聯網的加密方式將不再安全，互聯網變成一個裸奔的世界，
因為我們主要的非對稱加密包括RSA密鑰加密等等，都是基於大數的分解。
不僅僅是互聯網，
只要證明方法被公布，無需量子計算機，根據其原理甚至能破解現代銀行的安全密碼體系，
看你還開心不開心！
03
非對稱加密演算法和素數的關係
那些擔心自己的錢包和黎曼猜想的朋友們，我們再複習一下小學數學：
小於20的素數有多少個？答案是有8個：2、3、5、7、11、13、17和19。小於1000的素數有多少個？小於100萬呢？小於10億的呢？
觀察素數表，你會發現素數數目是下降的，它們越來越稀疏。
1和100之間有25個素數，401和500之間有17個，而901和1000之間只有14個。如果把素數列到100萬，最後一個百數段（就是從999901到1000000）中只有8個素數。如果列到10 000億，最後一個百數段中將只有4個素數。它們是，999 999 999 937，999 999 999 959 ，999 999 999 961，999 999 999 989。
越到後面，素數的尋找越發艱難。
因此，聰明的數學家們將素數應用在密碼學上，
因為人類還沒有發現素數的規律，以它作密鑰進行加密的話，破解者必須要進行大量運算，即使用最快的電子計算機，也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義。
現在普遍使用於各大銀行的是RSA公鑰加密演算法，基於一個十分簡單的素數事實：
將兩個大質數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。
黎曼猜想得到完全證明，很有可能派生出攻擊RSA公鑰加密演算法的規律。
一旦黎曼猜想得證，那麼基於大素數分解的非對稱加密演算法可能就走到了盡頭，私鑰加密、簽名也就失去了意義。
當我們在為數學家開心的時候，也得小心那些尋找漏洞的黑客。
04
黎曼ζ函數證明和量子幽靈有關嗎？
黎曼猜想的證明有那麼難嗎？
在這裡我不列出這些證明細節，只看看一路坎坷的證明歷程：
?1896年，法國的哈達瑪抵達猜想的三八臨界線邊緣——證明了黎曼ζ函數的非平凡零點只分布在帶狀區域的內部，並順手幹掉了刁難人類一百年的素數定理。
?1914年，丹麥的玻爾與德國的蘭道觸到了冰山一角，窺得了黎曼ζ函數的非平凡零點傾向於「緊密團結」在臨界線的周圍。
?英國的哈代副武裝模式開啟，直接將「紅旗」插上了臨界線——證明了黎曼ζ函數有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。
?1989年美國的康瑞又推翻了列文森的推論，重新開啟了估算的新篇章，又證明了至少有40%的零點位於臨界線上。
……
然而誰也沒能真正搞定黎曼猜想，數學上「無窮大」這隻惡魔讓再多數值證據都微不足道。
沒想到，有幸之年，我竟能親身見證黎曼猜想被證明，若為真，實深感榮焉。
就在最近，
2018年9月20日，菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，要在9月24日海德堡獲獎者論壇上向全世界公布證明。
一聽這消息，躲在深山老林的科學家們全炸了。
黎曼猜想這次真的會被解決嗎？作為數學獎最高得主，阿蒂亞爵士的確是這個時代頂尖數學家之一。但他都89歲了，會不會只是出來玩票……
此次阿蒂亞的證明恐與量子力學有著千絲萬縷的關係。
自20世紀以來，已有部分科學家注意到素數與量子物理之間存在聯繫。
黎曼猜想中的素數行為，酷似量子力學中的「測不準原理」，雖然你可能不知道單個分子確切位置，但是你可以確定這個房間大致的分子分布，
素數這難以捉摸的行為特別像量子幽靈掌握的微觀世界。
阿蒂亞若是藉助量子力學這一工具來證偽黎曼猜想也不是不可能。
畢竟，數學中很多重大問題，都是建立在與其他數學分支跨界聯繫的基礎上才被解決，比如費馬大定理。
而由量子理論所衍生而出的量子計算機，也早已被數學家證明能快速對大數進行質因數分解，基於「平行世界」的運算可輕而易舉破解素數並顛覆密碼系統。
量子力學與素數的戀情，也許將在這一次揭開情人面紗。
05
猜想將動搖數學大廈嗎？
各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發。
一旦證明方法得證無誤，密碼夾持著的無盡秘密有多少會不復存在。
然而，黎曼猜想帶來的危險不僅僅影響銀行，更不僅僅
影響
互聯網，其可能動搖到一些數學根基。數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想的成立為前提。
如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬品。
那些建立在黎曼猜想上的推論，可謂是一座根基不穩、搖搖欲墜、令人惶恐不安的大廈。
一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是世上極為罕有的，
也許正是因為這樣的關係，黎曼猜想的名氣和光環變得更加顯著，也越發讓人著迷。
因而，此次黎曼猜想是否成功證明，將牽一髮而動全身，直接影響以黎曼猜想作為前提的數學體系。
06
危險的數學和逝去的「愛神」
伯恩哈德·黎曼於1866年7月20日去世，離開這個世界時還不到40歲。
天妒英才，這位與歐拉、高斯、伽羅瓦一樣在數學上具有頂尖天賦的人物，可能因為其才華給神帶來巨大危險，很快就被上帝喚回去打麻將了。
他並沒有意識到自己對這個世界的影響會如此深遠，
臨走之前非常安寧，沒有掙扎也沒有臨終痙攣，彷彿饒有興趣地觀看靈魂與肉體的分離。
《素數之戀》一書談到：他妻子給他拿來麵包和酒，他要她把他的問候帶給家裡人，並對她說：「親親我們的孩子」。她為他誦讀了主禱文，他的眼睛虔誠地向上仰望，幾次喘息以後，他純潔而高尚的心臟停止了跳動。
他長眠在塞拉斯加教區比甘佐羅教堂的院子里，墓碑上的碑文是：
這裡安息著
格奧爾格·弗里德里克·伯恩哈德·黎曼
哥廷根大學教授
生於1826年9月17日，布雷斯倫茨
卒於1866年7月20日，塞拉斯加
萬事都互相效力
叫愛神的人得益處
注釋：
①ζ函數：（ζ-function）用來刻畫系統周期點性態的函數。
②零點：設是定義在數域k上的函數，我們把方程f=0在數域k中的解稱作f（在k中）的零點，所有零點構成的集合稱作零點集。
—THE END—
?本文選自量子學派（ID：quantumschool）
，
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