理解黎曼猜想（四）得救之道，就在其中

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導讀

假如非平凡零點的實部是在0到1之間隨機取值，那麼它剛好取到1/2的概率應該等於0。黎曼卻認為這個概率是100%！這件事如果是真的，就說明它一點都不隨機，在這背後肯定有深刻的原因。人們已經計算了十萬億個非平凡零點，然後你猜怎麼著？它們都躺在臨界線上！

在前三期節目（文章見理解黎曼猜想（一）背景 | 袁嵐峰、理解黎曼猜想（二）兩個自然數互質的概率是多少？ | 袁嵐峰和理解黎曼猜想（三）你真的相信全體自然數的和等於-1/12嗎？ | 袁嵐峰，視頻見https://www.bilibili.com/video/av34580488、https://www.bilibili.com/video/av35082418和https://www.bilibili.com/video/av35623705）中，我們介紹了黎曼猜想的背景，即質數分布問題，以及研究質數分布的基本工具，即歐拉乘積公式。我們還說到，黎曼通過解析延拓，把歐拉ζ函數升級成了黎曼ζ函數。順便說一句，令許多人驚愕萬分的所謂「全體自然數的和等於-1/12」，其實不是字面上的意思，而是說黎曼ζ函數在自變數為-1時的取值等於-1/12。那麼，黎曼具體做了些什麼呢？

黎曼

黎曼是一位德國數學家，生於1826年，可惜天不與壽，只享年40歲，去世於1866年。黎曼從小就顯示出了超群的數學天才，得到過數學王子高斯（Johann CarlFriedrich Gauss，1777 - 1855）的讚賞，這是極其少見的。在黎曼去世五十多年後，愛因斯坦在發展廣義相對論的過程中，又受到了黎曼極大的啟發，可見黎曼的洞察力多麼超越時空！

1859年，黎曼33歲時被選為柏林科學院（Berlin Academy）的通訊院士（corresponding member）。為了答謝這個榮譽，黎曼向柏林科學院提交了一篇論文，標題叫做《論小於給定數值的質數個數》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse，英文翻譯為On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）。此文的篇幅雖然只有短短的8頁紙，內容卻非常豐富，語言極其精鍊，直到現在都在不斷給數學家們提供啟發和挑戰，堪稱整個數學史上最深邃和最難啃的論文之一。此文的要點包括：

一，我們應該把ζ(s)中的自變數s理解為複數（complex number），而不只是實數；

二，我們可以通過解析延拓（analytic continuation），讓ζ(s)在s

三，通過對ζ(s)的研究，我們可以對小於等於某個數x的質數的個數給出一個明確的表達式，在這個表達式中唯一未知的就是ζ(s)的零點的位置；

四，黎曼猜測，ζ(s)的零點都位於某些地方，這個猜測就是黎曼猜想。

現在我們來解釋一下。歐拉ζ函數是這樣一個對所有自然數求和的級數：

需要注意的是，這個級數只在s > 1時收斂，在s ≤ 1是發散的，因此沒有意義。但是黎曼提出了一種通過ζ(s)來定義ζ(1 - s)的方法，硬是把這個函數擴展到了s ≤ 1的區域。

黎曼是怎麼做的呢？在s > 1的情況下，黎曼經過一番巧妙的變換，證明了下面這個等式：

這裡的Γ是歐拉Gamma函數，是階乘的擴展。如果你看不懂細節，這並不重要。真正重要的，是看右邊這個關於s的表達式：把s換成1 - s，答案不變。

為什麼呢？因為這時前面的分式中的分母s(s - 1)變成了(1 - s) (-s)，你看，確實不變。而後面的積分當中的兩個指數，-(s + 1)變成了-(2 - s) = s - 2，而s - 2變成了-(s + 1)，你看，剛好是互換了一下，所以還是不變。結論是：右邊的表達式，在s換成1 - s時，保持不變！

因此黎曼指出，左邊的表達式在把s換成1 - s時，也保持不變。也就是說：

這個等式叫做黎曼的函數方程。根據這個等式，如果你知道了ζ(s)，你就可以算出ζ(1 - s)。就這樣，黎曼對ζ函數做出了解析延拓，從它已知的在s > 1時的值，就可以定義它在s

由於時間關係，在這裡我們只能講這個證明的大略。真正驚人的是，你如果照著他的證明一路推下去，你就會看到他的結論是正確的，但他是怎麼想到這個做法的？這就完全是「一劍西來，天外飛仙」！即使在專業數學家看來，黎曼的思路也非常神奇，遠遠不是顯而易見的。

