一個字都沒寫的數學證明題，憑啥就得了滿分？

很多人都認為，數學證明只是一些乏味枯燥的公式堆砌和推導過程，但真正優秀的證明都包含著美麗又精巧的思想火花，甚至一個字不用寫就把命題證得明明白白。今天的這篇推送里盤點了數學裡8個著名的不需語言的證明（proofs without words），看過之後你一定會大受啟發的。

1. 勾股定理

這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。

圖中的總面積（area）一直都是c

2

2. 幾何平均值小於算術平均值

這是不等式中最重要和基礎的等式：

它也可以通過圖形來證明。

注意到ABC∽DBA ,可以很輕鬆地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。

3. 1+3+5+…+（2n-1）= n2

這是奇數的求和公式，下圖是當n=8時的情形

4. 平方數的求和公式

5. 立方數的求和公式

6. 結果為1/3的一組分數

下面是一組分數，他們的結果都等於1/3 ：

7. 最受數學家喜愛的無字證明

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。

《美國數學月刊》提供了一個非常帥的「證明」。把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的「證明」流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。

8. 棋盤上的數學證明

在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？

答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。

但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。

上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線，從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁?加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書里。

資料來源：

mathoverflow

《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》

《Proofs without words》

編輯：大琳砸

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！