別出心裁的墓碑題

原標題：別出心裁的墓碑題

丟番圖（約246～330），古希臘著名數學家，他對代數學的發展起到了極其重要的奠基作用，被譽為「古代代數之父」。希臘數學自畢達哥拉斯學派後，研究的主流在於幾何論證，甚至一切代數問題都被納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數真正從幾何的羈絆中解放出來，成為一門獨立的學科。

別出心裁的墓碑題

對於丟番圖的生平，人們知之甚少。唯一的簡歷是從《希臘詩文集》中所得。這本由古希臘語法學家麥特羅爾所輯的著作中，記錄有46首和代數問題有關的短詩，其中就包括數學愛好者津津樂道的「丟番圖的墓碑題」。由於《希臘詩文集》是公元500年前後的遺物，加上史學家對一些學者書信著作中相關信息的研判，大致可以推斷出丟番圖生活於246～330年。

這道有趣的墓碑題，用詩歌的形式巧妙、含蓄地敘述了丟番圖的一生：過路的人啊！這裡埋葬著丟番圖，請計算下列數目，便可知他一生經過了多少個寒暑。他生命的1/6是幸福的童年；又過了一生的1/2，他的兩頰長出了細細的鬍鬚；再過了一生的1/7，他結婚建立了幸福的家庭；婚後5年有了可愛的兒子，可惜兒子的壽命只有父親的一半；晚年喪子真是可憐，兒子死後，老人在悲痛中度過4年就與世長辭。請你算一算，丟番圖活到幾歲，才與死神見面？

要想知道丟番圖活到多大歲數，就得解答這則數學謎語。用現代數學的思路分析解答並不困難，常規策略仍是按量率對應的分數應用題，或假設未知數的方程思路解答，具體步驟不作贅述，留給有興趣的讀者探究。在此僅介紹一種另闢蹊徑、別具一格的當代巧解。

題目中提到，「丟番圖生命的1/6是幸福的童年」「又過了生命的1/2」和「再過了一生的1/7」，由此可知，丟番圖的年齡既是6的倍數，又是12的倍數，還是7的倍數，因為12的倍數自然就是6的倍數，這就說明，丟番圖的年齡是12和7的公倍數，即可能是84、168、252……根據生活常識，人的壽命目前不可能達到168歲乃至252歲……因此，滿足要求的只有一種可能，即丟番圖活到了84歲。

不難看出，這種解題技巧極為簡潔實用，迅速摒棄了無關信息，一下子抓住題目的關鍵，運用簡單的數學知識和生活經驗，方便快捷地解決了問題。當然，考慮到古希臘的數學背景和基礎，無論常規思路還是巧妙策略都無從談起，因此，這道別出心裁的「墓碑題」被作為難題記錄和傳播並不足為奇。

代數學和《算術》

丟番圖對代數學的發展起到了極其重要的作用，他所撰寫的《算術》就是一部劃時代的著作，在數學史上的地位可與《幾何原本》相提並論，他本人因而獲得「古代代數學之父」的美譽。其中的數學觀對後來的數論學者影響巨大，以其名命名的「丟番圖方程」（不定方程），至今仍是數論研究的重大課題。

從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的範圍。代數學區別於其他學科的最大特點是引入了未知數，並對未知數加以運算。就引入未知數、創設未知數的符號以及建立方程的思想（雖然未有現代方程的形式）這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數學。

希臘數學自畢達哥拉斯學派後，興趣中心在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯上的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣。一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都被納入了幾何的模式之中。直到丟番圖出現，才把代數解放出來，完全脫離了幾何的限制。丟番圖認為，代數方法比幾何的演繹陳述更適宜於解決問題，因而在解題過程中顯示出高度的巧思和獨創性，在希臘數學中獨樹一幟。

獨具匠心的假設

丟番圖對算術理論有著深入和獨特的研究，以解題技巧高超著稱。下面介紹的就是丟番圖巧妙解題的一則小故事。

丟番圖有一位得意門生名叫帕普斯，他從很小的時候起就跟隨丟番圖學習數學。一天，帕普斯遇到一個難題：有4個數，把其中每3個數相加，其和分別為20、22、24和27，求這4個數。

這個問題看起來簡單，解答起來卻比較繁瑣。因為題中有4個未知數，按照通常列方程解應用題的方法，必須設出4個未知數，列出4個方程，得到一個4元一次方程組，然後再解方程組。可在具體求解時帕普斯被這個方程組搞得昏頭昏腦，陷在算式的沼澤里無法自拔。在當時相對落後的文化背景和數學工具的限制下，帕普斯束手無策也在情理之中。無奈之下，他只得向老師請教，詢問能否用簡便的方法解答這個問題。丟番圖看後笑著回答：「行啊！行啊！」隨即給出了一個極為簡單的解法。

丟番圖也是假設未知數列方程解答，只是他的設法出人意料、一反常規，不去詳細分設四個未知數，而是假設這四個未知數之和為x。於是，這四個數就分別為x減去其餘三個數之和，即分別為x-20，x-22，x-24和x-27。由此可列方程：(x-20)+(x-22)+(x-24)+(x-27)=x解得：x=31，最終得出這四個數分別為11，9，7，4。

從上面的故事不難看出，丟番圖的解答巧妙之處在於，他沒有糾纏在常規思路中，而是採用變通思維進行處理，這充分體現了丟番圖作為數學家善於打破思維定勢的能力。

意義深遠的貢獻

丟番圖一直推崇並認為代數方法比幾何的演繹陳述更適宜解決問題，在解答過程中更能顯示出數學智慧和機巧。比如(a+b)2=a2+2ab+b2在歐幾里得的《幾何原本》中是一條重要的幾何定理，而在丟番圖的《算術》中只是簡單代數運演算法則的必然結果，因此，充分體現丟番圖數學思想的《算術》幾乎就是純粹的代數著作。代數由此自成體系，這也是丟番圖對人類文明做出的巨大貢獻。

儘管丟番圖謎一般的生平模糊不清，但他對數學的貢獻毋庸置疑，「古代代數之父」的地位不可動搖。對於這位古希臘傑出的數學家，我們理應心懷敬意，銘記於心。

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