一劍西來，天外飛仙

在這樣神乎其神的洞察力和創造力面前，我們感到深深的震驚和敬佩。就像周星馳的電影《國產凌凌漆》里的台詞：

「你那憂鬱的眼神，唏噓的胡碴子，神乎其技的刀法，還有那杯Dry Martine，都深深的迷住了我……」

《國產凌凌漆》

黎曼表現出來的，就是真正的神乎其技。我們應該感謝，有如此偉大的頭腦引領人類前進！

細心的同學可能會問：從s變換到1 - s，只能把大於1的變換到小於0，那麼0和1之間的怎麼辦呢？對此的回答是，早在黎曼之前，數學家已經對這個區域做出了解析延拓。

回顧一下我們這個系列的第一篇（理解黎曼猜想（一）背景 | 袁嵐峰），把n的-s次方記作f(n)，把所有的f(n)的和即f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + …記作A。把f(2)乘到A上，會得到所有的偶數項。當時我們做的是，從A中減去f(2)A，就消去了所有的偶數項，只剩下奇數項。大家還記得吧？

現在我們要做另一件事，從A中減去二倍的f(2)A。這樣會得到什麼呢？顯然就是：

右邊這個表達式的特點是，不再全是正號，而是正負號交替出現。這個級數叫做狄利克雷級數（Dirichlet series），狄利克雷（Johann Peter GustavLejeune Dirichlet，1805 - 1859）是另一位偉大的德國數學家，黎曼就是繼承了他在哥廷根大學的職位。由於正負號交替出現，狄利克雷級數的收斂範圍擴大了，從s > 1擴大到了s > 0。因此，在0和1之間，ζ(s)就可以用狄利克雷級數除以1 - 2f(2)來定義。

狄利克雷

好，在黎曼的解析延拓之後，我們可以對全部的實數s畫出ζ(s)的圖像如下：

如果把解析延拓比作搶救一個函數的話，那麼我們對ζ函數的搶救確實獲得了巨大的成功！只有s = 1這一點救不回來，在這裡它仍然是無窮大。ICU也不能包治百病啊！

我覺得我可以再搶救一下

順便說一句，在s 1時候的級數代進去，就會得到下面的形式結果：

以及很多諸如此類的形式上的等式。我們在每一個等號後面都加了個問號，是為了強調這些並不是真的相等，只是一種聯想。所謂「全體自然數的和等於-1/12」，「無窮多個1加起來等於-1/2」，以及「全體自然數的平方和等於0」等等，都是這麼來的，絕不是真的相等。如果你要問這些無窮級數實際上等於什麼，那當然是無窮大。

下一點要解釋的是，黎曼ζ函數的定義域不只是實數，而是複數。如果你不知道複數是什麼，那麼我們可以稍微解釋一下：複數就是所有的x + yi，其中x和y是兩個實數，而i是-1的平方根，即i的平方等於-1，x叫做這個複數的實部，常用Re來表示，y叫做這個複數的虛部，常用Im來表示。全體的實數可以用一根數軸來表示，而全體的複數需要用一個平面來表示，這個平面的x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，在這個平面上坐標為(x, y)的一個點就對應於x + yi，這個平面叫做複平面。我們也經常把複數理解為一個矢量，這個矢量的起點是原點，終點是(x, y)。在這些意義上，實數是一維的數，而複數是二維的數。

把ζ函數的自變數s擴展為複數後，很容易證明，原來的級數在s的實部（即Re(s)）大於1時是收斂的，而在Re(s)小於1時是發散的。經過黎曼的解析延拓後，ζ函數最終變成了這樣：

在整個複平面上，黎曼ζ函數只在s = 1這一點沒有定義，而在其他所有的點都有定義。你也許會問，指數為複數的乘方怎麼計算？回答是，看一下高中數學課本就知道了，關鍵全都在這個歐拉公式里：

因此，指數如果是純虛數，乘方的結果就是給原來的複數矢量做了一個旋轉。指數如果是實數，乘方的結果就是改變了原來的複數矢量的長度，而方向不變。指數的實部和虛部如果都不等於0，乘方的結果就是既改變大小，也改變方向。

黎曼把ζ函數的自變數s從實數擴展到了複數，也就是說把ζ函數從實變函數變成了複變函數，這樣做有什麼好處呢？

好處在於，在某種意義上，複變函數比實變函數簡單。是的，你沒聽錯，二維的複變函數比一維的實變函數簡單。

為什麼呢？因為在數軸上接近一個點，只有兩個方向，左和右，而在複平面上接近一個點，卻有無窮多個方向，例如左邊、右邊、上邊、下邊以及任意傾斜的方向。如果對無窮多個方向做計算都能得到同一個結果，那麼這是一個非常強的限制條件，能通過這樣的限制條件的複變函數就很容易處理，比實變函數容易處理得多。例如，複變函數的解析延拓就比實變函數的解析延拓容易得多。因此數學界有這樣的笑談：實變函數處理的都是性質非常惡劣的函數，複變函數處理的都是性質非常良好的函數。

