莫比烏斯特性真迷人

作者：David Gunderman and Richard Gunderman/The Conversation

Credit：HW

你在日常生活中其實已經遇到過無數次單面物體了 - 就像印在鋁罐和塑料瓶的背面回收的通用符號那種，三個箭頭彎折，首尾相連。

這個數學對象稱為莫比烏斯帶。自德國數學家奧古斯特·莫比烏斯(August M?bius)於1858年發現這個東西以來，它一直吸引著環境保護主義者、藝術家、工程師、數學家以及許多其他領域的人。

莫比烏斯在1858年發現了這種只有單邊的帶形結構，當時他擔任萊比錫大學天文學和高等力學的主席。(另一位名為利斯廷的數學家在幾個月前也描述了它，但直到1861年才發表他的發現。二人獨立發現。)莫比烏斯似乎是在研究多面體的幾何理論時搞出了莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶可以通過一條紙條來做成，把一頭轉180度，然後將兩端粘在一起形成一個環。如果你拿一支鉛筆沿著條帶的中心畫一條線，你會發現這條線走完了原來紙條的兩面。

莫比烏斯帶不僅僅是一個令人驚訝的東西。例如，用一把剪刀將帶子沿著剛繪製的線條剪成兩半，不會變成兩個莫比烏斯帶，而是會出來一個較長的雙側環。

雖然莫比烏斯帶具有視覺吸引力，但其最大的影響在於數學。

拓撲學家研究在移動、彎曲、拉伸或扭曲時保留的物體的屬性，而無需將部件切割或粘合在一起。例如，一對纏結的耳塞在拓撲意義上與未纏繞的一對耳塞相同，因為將一個耳塞更換為另一個只需要移動，彎曲和扭曲，不需要切割或粘合來在它們之間進行轉換。

另一對在拓撲上相同的物體是咖啡杯和甜甜圈。因為兩個物體都只有一個孔，所以只需拉伸和彎曲就可以使這個孔變形。

物體的孔數是可以僅通過切割或膠合來改變的性質。這個屬性 - 被稱為物體的「虧格」 - 允許我們說一對耳塞和甜甜圈在拓撲上是不同的，因為甜甜圈有一個洞，而一對耳塞沒有洞。

但莫比烏斯帶和一般的雙面環都有一個洞，所以只有這一個屬性不足以區分它們 - 至少從拓撲學家的角度來看。

相反，區分莫比烏斯帶和雙面環的屬性稱為「可定向性」。與其孔數一樣，物體的可定向性只能通過切割或粘合來改變。

比如你在透明膠帶上寫一行字，只要在這個平面之上，這行字都是從左到右方便閱讀的，但如果在一個不可定向的平面上，比如莫比烏斯膠帶，這行字可能看著看著就反了。

由於莫比烏斯帶是不可定向的，而雙面環是可定向的，這意味著莫比烏斯帶和雙面環在拓撲學上是不同的。

可定向性這一概念具有重要意義。比如化學，一些化合物具有相同的化學結構，除了一個關鍵的區別：它們是彼此的鏡像。例如，L-甲基苯丙胺是醫用藥物成分，而其鏡像物質 D-methamphetamine 則是A類非法藥物。如果我們生活在一個不可定向的世界，那麼這些化學物質就難以區分。

莫比烏斯的發現開闢了研究自然世界的新方法。拓撲研究一直在產生令人驚嘆的結果。例如，去年，拓撲結構使科學家們發現了奇怪的物質新狀態。今年的菲爾茨獎章授予給了 Akshay Venkatesh，這位幫助將拓撲學與數論等其他領域相結合的數學家。

本文譯自 popsci，由譯者 HW 基於創作共用協議(BY-NC)發布。

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