1400頁的少兒科普書，數學大師王元一口氣讀完並寫下萬字感言
這裡說的少兒科普圖畫書是已經名聲在外，超級經典的《漢聲數學圖畫書》，這套書誕生於美國和蘇聯冷戰時期，當時美國為了提高國力，專門請了一批數學專家創作了這套針對兒童的數學圖畫書。後來，漢聲出版社引進了這套書，在台灣教授、作家和漢聲編輯的共同努力下，於1988年和1989年，分批出版。這套書出版以後，就成了無可替代的經典數學科普圖畫書，吸粉無數。
數學大師王元院士在朋友的推薦下竟一口氣讀完了這套共41冊，約1400頁的書，並寫下萬字感言，可見這套書的魅力所在。今天我們全文分享王元院士的這篇萬字感言，以便讓更多的人了解並走進這套超經典的少兒科普圖畫書，走出數學學習的困境。
估計很多讀者看完這篇文章後又會問到哪裡可以買到這套書，這個我們已經為大家談妥了，原價1000多元，現在購買只需要569元，具體的購買方式見文末。
這樣講數學，小學生是可以接受的
——讀「漢聲數學圖畫書」
王元
壹
經朋友推薦，我在最近讀了貴州人民出版社出版的一套「漢聲數學圖畫書」(簡稱「漢聲」)。這套書共41冊，約1400頁，通俗易懂且圖文並茂，寓知識於日常生活常識，甚至遊戲之中，讀之趣味盎然，所以我一口氣就讀完了。
這套書是由18位美國數學家或數學教育工作者分頭撰寫的，並配有一些生動的圖畫。漢聲雜誌將它翻譯成中文時，作了一點小改動，例如將美元圖象換成了人民幣圖象。
這套書講的概念，雖然有些已經涉及到中學乃至大學的數學內容，但小學生仍然是可以接受的，所以讀者範圍除小學生外，中學生與大學生，中小學老師，甚至專業數學家也可以看看，至少可以從中知道怎樣將一個數學概念講給小朋友及外行聽聽。
這套書的內容包括介紹數學的重要概念；講解一些數量常識和智力遊戲；及數學的應用(統計)。重點應該是數學概念的講解。現在，我對這三方面作一點簡要介紹。
貳
1.正整數或自然數是數學的基礎，但人們是什麼時候開始使用數字的呢？
沒有人知道。但它是經過很長的一段日子，才發展出來的！最早的階段可能是配對。例如，一顆石子配一頭牛，數石子即可知出門時有幾頭牛，回家時有沒有丟失。第二個階段可能是三個概念：「一樣多」， 「比較少」，「比較多」。第三個階段則是命名，這也可能是從配對來的。例如「二」 對應於兩個耳朵，兩雙眼睛，「五」對應於五個手指，「十」對應於兩隻手的手指，數字的第四階段是排序，第五階段為數數，這也是一種高級配對，即一組數字配一堆東西。
整數分成偶數與奇數。例如，鞋子是成對的，2，4， 6，……都是偶數。1個藍球隊由5個隊員組成，5是一個奇數，1，3，5，……都是奇數。日常生活中充滿了偶數與奇數。
零是一個重要的數，它不只是沒有，例如零是所有測量的起點。用磅稱來稱東西前，磅稱的指針指向零，放上東西後就指向它的重量了。又如火箭發射，發射時，喊五，四，三，二，一，「發射」，發射就是「零」，如果再喊一，二，三，四，五就是繼續計算髮射後的時間。這裡也帶出了負數的概念，發射前減的五，四，三，二，一，其實就是-5，-4，-3，-2，-1。再如溫度計，它的刻度有零度，零上的溫度是正的，零下的溫度是負的。這些正負數與零可以用數軸表示出來，它們的加減法也是非常直觀與自然的。
我們在計數時必需用到零。例如102表示百位是1，十位是0，個位是2，在日常生活中，也處處都能感受到零與負數。
乘法是相同數的連加，這樣就有了乘法表，就可以將計算化簡了。除法是分出來的，例如十二個蘋果，分給三個人，問每個人分幾個？略為估計一下，每人先分三個，於是還剩三個，每人再分一個就分完了。每人總共分得四個蘋果， 即12÷3=4。
什麼是分數呢？分數也是分出來的。如半杯水，半張餅，這就是兩份中的一份，也就是1/2。我們還可以在一張畫有圓與矩形的紙上，將圓與矩形都分成相等的四份取其中的三份，這就是四分之三，即3/4，這些在日常生活中，都是常見的。
