一周一定理No.2 求一術與方程術

劉徽在《九章算術注》中提出了對矩陣同時做行列變換求解方程組的方法.

在本欄目第1期一周一定理No.1 中國剩餘定理，我們向大家介紹了著名的中國剩餘定理，並引發了讀者的熱烈反響，感謝大家對本欄目的鼓勵支持，以及對具體內容的建議和評論。今天我們想給大家介紹一下求一術及其推廣方程術。前者在中國剩餘定理的介紹中已經出現，我們先簡單回顧一下。

前文一周一定理No.1 中國剩餘定理所敘述的中國剩餘定理，其關鍵思想有兩個：一是通過（線性方程組的）疊加原理將一個一般的同餘方程組分解為多個特殊的同餘方程組；而是將特殊的同餘方程組（通過換元）轉化為一次同餘方程的求解，而後者可以用求一術來求解。

按照古人的敘述（注，下述表述與一周一定理No.1 中國剩餘定理中的表述略有不同，但實質一樣，且更與歷史相符），求一術可以表述如下：

求解方程

的整數解的求一術：

首先寫出矩陣

然後對第一行兩個元素輾轉相除，並將對應的操作應用於第二行(用矩陣的語言說，相當於對A做初等列變換)，直至第一行的兩個元素都變成不能更小的正整數，此時：若此兩個數中有一個數是1，則它下方的那個數是（）的一個特解；否則，（）無整數解。此外，若已得到（）的一個特解，比方說，

那麼，（）的通解為

我們舉個例子。

求一術可以推廣成下述求解丟番圖方程的方程術。

作為例子，我們來求解「猴子分桃」問題中的丟番圖方程，參見張景中院士：五猴分桃問題。

注：我們不打算證明方程術，它本質上就是解線性方程組的矩陣變換方法，這一方法最早記錄在《九章算術》中，其中第八章就叫「方程」。有興趣的讀者，可以參見從射鵰到九章——在天大理學院物理系的通俗報告。

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