不朽的18個月 · 「讓牛頓去吧!」

科技 10-14

艾薩克· 牛頓爵士，英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，百科全書式的全才。在力學、光學、數學、經濟學等領域都有傑出的成果。著有《自然哲學之數學原理》《光學》。他在1687年發表的論文《自然定律》里對萬有引力和三大運動定律進行了描述，這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為了現代工程學的基礎。

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在牛頓的一生中，最神秘因而也最令人感興趣的是從1665年7月到1666年年底的18個月。在這18個月里，他在好幾個領域裡都作出了劃時代的發現，這些發現構成了他後來半個多世紀全部智力活動的核心。

人們熟知的故事是1665年春天，倫敦地區爆發了一場慘絕人寰的鼠疫：老鼠把一種病菌傳播給人，使人患一種名叫淋巴腺鼠疫的怪病。人一經染上這種病，就上吐下瀉，高燒不止，不出十天必死無疑。在不到三個月的時間裡，倫敦地區的人口一下子就減少了十分之一。劍橋大學當局為防患於未然，宣布大學關閉，全體師生都遣散回家。正進行緊張思考研究的牛頓被迫離開學校回到伍爾索普莊園。

伍爾索普村牛頓故居（王克迪攝）

事情還是得回溯到那場對牛頓十分關鍵的獎學金考試。

巴羅的點撥使牛頓懂得了兩個重要的東西。一是他必須掌握像《幾何原本》那樣精密、嚴謹的理論體系，否則他的學識再淵博再豐富也是支離破碎、殘缺不全的；再就是，他必須學會用專門的理論技巧和數學方法，來充分表達自己對自然的認識和研究。聰明的牛頓一旦領悟到這兩點，立即就埋頭鑽研《幾何原本》。他還仔細研究了當時幾位數學大師的新著，包括瓦里斯

（John Wallis，1616-1703）

的《無窮算術》，他又再次研究了笛卡兒的《幾何學》。在當時人看來，這些都是最高深的數學著作，很難讀懂。可是牛頓只用一年左右的時間就不但完全理解了作者的思想，還在他們的書中發現了大量錯誤，同時記下了大量筆記。特別令人吃驚的是，牛頓簡直像是在與作者賽跑一樣，一邊讀書，一邊不斷超越作者，一項接著一項地作出偉大發現。

瓦里斯（John Wallis，1616—1703）

笛卡兒（Rene Descartes，

1596

—

1650

）

1665年年初，牛頓首先發現了二項式定理。他閱讀瓦里斯《無窮算術》時，受到求曲線包圍面積計算方法的啟發，把瓦里斯的整數冪有限項級數計算推廣到分數冪無窮級數。他發現，新的無窮級數用於求解面積問題十分方便，就進一步用無窮級數求開方和作除法。在這個過程中，他成功地總結出二項展開式中變數的指數變化規律和每一項係數的變化規律，得到後來以他的名字命名的牛頓二項式定理。更為重要的是，他從這一發現中懂得了，把一個理論從特殊推廣到一般的強大思維力量。後來，他的最重要的理論研究，都成功地由個別推廣到普遍，最終形成龐大的思想體系，並在其不朽名著《自然哲學之數學原理》中得到完美體現。

《自然哲學之數學原理》英文版

《自然哲學之數學原理》中譯本

緊接著，他進一步發展了無窮級數的應用，這既可以看作是對二項式研究的推廣，也可以看作是對一些特殊函數研究的推廣。在這項研究中，牛頓把幾何學研究中一些十分困難的問題

(如求曲線包圍的面積)

轉化成代數計算。其中有特殊重要意義的，是牛頓發現了可以把對數計算用無窮級數展開進行。牛頓後來在進行異常繁雜的天文計算時，這一發現十分有幫助。

就在這時，大鼠疫襲來，學校關閉了。牛頓回到了伍爾索普。他很快發現那裡的生活干擾他的研究，又搬到漢弗萊·巴賓頓先生的家裡，在那裡度過了18個月中的大部分時間，這中間他還回過一次劍橋，去查找所需要的資料。那不朽的18個月一開始，牛頓就著手驗算自己的無窮級數。在一份極為著名的手稿里，牛頓把一個對數展開為無窮級數，一直把它計算到小數點後第55位，那張草稿中寫滿了數字和符號。牛頓為了便於計算位數，每隔5位數字就用逗號隔開一次。後來，牛頓在從事天體計算時，大量運用了這種級數展開法，其工作量之大，令人嘆為觀止。

大英圖書館前現代雕塑：計算著的牛頓

在研究級數時，牛頓注意到，要把函數展開為無窮級數必須引入無窮小概念，以保證級數具有收斂特性。這一發現本身就是對數學研究的一項重要貢獻。然而，牛頓沒有到此止步，他把無窮小引進到笛卡兒的坐標系中，對函數關係中自變數的無窮小量變化與相應的函數變化量之間的比例和關係加以考查，從而發現了有史以來人類所掌握的最為強有力的數學分析工具——微分方法和概念，他當時稱之為流數法。

有了流數法，牛頓輕而易舉地做到了當時人們特別想做而又做不到的事：求一條曲線的切線，求曲線的變化率以及變化率的變化率、求函數的極大值和極小值，用統一方法求曲線所圍的面積，等等。牛頓進一步發現，這種流數法可以直接用，也可以反著用。直接用時，可以求出曲線的切線

(或函數的導數)

