解決了數學危機,卻被逼瘋死在精神病院
怎麼
又來了
在上篇文章中,我們說到由柯西與康托爾為代表的數學家們,通過建立起了嚴謹的極限理論,和實數理論成功解決第二次數學危機。(傳送門:互掐了半輩子的兩個數學巨頭,到最後連單身問題都沒解決)
就當大家覺得總算可以消停會時,第三次危機又來了!
又是一個找茬的
然而這次危機的引發者,恰恰也是解決了第二次危機的數學家——康托爾。
格奧爾格·康托爾Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp1845.3.3-1918.1.6)
格奧爾格·康托爾,德國數學家,出生於俄國聖彼得堡,1856年全家遷居德國的法蘭克福,先在一所中學,後在威斯巴登的一所大學預科學校學習。
1873年11月29日,康托爾給戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)寄了一封信,信中提到:正整數的集合(n)與實數的集合(x)之間能否把它們一一對應起來。
同年12月7日,康托爾又寫信給戴德金,說他已能成功地證明實數的「集體」是不可數的,也就是不能同正整數的「集體」一一對應起來。這標誌著集合論的誕生。
十九世紀下半葉,他創立了著名的集合論。但在集合論剛產生時,遭到了許多人的猛烈攻擊。
尤其有一個叫克羅耐克的數學家,處處與康托爾作對,跟針對牛頓的貝克萊 一樣,克羅耐克也有一句名言:「上帝創造了正整數,其餘的是人的工作」。
克羅內克認為,數學的對象必須是可構造出來的,不可用有限步驟構造出來的都是可疑的,不應作為數學的對象。他反對無理數和連續函數的理論,並且說康托爾的集合論空空洞洞毫無內容。
由於連續統假設長期得不到證明,以及克羅耐克在當時的數學界權勢很大,康托爾不斷的受到各方面打壓,甚至由於過度緊張得了精神病,最後死在了精神病院里。
後來有越來越多的數學家,接受了康托爾這一開創性成果,認為從自然數與康托爾集合論出發,可建立起整個數學大廈—「一切數學成果可建立在集合論基礎上」。
一波未平一波又起
但好景不長,又有一個震驚數學界的消息傳出來了:集合論是有漏洞的!
1903年,數學家羅素(Bertrand Russell,1872—1970)提出的一個悖論:若S由一切不是自身元素的集合所組成,那S包含S嗎?
通俗的描述就是:有一位理髮師,他只給所有不給自己理髮的人理髮,不給那些給自己理髮的人理髮。 問:他要不要給自己理髮呢?
如果他給自己理髮,他就屬於那些給自己理髮的人,因此他不能給自己理髮。如果他不給自己理髮,他就屬於那些不給自己理髮的人,因此他就應該給自己理髮。
說到這個羅素,也是大有來頭,不僅是哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家、文學家,也是分析哲學的主要創始人,世界和平運動的倡導者和組織者。
羅素出生在英國的一個貴族家庭,祖父曾擔任英國首相。雖然家裡很有錢,但不幸的是,在羅素年幼的時候,父母和祖父相繼離世,他從小由祖母照顧。
祖母出身於一個貴族的虔誠教徒的家庭,特別講究規矩和清教徒的美德,而且不允許懷疑。但數學是可以懷疑的,因為數學沒有倫理內容,於是羅素喜歡上了數學。
同樣的,羅素也有一句名言:在數學中最令我欣喜的,是那些能夠被證明的東西。
羅素的這個悖論看似簡單明了,卻輕輕鬆鬆的摧毀了集合理論!許多把數學作為信仰的數學家,心態爆炸。
他還把自己的發現告訴了德國著名邏輯學家弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege)。
弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege,1848.11.8-1925.7.26)
然而,看完信後的費雷格差點吐血。因為這時候,弗雷格的關於集合的基礎理論正好完稿付印。
因為這個悖論的誕生,導致了他的著作《算術原理》中的第五公理是錯的。
最後他在自己著作的末尾寫道:
「一個科學家所碰到的最倒霉的事,莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。」
第三次數學危機的解決方案
為了解決這次數學危機,數學家們紛紛提出自己的解決方案。
首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅(Zermelo),他提出七條公理,建立了一種不會產生悖論的集合論。
又經過德國的另一位數學家弗芝克爾(Fraenkel-Conrat,Heinz)的改進,形成了一個無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理系統。
(1)外延公理(容積公理):一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同,則它們是相等 [1] 的。
(2)分離公理模式:「對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z),存在集合Y,使z∈Y 當且僅當z∈X而且P(z)為真」
也就是說:若A是一個集合,那麼可以斷定,B=也是一個集合。
(3)配對公理:對任意a和b是對象,則存在一個集合,其僅有的元素是a和b。
也就是說:我們可以用一個集合Z=來表示任給的兩個集合X,Y,稱之為X與Y的無序對。
(4)並集公理:任給一族M,存在UM(稱為M的並)它的元素恰好為M中所含元素的元素。
也就是說:我們可以把族M的元素的元素彙集到一起,組成一個新集合。
註:為了方便描述,定義族表示其元素全為集合的集合。
(5)冪集公理(子集之集公理):對任意集合X,存在集合P(X),它的元素恰好就是X的一切子集。
也就是說:存在以已知集合的一切子集為元素的集合。
(6)無窮公理:存在歸納集。(存在一個集合,空集是其元素,且對其任意元素x,x+=x∪也是其元素)
也就是說,存在一集合x,它有無窮多元素。
(7)替換公理模式(置換公理):也就是說,對於任意的函數F(x),對於任意的集合T,當x屬於T時,F(x)都有定義(ZF中唯一的對象是集合,所以F(x)必然是集合)成立的前提下,就一定存在一集合S,使得對於所有的x屬於T,在集合S中都有一元素y,使y=F(x)。也就是說,由F(x)所定義的函數的定義域在T中的時候,那麼它的值域可限定在S中。
(8)正則公理:也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質,例如,不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義:「對任意非空集合x,x至少有一元素y使x∩y為空集。」
以上8條公理組成了ZF公理系統,再加上選擇公理,則組成了ZFC公理系統
所以悖論是科學發展的產物,又是科學發展源泉之一。
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