現在我們可以理解黎曼的做法了。用《三體》的語言說，黎曼對ζ函數發動了「降維打擊」！

二向箔

複變函數的一個特點是，許多性質是由它的零點（zero）決定的。所謂零點，就是使得這個函數取值為0的點，例如正負i就是複變函數f(z) = z2+ 1的兩個零點。

如果你在複平面上圍著一個零點做一條曲線，好比扔一個套索套住這個零點，然後求函數在這條曲線上的積分，那麼你會發現積分結果完全由零點的性質決定，跟曲線的具體情況沒有關係。你可以把這條曲線擴大一點或者縮小一點，拉長一點或者壓扁一點，都對結果完全沒有影響，你只需要知道函數在零點附近的行為就夠了。

來，讓我們為複變函數獻上一首《套馬杆》！套馬的數學家，你威武雄壯！

套馬杆

黎曼對ζ函數套了一通馬之後，套出了下面這個驚人的等式：

這個等式說的是什麼呢？左邊的J(x)是一個階梯函數，它在x = 0的地方取值為0，然後每經過一個質數（例如2、3、5）就增加1，每經過一個質數的平方（例如4、9、25）就增加1/2，每經過一個質數的三次方（例如8、27、125）就增加1/3，如此等等，每經過一個質數的n次方就增加1/n。你可以把它理解為，一個質數的n次方被算作了1/n個質數。顯然，這個函數跟質數的分布密切相關。

來看等式的右邊。第一項Li(x)叫做對數積分函數（logarithmic integral function），它的定義是：

對數積分函數的圖像是這個樣子：

在x很大的時候，Li(x)就約等於x/lnx。

再來看第二項，這裡的函數形式仍然是對數積分函數，但自變數卻變得非常有意思，是所有的x的ρ次方。這些ρ是什麼呢？回答是：黎曼ζ函數的非平凡零點（non-trivial zeroes）。

零點我們知道了，就是使函數取值為0的那些點。為什麼又加個「非平凡」呢？因為黎曼證明了，s等於-2、-4、-6、-8等負的偶數值的時候，ζ(s)必然等於0。如果用類似於「全體自然數的和等於-1/12」那樣的開玩笑不嫌事兒大的語言，就可以說「全體自然數的平方和等於0」，「全體自然數的四次方和等於0」，「全體自然數的六次方和等於0」，以至於「全體自然數的偶數次方和等於0」。在數學家們看來，這是一目了然的，於是他們把ζ函數的這些零點叫做平凡零點（trivial zeroes）。好吧，數學家的「一目了然」和我們真是兩個概念！

你也許會問，既然非平凡零點ρ不是實數，那麼x的ρ次方也不是實數，對這樣一個虛數自變數的對數積分函數是怎麼計算的？回答是：數學家又做了一個解析延拓，把對數積分函數的定義域擴展到了複數。

總而言之，黎曼套馬杆的結果，就是對一個與質數分布密切相關的函數J(x)給出了一個表達式，其中唯一不清楚的部分來自黎曼ζ函數的非平凡零點。

然後，讓我們回顧一下，黎曼這篇論文的標題叫做《論小於給定數值的質數個數》。有一個函數叫做質數計數函數（prime-counting function），意思是小於等於給定數值x的質數個數，數學家經常把它寫成π(x)。這個名字有點杯具，因為它跟圓周率π毫無關係。

讓我們來舉個例子，小於等於1的質數有多少個？回答是沒有，所以π(1) = 0。小於等於2的質數有多少個？回答是1個，就是最小的質數2，所以π(2) = 1。小於等於3的質數有多少個？增加了一個質數3，所以π(3) = 2。類似地，π(5)= 3，π(7) = 4，π(11) = 5等等。對於前60個自然數，質數計數函數的圖像如下：

顯然，如果我們對質數計數函數知道了一個簡便的計算公式，那麼對第n個質數也就有了快速的演算法。如我們在本系列中第一篇所說的，這將造成驚人的後果，對理論和應用都產生巨大的影響。

