通過精確的幾何計算，菲利普·吉布斯（ Philip Gibbs）為任何可能的形狀找到了已知的最小萬有覆疊空間。菲利普·吉布斯不是專業數學家，因此當他想要仔細思考一個問題時，他就會去尋找一個即使是業餘愛好者也能發揮作用的問題。他所尋找的問題是一種挑戰，即使是最苛刻的人也會被它逼瘋。在今年的一篇論文中，吉布斯在研究一個100年之久的問題上取得了重大突破。這個問題能精確測量原子尺度下的面積。法國數學家亨利?勒貝格（Henri Lebesgue）在1914年寫給朋友朱利葉斯?帕爾（Julius Pál）一封信中提出的這一問題：什麼形狀面積最小，可以完全覆疊其他形狀(這些形狀都有一個共同的特點)？

像六邊形這樣的萬有覆疊空間可以覆疊任何形狀的物體。圖片：DVDP for Quanta Magazine

從那以後的一個世紀里，勒貝格提出的「萬有覆疊空間」問題變成了一個捕鼠器：無論何時到來，都是驚人的速度進步。相比之下，吉布斯的進步相當驚人，儘管你仍然需要眯著眼睛才能看到。想像一打大小形狀各異的剪紙躺在你的地板上，你被要求設計出一種大小剛好能夠覆疊這12種形狀中的任何一種的形狀。通過疊加和旋轉它們，你可以憑自己的感覺來解決問題。但是當你找到了一個「通用」的覆蓋面，你怎麼知道它的面積最小呢？這就是勒貝格的普遍覆蓋問題的精神所在，它考慮的是沒有兩個點相距超過一個單位的形狀，圓形明顯是最符合的，但還有很多其他形狀也符合條件：等邊三角形、正五邊形、六邊形和勒魯三角。形狀的多樣性使得他們很難找到最小的覆疊空間。

圖片：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

在收到勒貝格的來信後不久，帕爾意識到正六邊形是一個萬有覆疊空間，而後他又注意從六邊形上切下兩個非連續的角的形狀，不僅面積變得更小，而且仍然是一個萬有覆疊空間。取一個六邊形，把它層在另一個六邊形的上面，把第二個角旋轉30度，就能切掉兩個角。在接下來的80年里，另外兩位數學家從帕爾的萬有覆疊空間上發現了一些線索。1936年羅蘭·斯普拉格(Roland Sprague)拆除了角落附近的部分；1992年h·c·漢森(h.c. Hansen)從右下角和左下角移走了兩個小得難以察覺的部分。漢森的面積節約傳達了一些關於發現的信息，但不可避免地會誤導人們對面積的理解：他們裁去部分的面積是0.00000000004單位。

圖片：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

加州大學河濱分校的數學家約翰·貝茲說：你不能真正按比例畫出它們，因為它們是原子大小的碎片。2013年貝茲(Baez)在他頗受歡迎的數學博客上寫了一篇關於勒貝格環球採訪問題的文章，把這個晦澀難懂的問題提了出來，承認他對這個問題很感興趣。貝茲寫道：我對這個問題的全部興趣相當病態，我不知道為什麼這個問題如此重要。我不認為它與其他許多美妙的數學有關。我很欽佩從事這項工作的人，就像我很欽佩那些決定在南極滑雪的人一樣。菲利普·吉布斯從未在南極滑過雪，但他確實讀過貝茲的博客。當他看到關於勒貝格環球掩蓋問題的帖子時，他想這正是我要找的東西。

1、原子剪刀

吉布斯小時候就想成為一名科學家，他在劍橋大學獲得數學學士學位，在格拉斯哥大學獲得理論物理學博士學位。但他很快就失去了對學術研究的熱情，轉而成為了一名軟體工程師。2006年退休之前，他曾從事船舶設計、空中交通控制和金融系統方面的工作。吉布斯仍然對學術問題感興趣，但作為一名非專業研究人員，他做不了什麼。作為一名獨立的科學家，很難跟上所有正在發生的事情，但如果你找到了合適的利基市場，你可以專註一件事情，得出一些有用的結果。勒貝格的普遍覆蓋問題就是一個小眾問題，這個問題從來沒有引起數學家的注意，所以吉布斯懷疑自己是否能取得進展。吉布斯打算利用自己的編程背景來獲得優勢，一直在嘗試讓電腦解決一些實驗數學的問題。

業餘數學家菲利普·吉布斯利用指南針和量角器技術，縮小了已知的萬有覆疊空間面積。圖片：Courtesy of Philip Gibbs

2014年吉布斯對200個隨機生成的直徑為1的形狀進行了計算機模擬。這些模擬結果表明，他或許能夠修剪上一個最小萬有覆疊空間頂部角落的一些區域。他把這段引線變成了一種證據，證明新外殼適用於所有可能的直徑為1的形狀。吉布斯把證明寄給了貝茲，貝茲和他的一名本科生卡琳·巴格達薩林(Karine Bagdasaryan)一起工作，幫助吉布斯把證明修改成更正式的數學形式。他們三人於2015年2月發表了這篇文章，把最小的通用覆蓋面積從0.8441377減少到0.8441153。雖然僅減少了0.0000224單位，但這幾乎是漢森1992年減少面積的100萬倍。吉布斯相信他能做得更好，在10月份發布的一篇論文中，他又剪掉了最小覆蓋面積的另一塊相對較大的部分，使其面積降至0.84409359個單位。

圖片：Source: Philip Gibbs

他的策略是將所有直徑為1的形狀都移到幾年前他發現萬有覆疊空間的一角，然後移走另一角的任何剩餘區域。這一方面被證明是精確的。吉布斯使用的技術來自歐幾里德幾何，但他必須精確地執行，讓任何一個高中生都能明白。就數學而言，這只是高中的幾何問題，但它幾乎讓人狂熱。目前吉布斯還在繼續尋找最小的通用遮蓋面。對貝茲來說，他希望吉布斯對勒貝格問題的重新關注能激發其他數學家的興趣，讓現代數學技術的研究工具更加完善。解決這個問題的正確方法可能涉及非常不同的想法，儘管我不知道這些想法具體是什麼。

博科園-科學科普｜文：Kevin Hartnett/Quanta magazine/Quanta Newsletter

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