這些內容都含於小學算術課程內，易於了解。參見「漢聲」第1，2，3，4，5，7，11，22冊。
2.數學的另一基礎是幾何，直線是最常見的，例如書桌的邊沿或一本書的一邊的無限延長。
平行線是兩根直線，它們無論怎樣延長都不相交，例如帶有橫條的筆記本，每一行的空間都是由兩條平行線拼成的，又如一張長方形紙，將一對對邊對摺一下，再將摺痕用筆畫出來，它與長方形的兩條對邊一起，就是三條平行線。再來看看一張方桌的相鄰兩邊，它們構成一個角，方桌共有四個角，它們彼此是相等的。這時，相鄰的兩邊的一邊就稱為另一邊的垂線，或它們彼此垂直。
其次，我們看到的直線，只是這根直線的一段而已，即一個線段。所謂線段就是直線上兩點之間的部分。過一點的兩條直線形成一個角，稱為它們的夾角，如果這兩條直線互相垂直，則稱它們的夾角為直角。
在一張紙上畫三個點，記為A，B，C，假定它們不在一條直線 上，將A和B，B和C，及C和A連接起來，構成一個三角形，記為ABC，它有三條邊AB，BC，CA；有三個頂點A，B，C，每個項點都有一個角。如果有一個角為直角，則稱為直角三角形；有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形：三條邊均相等的三角形稱為等邊三角形。
類似地，過平面上四個點，其中任何三點都不在一條直線上，將這四個點依次連接起來，可得一個有四條邊，四個角的圖形，我們稱它為四邊形。如果四邊形有一對對邊平行，則稱為梯形；四條邊均相等，則稱為菱形；如果四邊形的四個角均為直角，則稱為矩形；若矩形的四條邊均相等，則稱為正方形。當然正方形也是菱形。
我們還可以畫出邊數多於4的多邊形。
將兩條直線線段重疊在一起，並將各自的一個端點重合起來，就可以比出它們的長短，同樣可以比出兩個東西的高矮與寬窄。
另一個重要的圖形就是圓，硬幣，碗口，車輪子等都是日常生活中常見的圓。但怎樣在紙上畫出一個圓來呢？固定一個點，稱為圓心。將圓規的一隻腳釘在圓心上，另一隻腳上裝有鉛筆，畫一圈即得一個圓。由作圖可知圓周上每一點與圓心的距離都相等，這段距離稱為圓的半徑，過圓心面一條直線，它與圓交於兩點A，B，這兩點之距離等於半徑2倍，稱為直徑。直徑與圓周上另外任意點C構成一個三角形ABC。量一下就可知角C恆為直角。若將圓規的針頭放在圓周的任意點A上，以圓的半徑再畫一圓，它與圓周交於B，再以B為中心畫一圓， 它與圓周交於C，如此等等。第六個交點就是開始的點A。將這六個點依次連接起來，就得到一個正六邊形。
這些內容基本上都含於小學算術之中，易於了解。參見「漢聲」第6，8，9， 14， 16， 24冊。
3.將三角形的兩邊疊合對摺起來，這條折線平分了這兩條邊的夾角，我們稱這條折線為角平分線。
用摺紙法即可知三角形的三條角平分線總是交於一點的，而且這個點總在三角形之內。再拿一個圓規，將圓心釘在這個交點上，我們總可以畫出一個正好套進三角形的圓。具體地說，這個圓在三角形內，且與三角形的三條邊相切，所謂相切是說，四與三角形的每條邊都只相交於一點，而不是兩點。
在一張紙上，將一條線段的兩個端點疊合對摺起來得到的直線，與原來的線段垂直，稱為線段的中垂線。用摺紙法可知三角形的三條邊的三條中垂線總是交於一點的。這一點可以在三角形之內，也可以在三角形之外。以這個交點為圓心，我們總可以畫一個正好套住三角形的圓。具體地說，這個圈過三角形的三個頂點。
所謂三角形的一條中線是指從三角形的一個項點至它的對邊之中點的連線。用摺紙法可以得到三角形的三條中線。這三條中線也交於一點，稱為三角形的「重心」，以一張硬紙板，剪下三角形，再用一個圖釘在下面頂住重心，三角形應該是平衡的。
雖然上面這些知識需在中學的平面幾何課或解析幾何課中學到，但用摺紙法，小學生也能了解這些現象。
參見「漢聲」第15冊。
4.什麼是橢圓?
