黃蓉說：靖哥哥，這道數學題我會

江湖

再見

2018年10月30日，武俠小說大家，金庸先生逝世。

金庸（1924年3月10日-2018年10月30日），原名查良鏞，生於浙江省海寧市，1948年移居香港 。當代武俠小說作家、新聞學家、企業家、政治評論家、社會活動家，「香港四大才子」之一 。

作為90後，相信許多人也跟小天一樣，都看過金庸先生的小說翻拍成的電視劇，比如《飛狐外傳》、《神鵰俠侶》、《倚天屠龍記》、《天龍八部》、《鹿鼎記》等。

那時候不像現在，沒有pad，沒有智能手機，每天最開心的事情莫過於寫完作業後，能在看會電視。雖然這些作品已經過去了多年，但我們也從未忘記過。

作為一名十八線的科普網紅，今天我們來掰掰金庸先生的小說中的數學文化。

在《射鵰英雄傳》之中就有這麼一段情節：

黃蓉坐了片刻，精神稍復，見地下那些竹片都是長約四寸，闊約二分，知是計數用的運算元。再看那些運算元排成商、實、法、借算四行，暗點運算元數目，知她正在計算五萬五千二百二十五的平方根，這時「商」位上已記算到二百三十，但見那老婦撥弄運算元，正待算那第三位數字。黃蓉脫口道：「五！二百三十五！」

那老婦吃了一驚，抬起頭來，一雙眸子精光閃閃，向黃蓉怒目而視，隨即又低頭撥弄運算元。這一抬頭，郭、黃二人見她容色清麗，不過四十左右年紀，想是思慮過度，是以鬢邊早見華髮。那女子搬弄了一會，果然算出是「五」，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見怒容，似乎是說：「原來是個小姑娘。你不過湊巧猜中，何足為奇？別在這裡打擾我的正事。」順手將「二百三十五」五字記在紙上，又計下一道算題。

這段故事當中，郭靖與黃蓉被鐵掌派追殺，郭、黃二人無意中闖到瑛姑的小屋中，正巧撞見瑛姑正在算這樣一道開平方的問題。

那麼小說當中，宋朝人用來計算平方根的方法是什麼呢？我們今天就來介紹一下。

增乘開方法

那麼增乘開方法是如何來計算一個數的平方根的呢？

舉個例子

我們就以小說中瑛姑所計算的求55,225的平方根這個問題為例（為了便於理解我們就直接用阿拉伯數字來表示，就不用算籌啦。

首先我們把55,225放入實這一行。

1.由於55,225是一個五位數，因此我們估算商應當是一個三位數，並且由於萬位上的數是5，所以估計商的百位數是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位數一定是2）。

2.令借為1，法的值則為借乘商（1×2）。

3.更新實，使之為原實減去商乘法（5-2×2=1），則新實為1。

4.更新法為商乘借加到舊法上（2+2×1=4）。

5.將法後移一位，借後移兩位。

然後我們再次重複1- 5的循環；

1.估算商的十位為3（3×4,000=12,000＜15,225）。

2.更新法，為原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）。

3.更新實，使之為原實減去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），則新實為2325。

4.更新法為商乘借加到舊法上（43+3×1=46）。

5.將法後移一位，借後移兩位。

第二輪結束，第三輪開始，再一次重複這五個步驟。

1.估算商的個位為5。

2.更新法，為原法加個位商乘借（460+5×1=465）。

3.更新實，使之為原實減去商乘法（2325-465×5=0）。

到這一步我們驚喜的發現，實的值為0了，也就是說我們最後解出來了55,225的平方根為235。

我們可以再驗證一下，計算235的平方。

發現235的平方果然是55,225，也就是說我們的計算結果是正確的。

增乘開方法的步驟

總結一下，增乘開方法其實一共五個步驟：

估算商；

用商乘借加到法上；

實減去商乘法；

再用商乘借加到法上；

法後移一位，借後移兩位。

然後只要不斷地循環上述步驟，直到實為0，此時的商就是我們所求的平方根的值啦。

案例二：如何用增乘開方法開更高次方？

案例一我們說到，郭靖黃蓉二人誤打誤撞來到了瑛姑的小屋，看到她正在計算一道開平方的問題，我們繼續來看小說後面的案例二：

這次是求四34012240的立方根，她剛將運算元排為商、實、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個「三」，黃蓉輕輕道：「三百二十四。」那女子「哼」了一聲，哪裡肯信？布算良久，約一盞茶時分，方始算出，果然是三百二十四。