你也許會嘆息，黎曼得到的並不是π(x)，而是J(x)。沒關係，這兩個函數包含的信息是等價的，從它們中的一個就可以推出另一個。在這個意義上，質數分布的全部信息都包含在黎曼ζ函數非平凡零點的位置當中。用《肖申克的救贖》中的台詞說：「得救之道，就在其中！」

得救之道，就在其中

具體地說，π(x)和J(x)之間的關係是：

這裡的μ(n)叫做莫比烏斯函數（M?bius function）。沒錯，就是莫比烏斯帶的那個莫比烏斯（August Ferdinand M?bius，1790 - 1868），這又是一位偉大的德國數學家。

莫比烏斯帶

莫比烏斯函數的取值只有三種可能：0和正負1。如果n可以被任何一個質數的平方整除，也就是說在它的質因數分解中有一個質因數出現了二次或更高次方，那麼μ(n) = 0。如果n不能被任何一個質數的平方整除，也就是說n的任何一個質因數都只出現一次，那麼我們來數質因數的個數。假如質因數有偶數個，那麼μ(n)= 1。在這裡還包括了n = 1的情況，因為它沒有質因數，0算作偶數，所以μ(1) = 1。而假如質因數有奇數個，那麼μ(n) = -1。

由此可見，μ(1) = 1，μ(2) = -1，μ(3)= -1，μ(4) = 0，μ(5) = -1，μ(6) = 1等等。這正是上面的展開式中用到的前幾項。

很顯然，J(x)是一個增函數。在上面的展開式中，隨著n的增加，x的1/n次方變得越來越小，相應的第n項也變得越來越小。因此，對π(x)貢獻最大的就是第一項，J(x)。而對J(x)貢獻最大的來自哪一項呢？這就涉及到黎曼ζ函數非平凡零點的位置了。

一個非平凡零點ρ的實部和虛部經常被記為σ和t，即ρ = σ + it。黎曼很快就證明了，ρ不可能出現在σ > 1或者σ 臨界帶（critical strip）。

然後，根據黎曼ζ函數的形式，很容易發現零點對於實軸是對稱的。也就是說，如果σ + it是一個零點，那麼它的共軛複數σ - it也是一個零點。因此，非平凡零點總是上下成對出現的。當我們說第n個非平凡零點的時候，指的總是第n個虛部為正數的非平凡零點，而虛部為負數的那些你自動地就知道了。

再然後，根據黎曼的函數方程，即ζ(s)與ζ(1 – s)之間的聯繫，又很容易發現，非平凡零點對於σ = 1/2這條豎線是對稱的。也就是說，如果σ + it是一個零點，那麼1 - σ + it也是一個零點。

黎曼計算了幾個非平凡零點的位置，發現它們的實部都等於1/2。例如第一、二、三個非平凡零點，實部都等於1/2，而虛部分別約等於14.1347、21.0220和25.0109。然後，他就做出了一個驚天動地的猜想：

黎曼ζ函數所有的非平凡零點，實部都等於1/2！

這就是黎曼猜想，數學中最大的未解之謎之一。

我們把σ = 1/2的這條豎線稱為臨界線（critical line），也就是臨界帶的中心線。前面我們已經知道了，所有的非平凡零點都在臨界帶里。但黎曼猜想卻大大地加強了這個結論，它說的是：所有的非平凡零點都在臨界線上！

臨界線與臨界帶

這是一個非常令人驚訝的結論。假如非平凡零點的實部是在0到1之間隨機取值，那麼它剛好取到1/2的概率應該等於0。而現在黎曼卻認為這個概率是100%！這件事如果是真的，就說明它一點都不隨機，在這背後肯定有深刻的原因。

黎曼猜想到底對不對呢？目前還沒有被普遍接受的證明或證偽。但數值計算的結果，已經為這個猜想提供了強有力的支持。

到目前為止，人們已經計算了十萬億個非平凡零點。然後你猜怎麼著？這十萬億個非平凡零點都整齊劃一地躺在臨界線上。十萬億！因此，絕大多數數學家都相信黎曼猜想是正確的。

黎曼猜想有什麼用呢？我們可以舉一個容易理解、也意義重大的例子，這是一個在探索黎曼猜想的過程中得到的中間結果。

來問你一個問題：在1到10的100次方的範圍內，大約有多少個質數？

數學王子高斯小時候就研究過質數分布的問題。怎麼研究呢？每當他有空的時候，就挑出幾個長度為1000的自然數區間，算出這些區間中的質數個數。你看，這就是高斯的消遣！

高斯

顯然，隨著數字的增大，質數一般而言會變得越來越稀疏。但具體是怎麼個稀疏法呢？在做了大量的計算和比較之後，高斯發現質數分布的密度大約是對數函數的倒數，也就是說，在x附近的一個數是質數的概率大約是1/lnx。你看，數學家的消遣能夠結出什麼樣的果實！後來，法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）也得到了同樣的結果。