在日常生活中，橢圓是常常見到的，例如，當正看一個玻璃杯口時;它是圓形的，如果將杯子慢慢傾斜，杯口就逐漸變扁，變成了另外一個形狀——橢圓，又如從遠處看桌子上的一個碟子，或從牆邊看牆上的掛鐘，都是橢圓形的，但從桌邊去看碟子，或從正面去看掛鐘，就都成為圓形了。圓是橢圓的特例。
如何在紙上畫出一個橢圓來呢?我們將兩個圖釘釘在一張紙上，用一根繩圈圍住這兩個圖釘，用把支鉛筆放在繩圈內，緊拉著繩圈繞著圖釘移動，繞圈後，就畫出一個橢圓來了。圖釘所釘的點就是這個橢圓的兩個焦點。
更進一步，我們還可以在一間黑暗的房間里，用一個手電筒來照牆。當正射牆壁時，出現了圓的光圈，當手電筒簡稍作傾斜，光圈就變成橢圓形了:當手電筒傾斜到某一個角度後，橢圓會裂開，形成「拋物線」。如果繼續傾斜手電筒，拋物線就越變越尖，這個形狀叫「雙曲線」。再傾斜手電筒，雙曲線會變成兩條相交的直線。
橢圓，拋物線與雙曲線統稱「圓錐曲線」。這是中學解析幾何課的主要內容，但上面這些直觀的講授與實驗，小學生是可以接受的。
參見「漢聲」第31冊。
5.有一個故事"葛小大的一生"：星期一剛出生，星期二上教堂，星期三娶新娘，星期四側在床，星期五快完蛋，星期六上天堂，星期日已下葬。葛大小這一生是怎麼回事呢?
這裡實際上是一個有限數系的循環現象：1，2，3，4，5，6，7；1，2，3，4，5，6，7；……。星期一到底是哪一個星期一?星期二又是哪一個星期二? ……。但有一點是明確的，即假定今天是星期二，我們將它記為1，如果n天之後再是星期二，則n-1必定是7的倍數，即用7可以除盡n-1，我們將這一情況記為n-1≡0 (mod7)，或n≡1 (mod 7)，稱為n與1模7是同餘的。
同餘這個概念在日常生活中是常見的。例如時鐘每隔12個小時就開始循環，如此循環不已。
同餘是大學初等數論課開始的內容，但上述這些講述對於學過除法的小學生是可以接受的。
參見「漢聲」第10冊。
6.使用通常的阿拉伯數字記數，用10個數字記號0，1，2 ，…，9就夠了，為什麼用10個記號?
這很可能是由於人有10個指頭，這就是我們熟知的十進位記數法。小孩子開始學算術四則運算時，也是藉助於手指來幫忙的。
但記數法不一定要十進位，例如中國的老秤，1斤等於16兩，這裡的兩與斤的關係就是16進位，這表明10是可以換成另一個整數的。
在電腦設計中，我們是通過電子開關來傳遞信號與處理數的，每一個電子開關都只能接受「開」與「關」的信號。這樣用兩個記號0(關)與1(開)最方便，在這裡用的就是二進位。
關於二進位，有兩個故事可以啟發小孩子的想像力：我們將1米放大一倍為2米，再放大一倍為4米，繼續放大一倍為8米，如此等等，放至第26次，其長度即夠地球的赤道之長。放至第30次，即超過地球至月球的距離了。另有一個故事說，有一個國王要獎勵國際象棋的發明者，發明者提出要麥子，象棋盤共有64個格子，他要求第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上加倍放，即2粒，第三個格子再加倍，即4粒，如此等等。則第64個格子上放的麥子，覆蓋滿地球也放不下啊！
關於五進位也很有用，例如選舉時用「正」字來計票數，就是五進位。
大學的分析課中，一般會講到各種進位法，但小學生也可以接受上述講法，並易於學會它們的四則運算。
參見「漢聲」第23， 38冊。
7.從一個遊戲說起:有一紙袋糖，假定在袋外加一粒糖，然後將糖的總數加一倍，再加4粒糖，然後將總數平分，最後再減去3粒糖，問還剩下多少糖?
解答：我們列個式子如下：假定紙袋中共有x粒糖，則以後每一步的糖數分別為x 1，2x 2， 2x 6，x 3，x，所以最後剩下的仍為原來的那一紙袋糖。
上面解答中的x叫未知數，我們可以根據問題的題意列出式子一步一步來計算，又如，我們問什麼數加7等於15？我們假設要求的這個數為x，則x 7=15，將等號兩邊都減去7，即得x=8。
這就是中學代數課開始時要學的東西，這樣講解，小學生是可以接受的。
參見「漢聲」第21冊。
8.我們常常會看到一張交通圖，上面有道路及一些築物，如玩具店，圖書館，飯店，博物館等。
我們可以將某些建築物畫出來，並標以「點」，(一些建築物可以被略去)，再將連接這些點的道路用一條「線段」表示出來，這樣我們就得到了一張「網路圖」。一個點稱奇點或偶點依照通過這個點的線段的條數為奇數或偶數而定。如果這張網路圖是封閉的，例如一個城市的交通圖。人們常常會問這樣的問題：一個部遞員將信送至每一個點，怎樣走法最節省(指走的路最短)？
這個問題發端於著名的「海德堡的橋」問題(見第33冊)。由此產生了數學的領域「圖論」，在大學的圖論課會講這些內容，這裡講的知識，小學生是可以接受的。
參見「漢聲」第33冊。
9.什麼是拓撲學?