接下來瑛姑又計算了一道開立方的問題，那麼如何來開一個數的立方根呢？

其實之前我們所講的增乘開方法，不只能用來開平方根，還能用來開立方以及更高次方的根。

小說中的bug

書中所寫故事的時代背景是寫到成吉思汗去世為止，成吉思汗死於公元1227年，而關於賈憲的增乘開方法的提出時間，所能找到的最早的記載是楊輝的《詳解九章演算法纂類》，該書寫於1261年。

也就是說，瑛姑所用的開平方的方法，如果按照時間關係上來看，所用的應該是時間更早的《九章算術》中的開平方的方法；但如果根據書中所寫的瑛姑把算籌擺成「商、實、法、借」四行的話，就應該用的是賈憲的增乘開方法了。

而瑛姑所用的開立方的方法，將運算元擺為六行，又是《九章算術》的方法了，用增乘開方法的話只需要擺成五行就夠了。

增乘開方法是賈憲在《九章算術》中開方的方法的基礎上，對傳統方法進行改進，並推廣到了開更高次方的情況，因此，我們還是主要來介紹增乘開方法。

我們先來複習一下，之前所講的增乘開方法的五個步驟：估算商；用商乘借加到法上；實減去商乘法；再用商乘借加到法上；法後移一位，借後移兩位。

只要不斷循環這五個步驟，直到實變為0，所得到的商就是我們的結果啦。

舉個例子

接下來我們還是以小說中的這道題為例來計算，為了便於理解，我把每一步計算所變化的數框了起來~

先將被開方數放到實的位置上，並將1置於下法。

將下法的1每次向前移動兩格，共移動了三次，說明商應當是一個三位數。

接下來正式開始計算啦

1.估算商的值為3（3的三次方為27，小於34）。

2.用商乘下法置於廉（3×1=3），再用商乘廉置於方（3×3=9）。

3.實減去商乘方（34-3×9=7）。

4.商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）。

再用商乘下法加到廉（3×1+6=9）。

5.將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。

然後我們就可以開始下一個循環啦。

1.估計商的十位為2。

2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。

3.實減去商乘方。

4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉。

5.將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。

第二個循環結束，開始第三遍啦~

1.估計商的個位為4。

2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。

3.實減去商乘方。

我們驚喜的發現，實變成了0，也就是說，我們所求的34,012,224的立方根就是324！

開立方的步驟

我們總結一下，開立方其實也是五個步驟：

估算商；

商乘下法加到廉，商乘廉加到方；

實減去商乘方；

商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；

將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。

和開平方的步驟一樣，接下來只要不斷地循環以上步驟，直到實為0，此時的商便是所求的根啦~

推廣到開任意次方的步驟

我們先把開平方和開立方的步驟放到一起來對比一下。

從這個表格中我們能夠非常容易的找到規律，從而總結出用增乘開方法開任意正整數次方的方法。

假設我們要求一個數的n次方（n為正整數），那麼我們共需要寫出n+2行，前兩行分別是商和實，其餘的n行我們用N1、N2、···、Nn來表示。

將被開方數放入實這一行，在Nn上的最後一格放上一個1，將Nn上的1向左移動，每次移動n-1格，在下一次移動便會超出實的時候停止，此時1移動的次數便是商的位數。

接下來，我們就可以開始進行五個步驟循環的計算啦~

1.估算商。

估計出一個商的第一位數的值，設它為a1，a1的n次方應當小於1上面的實的值，而a1+1的n次方是大於它的。

2.依次從下到上填入數字，Nn中已經填入了1，接下來

Nn-1=a1×1

Nn-2=a1×Nn-1

……

N1=a1×N2

3.更新實。新的實=原實-N1×a1

4.更新從N1到Nn。

第1輪：

Nn-1=a1×1+Nn-1

Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2

……

N1=a1×N2

第2輪：

Nn-1=a1×1+Nn-1

Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2

……

N2=a1×N3

如此不斷循環下去，一直重複到第n-2輪，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2為止。

5.將從N1到Nn上的數依次向後移動1、2、3、...n個格。

接下來只要重複上述幾個步驟，直至實變為0為止。

如果是無法開出整數的情況的話，實便永遠除不盡，便可以不斷地重複上述步驟，得到後面無窮無盡的小數啦。

【參考文獻】

[1] 金庸. 射鵰英雄傳[M]. 北京: 生活·讀書·新知三聯書店, 1994.

[2] 梅榮照. 賈憲的增乘開方法——高次方程數值解的關鍵一步[J]. 自然科學史研究, 1989, (01):：1-8.

[3] 李兆華. 增乘開方法與賈憲三角形[J]. 中等數學, 1986, (1)： 44-45.

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