孫龐猜數（下）

六、孫龐猜數問題的變種

下面介紹幾個文獻[1]中提到的孫龐猜數問題的有趣變種。它們大多能夠用手工方式解。解答請參見文獻[1]，我就不在此給出了。

A) Ferguson變種

由Thomas Ferguson提出。

鬼谷子選了兩個（不一定不同的）正整數x和y，把兩數和x+y告訴龐涓，把兩數平方和x2+y2告訴孫臏。

孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

孫臏說：「啊哈，這下我知道這兩數是什麼了。」

問：這兩數是什麼？

解法就是前面說過的，每次聽到有人說「我不知道」，那就划去所有那些其中只有一個值的行或列；而當最後有人說「我知道了」時，則划去所有那些其中有超過一個值的行或列。注意到這題里對鬼谷子取的這兩個數的限制只是正整數，根本沒有給出它們的上限，於是理論上我們得建一個有無窮行和有無窮列的交叉表來劃。注意這次是孫臏先開口。

B) Berloquin變種

由Pierre Berloquin提出。

鬼谷子選了兩個（不一定不同的）大於等於2的正整數，把兩數之和告訴龐涓，把兩數之積告訴孫臏。

龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

龐涓說：「啊哈，這下我知道這兩數是什麼了。」

孫臏說：「啊哈，這下我也知道這兩數是什麼了。」

問：這兩數是什麼？

注意到這題里鬼谷子取的這兩個數也無上限。但是這題的解法非常簡單。如果去掉兩個整數可能相同這個條件：

鬼谷子選了兩個不同的大於等於2的正整數，把兩數之和告訴龐涓，把兩數之積告訴孫臏。

龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

龐涓說：「啊哈，這下我知道這兩數是什麼了。」

孫臏說：「啊哈，這下我也知道這兩數是什麼了。」

問：這兩數是什麼？

那麼這題就比前面這題要難不少，但也可手算。

C) Friedman變種

由Erich Friedman提出。

鬼谷子選了兩個整數x和y，其中1≤x≤y≤9。他把兩數之和告訴龐涓，把兩數之積告訴孫臏。

1) 孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

2) 龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

3) 孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

4) 龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

5) 孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

6) 龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

7) 孫臏說：「我不知道這兩數是什麼。」

8) 龐涓說：「我不知道這兩數是什麼。」

9) 孫臏說：「啊哈，這下我也知道這兩數是什麼了。」

問：這兩數是什麼？

這問題的解法完全就是具體列表然後劃表格，因為x和y的可能性都不多，所以即便手算也不難。

有趣的是它的推廣。令m，M和r都是正整數，而且滿足1≤m

當然並非任取m，M和r都能提供給我們一個有唯一解的Friedman(m,M,r)問題。比如Friedman(1,9,10)，也即上面的問題中最後孫臏仍不知道兩數是什麼，可是接下去龐涓宣稱知道是什麼了，這個問題是無解的。但是某些特定的值則會給我們唯一解：

Friedman(1,9,9)，解為(2,8)；

Friedman(1,99,15)：解為(77,84)；

Friedman(66,99,15)：解為(77,84)；

Friedman(301,369,15)：解為(320,342)；

Friedman(286,343,17)：解為(288,343)；

Friedman(177,234,20)：解為(198,210)；

Friedman(177,233,21)：解為(189,220)。

文獻[1]的作者們猜想，對於任何正整數R，都存在有唯一解的Friedman問題，其中孫龐兩人說話總次數超過R次。

D) Kraus四數變種

由Robert Kraus提出。

鬼谷子選了四個整數a，b，c和d，其中1≤a2+b2+c2+d2告訴龐涓，把四數之積abcd告訴孫臏，把ab+cd告訴蘇秦。

孫臏龐涓蘇秦同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

孫臏龐涓蘇秦同聲說：「我還是不知道這四數是什麼。」

孫臏龐涓蘇秦同聲說：「我還是不知道這四數是什麼。」

孫臏龐涓蘇秦同聲說：「啊哈，這下我知道這四數是什麼了。」

問：這四數是什麼？

三個人意味著平面的交叉表不夠了，要列一個三個軸的立體交叉表。不用電腦來解此題會相當繁瑣。它甚至可以被推廣到下面的四人五數形式：

鬼谷子選了五個整數a，b，c，d和e，其中1≤a2+b2+c2+d2+e2告訴蘇秦，把(a+b+c)(d+e)告訴張儀。

1) 孫臏龐涓蘇秦張儀同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

2) 孫臏龐涓蘇秦張儀同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

3) 孫臏龐涓蘇秦張儀同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

4) 孫臏龐涓蘇秦張儀同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

…………

22) 孫臏龐涓蘇秦張儀同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

23) 孫臏龐涓蘇秦張儀同聲說：「我不知道這四數是什麼。」

問：這四數是什麼？

注意到第23句四人都還不知道五個數都是什麼。

E) 保良局變種

香港保良局每年舉辦小學數學世界邀請賽，下面這題是根據保良局比賽2001年一道賽題改編的題目。

鬼谷子選了三個正整數x，y和z，使得x+y+z=14。他把x告訴龐涓，把y告訴孫臏，把z告訴蘇秦。

龐涓說：「我知道孫臏和蘇秦的數字不同。」

孫臏說：「我早就知道我們這三個數都不同。」

蘇秦說：「這下我知道這三個數是什麼了。」

問：這三個數是什麼？

我們甚至可以把題目里的14換成任何一個大於等於6我們甚至可以把題目里的14換成任何一個大於等於6的正整數s，得到廣義保良局問題Kuk(s)，每一個這樣的問題都有唯一解。

如果稍微改變一下上述問題中孫臏的話，也能得到有唯一解的一個問題：

鬼谷子選了三個正整數x，y和z，使得x+y+z=14。他把x告訴龐涓，把y告訴孫臏，把z告訴蘇秦。

龐涓說：「我知道孫臏和蘇秦的數字不同。」

孫臏說：「現在我知道我們這三個數都不同了。」

蘇秦說：「這下我知道這三個數是什麼了。」

問：這三個數是什麼？

事實上我們也可以把上面題目里的14換成任何一個大於等於6的正整數s，得到另一類廣義保良局問題Kuk+(s)，這類問題在s形如4k+2或4k+3時有唯一解。

參考文獻：

[1] Axel Born, Cor A.J. Hurkens, Gerhard J.Woeginger, The Freudenthal problem and its ramifications (Part II).Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, EATCS,91, Pages 189-204. (2007)

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