；反著用，可以由切線求出曲線，或由導數求出函數，還可以十分方便地計算曲線包圍的面積。牛頓的流數法和反流數法，就是我們今天所熟知的微分方法和積分方法。

微分和積分太重要了。過去，在伽利略、開普勒、笛卡兒和惠更斯等人手裡無法求解和困難重重的難題，前人早已研究過的、人們正在研究的和許多尚無人研究的動力學、運動學問題，到了牛頓手裡，用流數和反流數法都變成了簡單問題。微積分後來成為一切科學研究最基本的計算工具，成為一個人是不是受過正規科學訓練的重要標誌之一。

發現二項式定理和微積分，在數學史上是個重要的里程碑。不過，當時才23歲的牛頓並沒有充分意識到這一點。他這時的數學研究已表明他是有史以來最偉大的數學天才之一，但他關心的並不是數學，而是物理世界的結構和運動。在他看來，他新近發明的數學方法只是解題和運算的工具，它們是用來解決物體運動問題的。他敏銳地看出，開普勒的行星運動定律和伽利略的物體運動定律各自所採用的數學表達形式，用他的新方法都可以作出相同的處理：把行星的運行軌道和地面物體的運動軌跡放到適當的笛卡兒坐標系中，連續用流數法求導兩次，就能得到某種相同的東西，它對物體和行星的運動起到類似的作用。

牛頓《自然哲學之數學原理》一書中關於月球理論的手稿。

有人說，偉大的數學天才牛頓只在世上存在了6個月左右，這期間他幾乎同時發明了二項式定理、無窮級數展開、微積分、無窮小概念，還幾乎發明了極限概念——這是那不朽的18個月的頭三分之一——然後，數學天才牛頓就突然變成了物理學天才牛頓。

實際上，就在大鼠疫期間，牛頓就查找了一些關於月球、行星和地球的觀測數據，對自己的新理論進行核驗。但是，前人的天文觀測數據用到牛頓的理論中時，理論與觀測值之間出現較大誤差。這促使牛頓後來親自做了許多天文觀測和實驗研究。另一方面，牛頓當時對於自己提出的新動力學原理，以及用這一原理去處理天體和物體的運動情況，還沒有很好掌握；此外，還有大量的數學推導和計算方面的問題需要解決。所有這些，促使牛頓把寫好的論文、筆記和手稿放進抽屜里，沒有向任何人提起。

天才牛頓

這時的牛頓，真是才思泉涌，處於創造力勃發的最佳狀態。在這「心志最苦」的不朽的18個月里，他的思想遨遊在抽象的數學王國和神奇的星空之中，忘記了時間，忘記了現實，也忘記了鼠疫就在身邊肆虐，那萬戶蕭疏鬼唱歌的慘景似乎從未觸動過的他的神經，噴瀉而出的超人才智完全控制了他的身心。但他畢竟還是人，也要吃飯睡覺，也會疲倦不堪——他在伏案苦思奮筆疾書之餘做些什麼呢？

他觀察太陽光。他終生都有這一愛好，在凝望著太陽光輝的同時陷入沉思，直到去世前幾小時，他仍在這樣做。

愉快的消遣很快變成認真嚴肅的科學探索。牛頓想到，太陽光經過稜鏡發生色散的現象表明，太陽的白光是由上述七種不同顏色的光複合而成的，就是說，太陽光其實不是一種光，而是好幾種不同顏色的光按一定比例混合而成的。

科學研究的靈魂在於定量研究。牛頓注意到不同顏色的光產生的折射角度不同。他馬上意識到，當時人們普遍使用的折射式望遠鏡必定是不完善的，因為透鏡的每一個局部都是某種形式的三稜鏡，光通過三稜鏡後，不同的顏色成分由於折射率不同不可能會聚在同一點上，這很好地說明了為什麼在望遠鏡中看到的物體的像在邊緣上總是有些彩色影像。很明顯，從這樣的儀器中獲得的天文觀測數據，其產生的誤差不但很大，而且是根本無法避免的。應該再發明一種新的望遠鏡，它能從根本上避免色差的影響。兩年以後，牛頓終於發明出與普通望遠鏡原理不同的反射式望遠鏡，徹底消除了色差現象。牛頓的這項研究，是他在那不朽的18個月中作出的又一個重要成果。

牛頓在研究光，後來出版了《光學》一書。

到1666年年初，原先只有46萬人口的倫敦市，已被大鼠疫奪去近8萬人的生命。然而，上帝好像對人類的罪惡還沒有懲罰夠似的，9月2日，倫敦燃起一場大火，整整燒了三天。這就是歷史上著名的「倫敦大火」，有90座教堂和13000幢民房毀於一旦。從那以後，肆虐近兩年的大鼠疫才慢慢消失，人們的生活才恢復了往日的秩序。在這災難深重的艱難時世里，有誰能想到，上帝把最耀眼奪目的人類智慧之光投射到一個叫牛頓的農民後代的身上，使那難忘的18個月變成不朽的18個月呢？

1666年「倫敦大火」

這時的牛頓，剛剛大學畢業，還從未發表過研究成果，沒有任何名望。但他在這18個月里所發現的和研究的，已足以使他躋身於思想巨人之列。兩年後，他才為英國科學界所認識；六年後，成為全歐洲公認的最優秀的數學家和最重要的自然哲學家；20年後，他寫就了使他千秋萬代聲名永駐的最偉大的科學著作，並成為英國無可爭議的科學界的領袖和統治者，而他的思想和理論則在世界科學中處於主導地位達300年之久。

這時的牛頓並沒有想到這些。但他已不再是滿身土氣的鄉下學子，不再是秉性乖戾的劍橋學生。他身上的天才意識和理智的自信心開始覺醒，他將有所成就獲得名望，他絲毫也不懷疑這一點。