勒讓德（沒錯，就是這麼一副怒髮衝冠的樣子）

高斯和勒讓德的結果，只是來自數值實驗，沒有嚴格證明，因此只能算作猜想，跟黎曼猜想屬於同一層面。

在高斯和勒讓德的猜想困惑了人們100多年後，1896年，法國數學家阿達馬（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利時數學家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 -1962）終於證明了它。從此之後，這個命題被人們稱為質數定理（prime number theorem）！看這個名字就知道，它的分量有多重了。

但在方法論上，質數定理卻只是研究黎曼猜想的一個中間產物。黎曼一上來就證明了，黎曼ζ函數的非平凡零點只能出現在0 ≤ σ ≤ 1的臨界帶里。對於質數定理而言，討厭的就是那兩個等於號。如果能去掉等於號，也就是說把臨界帶去掉兩條σ = 0和σ = 1的邊界，讓非平凡零點只能出現在臨界帶的內部而不是左右邊界上，那麼質數定理立刻就獲得證明了。因為這時你就很容易證明，對質數計數函數π(x)的主要貢獻來自對數積分函數Li(x)，次要貢獻來自黎曼ζ函數的所有非平凡零點。

所以讓我們再次感謝，有如此偉大的頭腦引領人類前進！

在1896年，也就是在黎曼1859年的論文發表37年之後，阿達馬和德·拉·瓦·布桑終於去掉了這兩條邊，從而證明了質數定理。我們前面說過，藍眼睛島問題（從藍眼睛問題，看群眾理解能力的巨大差異 | 袁嵐峰）跟黎曼猜想相比，就好像新手村送經驗的小怪跟終極大boss的對比。現在你能體會到了吧？

質數定理的內容，其實就是小於等於x的質數個數π(x)約等於Li(x)。說得嚴格一點，就是當x趨於無窮時，π(x)與Li(x)的比值趨於1。前面我們說過，在x很大的時候，Li(x)約等於x/lnx。因此質數定理也可以表述成，π(x)約等於x/lnx。

從上面這個圖可以看到，隨著x增大，π(x)與這兩種近似表達式的比例都趨近於1。不過，π(x)除以x/lnx趨近於1的速度很慢，而π(x)除以Li(x)趨近於1的速度就快得多。也就是說，作為對π(x)的近似，Li(x)比x/lnx要好得多。不過這只是定量的區別，不是定性的區別。

用密度的語言說，在x附近的一個自然數是質數的概率，大約是1/lnx。與此同時，在小於等於x的自然數中任選一個是質數的概率，也大約是1/lnx。

因此，在從1到10的100次方的範圍內，大約有多少個質數呢？現在x等於10的100次方，對它取自然對數，得到lnx = 100ln10 ≈ 230.26。從1到10的100次方中的質數個數，大約就是x除以230.26，約等於4.3924乘以10的97次方。以後，你就可以去考別人類似的問題了。你看，這是多麼重大的進展！

由此可見，質數定理構成了我們對質數分布的基礎描述，而黎曼猜想表徵的就是對這個基礎描述的修正。下面這個動圖，就表現了用0到200個非平凡零點來計算質數計數函數時，效果的逐漸改善。再次重複一下，質數分布的全部信息都包含在黎曼ζ函數非平凡零點的位置當中。得救之道，就在其中！

最後順便說一句，請注意證明了質數定理的這兩位數學家的壽命：德·拉·瓦·布桑活到96歲，阿達馬活到98歲！

德·拉·瓦·布桑

阿達馬

因此數學界有一個說法：如果有人證明了黎曼猜想，他就會不朽。不僅僅是精神層面的不朽，那是理所當然的，而且還是物質層面的不朽，即長生不老！理由是：你看，這兩位還沒有證明黎曼猜想，僅僅是取得了一點進展，就活到了近一百歲。如果是證明了黎曼猜想的，那還得了嗎？嗯，從這個角度看起來，最有希望證明黎曼猜想的人就是……

致謝：感謝著名科普作家、《黎曼猜想漫談》的作者盧昌海博士、美國新墨西哥大學數學與統計系助理教授黃宏年博士、哆嗒數學網網主以及浙江大學數學博士「賊叉」在科學方面的指教。

作者簡介：袁嵐峰，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員，科技與戰略風雲學會會長，青年科學家社會責任聯盟理事，微博@中科大胡不歸，知乎@袁嵐峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。

責任編輯：孫遠

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