我們都知道匹諾曹的故事，木偶皮諾曹一旦說謊話，他的鼻子就會變長。那麼如果匹諾曹說：「我的鼻子正在變長」，會發生什麼情況呢？機智的你會發現好像哪裡不對了：如果匹諾曹說了真話，那麼他的鼻子不應該變長；而如果他說的是假話，他的鼻子會變長，他說的這句話就成了真話了。

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這種通常從邏輯上無法判斷正確或錯誤的命題，數學家一般稱之為悖論。下面這些就是幾個著名的悖論：

理髮師悖論（Barber paradox）

薩魏爾村有一位理髮師，他給自己訂下一條規則：他只給村子裡自己不給自己刮鬍子的人刮鬍子。

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這句「本城所有不給自己刮臉的人」很是蹊蹺，因為你無法解釋理髮師該不該給自己刮鬍子。這個名為理髮師悖論（Barber paradox）的怪誕問題其實是大名鼎鼎的羅素悖論的一個通俗說法，是由伯特蘭·羅素在1901年提出的。

伯特蘭·羅素。圖片來源：wikipedia.org

羅素悖論的數學表述是這樣的：設有一性質P，並立以一性質函數P(x)，且其中的自變數x有此特性：「x?」，現假設由性質P能夠確定一個滿足性質P的集合A——也就是說「A=」。那麼現在的問題是：A∈A是否成立？

羅素悖論的出現直接導致了一場數學危機，它促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

芝諾悖論

有關時間的悖論中，最著名的是「芝諾悖論」。其中有一個永遠追不上的小烏龜的問題。

人和烏龜進行賽跑，假設人的速度為每秒10m，而烏龜的速度為每秒0.1m， 在比賽之前，把烏龜放在人前面999m。當追趕者跑到烏龜的出發點時，烏龜又向前爬行了9.99米，而人跑完9.99米的距離時，又有新的出發點在等著他。以此類推就有無限個這樣的出發點，追趕的人永遠趕不上慢慢跑的小烏龜。

這樣的結論無疑是荒誕的，但是它錯在哪裡呢？

實際上在這種條件下，每一段追趕距離人所花費的時間為：99.9秒, 0.999秒, 0.00999秒, · · · 這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列，而它們的和是100.909090...秒。所以其實追趕的人只要跑101秒，就能超越烏龜。

時空旅行悖論

時間悖論最早是在科幻小說中提到的。這個悖論的必要前提是：人類可以隨心所欲的控制三維空間之後的「第四維」——時間，能夠回到過去或者將來。在這個前提下，有多種「時間悖論」的表達方式。

科幻電影《回到未來》系列。圖片來源：Amazon UK

最為著名的「時間悖論」一般稱為「祖父悖論」：某人回到過去，在自己父親出生前殺害了自己的祖父。既然祖父已死，就不會有其父親，也不會有他；既然他不存在，又怎麼能回到過去，殺死自己的祖父呢？這樣的場景確實令人頭疼，不過物理學界提出了「平行宇宙」理論，給出一種解釋：他殺死的是平行宇宙中的祖父，而原來的宇宙中，他的祖父還好好地活著。

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這樣看來，悖論不單單會給人製造麻煩，解決它們還可以幫助我們跳脫固有思維模式的束縛，拓展全新的認知領域。

知識點人教版高中數學選修2-1

常用邏輯用語

編輯：大琳砸

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