大家都是九年義務教育，為什麼有人能把摺紙玩得這麼優秀？

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本文轉載自公眾號中科院物理所（id：cas-iop）

作者 Cloudiiink

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設計精巧的紙模型

摺紙，無論是東南西北，還是千紙鶴，紙飛機，都可以說是童年生活里不可或缺的一部分了。

摺紙里的數學，可能會考

摺紙如今已經被數學家廣泛研究，比如討論給定紙張模型的平面可摺疊性——也就是模型是否可以在不損壞的情況下展平，以及使用摺紙來解決數學方程式。

摺紙中常用的幾種摺疊符號，在摺紙教程中作者只需要在紙上畫出這些符號，就可以明白摺紙的全部流程。

在一個一般的摺紙問題中，人們只需要處理兩種摺痕，峰線和谷線。當然，也有很多小技巧去折騰曲線就是了，就像指甲，劃一划就能方便地在紙上劃痕，從而輕鬆地折出複雜的曲線。

實際上，利用經緯排列的正方形格眼 (格數多為2和3的倍數) 及45度的折線我們就能折出非常非常非常多的東西了。

這樣摺疊可以產生一個簡單的長度處理器，任意給定 P，都能輸出特定的 Q。通過勾股定理和相似三角形我們可以得到兩者間的具體數值關係。

不過科學家們的腦洞總是停不下來，在摺紙里，他們都想要玩點花樣。比如如何三等分一條線段，如何實現在尺規作圖中不可能完成的三等分角。如果我們把一張正方形的一個頂點摺疊到與其相對的那條邊上，我們就可以得到一個簡單的長度處理器。

餵給它一個長度，它就會在另一邊吐出一個長度。

假如我們把正方形的頂點摺疊到對邊的中點上，我們就可以得到三等分的線段。

假如我們摺疊的是 2/3 處，就能得到五等分的線段。

更詳細的數據表格，不斷地對上表中的數據迭代計算，我們可以得到很多不同等分的方式。

如何疊一枚優秀的紙飛機

紙飛機的折法人盡皆知。在上個世紀 30 年代，約翰·諾斯洛普（美國航空工業家）就曾用它作為研究大飛機的模型。隨著科技的不斷發展，如今研究紙飛機的手段也越來越先進。

利用 Solidworks 進行簡單的流體力學模擬計算

快捷有效的流體力學計算，可以讓人們設計出更為高效的紙飛機形狀。重心和升力中心的位置，機翼的形狀等通通都可以優化。利用印表機，再複雜難懂的摺紙圖案，都可以準確無誤地還原到紙上。

創下最長飛行距離記錄的紙飛機實錄

與之相對應，紙飛機的各項世界紀錄也水漲船高。其中兩項最為重要的記錄為飛行時長和飛行距離。目前的世界紀錄分別為由 Takuo Toda 保持的最長飛行時長 27.9 s 和由 Joe Ayoob 保持的最長飛行距離 69.14 m。

一個自動摺疊紙飛機並把它準確地投遞到紙箱里的機器，發明者應該對紙飛機愛得深沉…

龍形曲線

龍形曲線

在無聊的時候，很多人會有拿起手頭的紙亂疊的癖好。不斷地對摺一條紙帶，然後將其展開，讓線段之間的夾角均為 90 度，我們就能得到一條龍形曲線——因為它真的長得很像一條龍。

不過因為疊紙的厚度增長是指數型的，每次摺疊以後紙的厚度都會變為摺疊前的兩倍，所以在摺疊 6-7 次以後就無法摺疊了。所以我們在現實生活中看到的龍形曲線並不那麼完美。

所幸計算機技術已經十分發達，利用計算機，我們可以看到摺紙生成大型龍形曲線的樣子。

因為龍形曲線最早由 NASA 物理學家 John Heighway 等人開始相關探索和研究，所以也被稱為 Heighway 曲線。

不斷地通過同一個規則迭代生成的龍形曲線

數學上可以通過不斷迭代的方法產生龍形曲線：

1. 選定兩個起始點；

2. 左右交替地將線段轉換為以其為斜邊的等腰直角三角形的另外兩條邊；

3. 不斷重複第 2 步。

回到我們的摺紙問題上，龍形曲線其實也可以理解為一個人隨機地選擇左轉或者右轉前進，但是又從來不走重複的路，最後走過的路徑最後會變成什麼樣？

龍形曲線具有分形特性，局部和整體具有相似性。

說起龍形曲線本身最吸引科學家關注的地方，當然還是他的分形特性，以及帶來的自相似性質了。

龍形曲線有可能用來填充平面。也就是我們平常所說的鋪地磚。

利用龍形曲線鋪地板的一個例子，還意外地很好看。

摺紙畫橢圓

手頭只有一個圓，怎麼儘可能標準地畫一個橢圓？

摺紙就可以辦到。

在圓中隨意地選取一個圓心以外的點，不斷地摺疊圓形，讓選中的點始終落在圓的邊界上。經過不斷的摺疊，在圓中有一塊區域，摺痕始終進不去，通過嚴格的數學計算可以證明這就是一個橢圓，圓心和選定的點即為橢圓的兩個焦點。實際上最開始我們把另一個焦點選在圓心上，我們就只能得到圓了。

我們可以使用類似的思路得到其他的圖形，比如，我們選擇的摺痕把整個圖形的面積分為特定的比例。

按照 9:1 的比例將半圓的面積一分為二，得到的曲線像一滴水滴的橫截面

這種利用不斷變化的線段圍成的曲線被稱為包絡線。

關於摺紙，其實還有很多其他的應用。現在的人造衛星，大多使用太陽能電池板提供能量，但是怎麼把太陽能電池板運上太空卻是一個大問題。

通過摺紙的方式，先把太陽能電池板摺疊起來，再在太空中展開，就是最為有效的方法，而這種摺疊方式以其發明者命名——三浦摺疊（點我查看怎麼玩）。

三浦摺疊

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參考資料：

1.https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding

2.https://en.wikipedia.org/wiki/Origami

3.https://www.youtube.com/watch?v=7MeaJ8n25Gg

4.https://en.wikipedia.org/wiki/Paper_plane

5.https://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

6.http://themathkid.tumblr.com/post/29160756575/dagothar-the-jurassic-park-fractal-if-you

7.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%B5%A6%E6%91%BA%E7%96%8A

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