算計「天眼」之方法

科學的目標是發現新的自然現象，理解其中的科學規律，進而改造自然界和人類社會。數學是科學研究的重要工具，通常採用由近及遠的方法來研究問題，微積分就是最著名的一個例子。

研究問題總是要用到函數的概念：某個待觀察量（因變數）如何隨著受控變數（自變數）而改變，

。為了了解

，我們先要設法知道它在某個位置x0處的數值，然後再考察該點附近的行為。通常可以把這個函數表示為x0

附近的冪級數的形式：

其中，是f(x)在處的n階導數。這就是著名的泰勒展開式，如果=0，就是所謂的麥克勞林展開式。從實用的目的來說，所有的函數都可以展開成這種形式——暫時忘掉數學分析、忘掉??δ語言吧，這些都是數學家們用來對付杠精的。那些怪了吧唧的函數（處處不連續的函數，處處連續但處處不可微的函數，等等），只有在數學分析書里才會碰到。

如果自變數 x 選為時間t，因變數 y 為物體在特定方向上移動的距離s，那麼，s(t)就是物體的移動軌跡。確定了物體在t=0時刻的位置=0，就可以用s(t)的展開式描述物體在短時間內的運動。如果物體是靜止的，那麼所有各階導數都為零；如果物體做勻速直線運動，那麼只有一階導數不為零；如果是在重力場中做自由落體運動，那麼二階導數也是個不為零。對於上述幾種運動，不為零的各階導數在t=0時刻附近都是常數；而對於其他形式的運動，我們當然可以歸結為更高階的導數，但通常認為是二階導數隨著時間 t 會發生變化。實際上，牛頓力學的實質就是認為，只需要知道運動軌跡的二階導數就可以了，而二階導數決定於「力」和物質的質量。

函數在某個位置附近的展開方式，沒有什麼特別的理由一定是x

的冪級數——當然，這樣做確實方便，但是只要你願意，完全可以選擇其他方式，比如說，的冪級數。

在描述運動軌跡的時候，最簡單的近似是把它當作一段直線（只有一階導數不為零，對應於勻速直線運動），再進一步就是把它當作一段拋物線（二階導數也不為零，對應於自由落體運動）。還有一種常見的處理方式是把一段軌跡當作圓弧的一部分，因為我們對勻速圓周運動非常熟悉：力的作用方向與物體的運動方向垂直，其大小依賴於物體的質量m

、運動速度v和圓的半徑r，

選定一段軌跡（為了簡單起見，假定它位於一個平面上），如何得到它對應的圓軌道呢？只需要確定其一階導數和二階導數就可以了。

考慮一個圓

。顯然，圓上不同位置的一階導數和二階導數是不一樣的，但是圓的半徑沒有差別。對圓的軌跡方程求導數，可以得到

；再求一次導數，得到

。為了消去上述等式里的y（因為半徑R不依賴於y），可以由

得到，

，與

結合起來，就得到

對於任意軌跡上的某一點，求得該點的一階導數和二階導數，就可以得到那裡的曲率圓的半徑（還可以得到曲率圓的圓心位置）。如果把平面軌跡上的坐標x和y都視為時間t的函數，上述公式還可以表達為

，或者說，

，其中，變數上的點表示該變數對時間求微分，v˙ 就是加速度。上面這個式子對應於勻速圓周運動的向心力公式。舒幼生《力學（物理類）》第一章例7是反著來的，採用向心力公式來得到軌跡的曲率圓及其曲率半徑。

用拋物線或者曲率圓來近似某一段軌跡，完全是因為中學物理已經讓我們熟悉了自由落體運動和勻速圓周運動。那麼，自然就會產生一個問題：拋物線和圓到底有多大的差別？

從形式上看，二者的差別很大：圓的軌跡方程是

（其中，r是圓的半徑），拋物線的軌跡方程是

（其中，p/2是拋物線的焦距）；圓佔據了有限的空間，而拋物線延伸到無窮遠處。但是，二者都是圓錐曲線，更重要的是，在拋物線的頂點附近，二者的差別是很小的。

根據曲率圓的公式可知，在拋物線

的頂點處，曲率圓的半徑是p（因為在x=0處，

y′=0，y」=1/p），那裡的曲率圓就是半徑r=p的圓。在距離原點p/2的位置，這兩條曲線的差別大致是1%，很小的一個數值。

圓和拋物線的表達式差別很大，但是，在一定範圍內，二者的實際差別可以非常小。認識到這一點，是設計和製造中國「天眼」的關鍵。

位於貴州省平塘縣的「天眼」工程（500米口徑球面射電望遠鏡，FAST）

「天眼」是由中國科學院國家天文台主導建設，具有我國自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡。綜合性能是著名的射電望遠鏡阿雷西博的十倍。

