看完這個動圖的人，都會流下愚蠢的淚水

古代的數學大牛們，大多有一項高雅的愛好：尺規作圖。阿基米德、高斯和伽羅華，都是這項趣味項目的忠實擁躉，他們尤其喜歡用尺規作圖繪製各種正多邊形，由此衍生出許多的數學課題。

尺規作圖。圖片來源：wikipedia.org

利用尺規畫正多邊形，好像也不是很難。拿正三角形來說，用圓規隨意畫兩個互相經過圓心的圓，然後把兩個圓心和某一個交點連起來就成了。

正方形也很簡單，畫兩條垂直的線段，再以垂足為圓心用圓規隨便畫一個圓，然後把四個交點連起來，就得到一個正方形。

那正五邊形該怎麼做呢？

一旦考慮到五邊形，畫圖難度就陡然增加了。實際上正五邊形的尺規作圖法是這樣的，看著是不是一臉蒙圈？

想要畫出一個五邊形，首先我們需要先仔細觀察一下。正五邊形可以劃分成五個一樣的三角形，頂角都是72°.所以畫正五邊形的問題實際就是找出一個72°的角。

這幾個度數可以在這樣的一個三角形中重構：先畫一個頂角36°的等腰三角形ABC，它的底角就是72°（恰好是頂角的2倍），作底角的平分線得到一個新的等腰三角形DAB。

假設BC的長是x，那麼AD和BD的長也是x，再假設DC的長是a，現在按照相似比就可以得到一個比例式：（x+a）／x=x/a這個公式能夠推算出來x=.現在我們嘗試用這些比例構建一個72°的角，五邊形就能做出來了。

構造72°

首先我們在一組垂線上構造了OA=a，OB=2OA=2a，那麼AB明顯就是√5a.

現在我們需要構造x=這個數字。以AB作為半徑截取一段AB"，那麼OB"的長就是（1+√5）a.在這條線段上找到中點B"",於是OB""就是我們需要的長度x.

做一個A關於O點的對稱點A",A"B""就是x+a。

現在分別以B""為圓心、OB""為半徑，A"為圓心、A"B""為半徑畫圓，你就能找到剛才我們構造的等腰三角形了，然後一舉找到72°的圓心角。

在圓A"上拼齊其他幾條邊，就是個完整的正五邊形。

高斯與正十七邊形

當然，每當談起此類問題我們都一定要隆重吹捧一下數學王子高斯，他19歲的時候就證明了正十七邊形可以用尺規作出來，這可是兩千年間的重大突破。

圖片來源：wikipedia.com

繪製正十七邊形的思路其實也是構造相應的圓心角，比如下圖的這個方法。看完整個過程的人大多會陷入深深的疑惑和空虛之中。

圖片來源：wikipedia.org

高斯這個人外表高冷、內心澎湃，證出了正十七邊形問題，心裡很是得瑟，還特意讓人在自己的墓碑上鑿刻一個正十七邊形。不過據說石匠覺得正十七邊形跟圓也沒什麼區別，給他刻了個正十七角星，看著跟海膽一樣，也是一大憾事呢。

知識點八年級數學上

多邊形及其內角和

編輯：大琳砸

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