「天眼」是半徑300米的球面的一部分，其基本技術指標包括：球反射面的口徑為500米；有效照明口徑300米；焦比（焦距與口徑的比值）為0.467；天空覆蓋的天頂角為40°；工作頻率70MHz－3GHz；靈敏度(L波段)為2000。

我們簡單地分析一下這些指標。

「天眼」本身是個球面，在工作的時候，需要調整為旋轉拋物面，因為旋轉拋物面可以把無線電波匯聚到焦點上，而（太大的）球面做不到。「天眼」的口徑是500米，而有效照明口徑只有300米，主要出於兩個因素的考慮：有效口徑越大，收集的效率越高（不是跟面積成正比，而是跟面積的平方成正比，因為波的干涉效應），但是，球面與旋轉拋物面的差別也越大，調整起來越困難；有效口徑越小，覆蓋的天空越大，能夠觀測到的範圍也就越大。300米有效口徑對應於150米半徑的圓，其圓心到半徑為300米的「天眼」球心的最大水平距離是100米，所以，對應的天空角度就是θ=arctan1/3，大約是 18.4°，乘以2就對應著天空覆蓋的天頂角40°。

300米口徑的球面和旋轉拋物面的差別有多大呢？因為這兩者都具有旋轉對稱性，我們只需要考慮300米口徑的圓和拋物線就可以了，二者在原點處的曲率圓半徑均為300米。為了簡單起見，取300米為1，二者的曲線方程為

其中，x 的取值範圍是[-0.5,+0.5]。在x=0處，二者相等，在x=0.5處，二者的差別是0.009（拋物線是0.1250；圓是0.1340，用近似公式則是0.1328），也就是1米多些的差別（150×0.09=1.35）。

這個差別不算很大，但是還可以搞得更好一些：重新選擇一個拋物線，使之經過圓在邊界處x=0.5的點，這個新的拋物線就是

，拋物線和圓的差別就更小了，大約只有0.002。也就是說，整個300米的範圍里，最大差別不過是0.3米（150×0.002=0.3）。注意，這個新拋物線的曲率圓半徑是0.933，對應的焦距是0.467，正好是「天眼」的焦比（焦距和有效口徑的比值）。

這還不是最好的近似。考慮拋物線

與圓的偏移，可以得到更好的近似。簡單地說，拋物線在原點處比圓略高一些，而在邊界處比圓略低一些——細節我就不算了，不僅因為0.3米已經足夠好了，還因為我打算偷個懶。

其實，這就是計算方法里「函數的最佳逼近」問題：用二次曲線逼近一段圓弧。現在這個例子太簡單了，不足以說明「最佳逼近」的威力，下次找個合適的例子再詳細說說吧。

當然，0.3米的差別，對於射頻信號的檢測還是有些大了。天眼的工作頻率是70MHz－3GHz，對應的最短波長是0.1米。為了高效地探測，工作面的與旋轉拋物面的差別必須遠小于波長，達到毫米的量級。這是通過「天眼」項目自主設計的索網結構來實現的：主索索段控制精度達到1毫米以內，主索節點的位置精度達到5毫米，而索構件疲勞強度不低於500MPa。

南仁東（1945—2017）；「天眼」與阿雷西博天文台對比。

「天眼」由主動反射面系統、饋源支撐系統、測量與控制系統、接收機與終端及觀測基地等幾大部分構成。我國天文學家南仁東於1994年提出構想，歷時22年建成，於2016年9月25日落成啟用。截至2018年9月12日，500米口徑球面射電望遠鏡已發現59顆優質的脈衝星候選體，其中有44顆已被確認為新發現的脈衝星。

今後，「天眼」一定能夠發揮更大的作用，得到更多更重要的成果。同時，其他領域工作的中國科技工作者也一定能夠充分發揮自己的聰明才智，取得更多更好的成績。

來源：科學網姬揚博客

作者姬揚，系中國科學院半導體研究所研究員

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