一根拉直的繩子，上面標有三個點，我們將繩子變彎曲之後，形狀變了，但這三個點的次序未變，一個圓將平面分成圈內與圓外，若將圓拉成一個三角形，則圓之內與外仍分別在三角形之內與外，這是不變的。我們稱這種不變的性質為「不變性」。把線及各種圖形經過壓縮捲曲，或其他方式扭曲之後，有些性質改變了，有些性質不會改變。形象地說，研究這些不變性的數學領域稱為拓撲學。
如果用一把刀，沿著球面上一條封閉的曲線切下，總能將球切成兩部分，即我們不可能沿著球面上的某一條封閉曲線切下，而不把球切成分離的兩部分。具有這種性質的物體稱它們屬於一個「族」。我們稱它為「零族」，或稱它有「空格」0。麵包圈就不一樣了。過麵包圈的里圈至外圈切一刀，麵包圈仍保持完整，但如果再多切一刀，它就分成兩部分了。所以麵包圈屬於「一族」的物體，或稱它有空格1。像8字形的麵包圈是空格為2的物體，我們還可以定義空格≥3的物體。
以上講的是大學數學課程拓撲學的一點基本概念，這裡的直觀講法與實驗，小學生是可以接受的。
參見「漢聲"第32冊。
10. 什麼是概率論?
通俗地說，就是利用一些數據來預測未來的結果。例如，明天的天氣如何？比方說，我們有一百天的氣象記錄和今天的天氣情況差不多，而接下來的第二天曾有過七十天下雨的記錄，氣象預報員就可以說，明天下雨的概率是70%，一般說來，記錄愈多，預測就愈准。
又如擲10個錢幣，正面向上的可能共有11種情況，即0個正面，1個正面，…，與10個正面。我們可以先做一張表，分「正面數」與「次數」兩欄。例如，投擲第5次時得到3個正面，我們「正面數」欄上記上「3」，及在「次數」欄中划上一筆，為便於計數，我們通常用「正」字記數，在此為正字划上最後一筆。 如果我們共投擲了一百次，例如，我們看到10個都是正面的次數為0，…，6個為正面的次數為42， 5個為正面的次數為48，…，0個為正面的次數為1。這時我們可以畫另外一張圖，橫坐標為「正面數」，即0，1，2，…， 10。縱坐標為達到的次數，0上畫1格，…，5上畫48格，…，10上畫0格。圖象是由少至多，再由多至少，如果再投擲100次，所得的圖象亦會是類似的，這就是投擲10個錢幣，正面朝上的概率分布圖。
如何估計工業產品合格否?如果產品數量很大，我們無法一一檢查每個產品。我們常常隨意拿出一小部分來，算算合格的百分比，即概率。由此來預測產品的合格率。這就是「抽樣檢查」。
概率論在中學數學課中有些組合講法，嚴格的數學講法要在大學的概率論課講。但結合生活實際，小學生也可以接受概率的直觀含義。
參見「漢聲」第36冊。
叄
1.古羅馬人的數字與計數法在有些地方仍在延用，這是一種常識，我們應該知道，對應於1，2，3分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，但我們不能無限制地延續這個記號，於是添加了5的記號Ⅴ。
將Ⅰ放在Ⅴ的左邊，即Ⅳ，它表示4。將Ⅰ放在Ⅴ的右邊，即Ⅵ，它表示6。於是我們有Ⅶ，Ⅷ，它們分別表示7，8。以後還要再加一個記號Ⅹ ，它表示10。這樣，我們就有了9的表示 Ⅸ， 11的表示Ⅺ，以及ⅩⅤ表示15，ⅩⅥ表示16，ⅩⅩⅩⅠ表示31等等。不難想像，往下數數時，我們還需要引進記號L(=50)， C(=100)， D(=500)，M(1000)等等。除記號繁雜外，記數時還需要用加減法，所以它不及阿拉伯敷字與計數法好。
2.我們現在用「天平"來稱東西，大概來源於古代人用雙手提東西來比較兩隻手中的東西的重量。
我們用一根橫杆，它的兩端各掛一個盤子，橫杆的中點立有一根支杆，使橫杆處於平衡狀態。我們在右邊盤子里放上欲稱的東西，左邊盤子里放上法碼，如果兩邊平衡了，即得知右邊盤子里的東西的重量了。今天使用的稱是裡面裝有彈簧，上面有一個盤子的形狀。我們將欲稱的東西放進盤子里，彈簀就會受到擠壓，以其受壓的程度來判定東西的重量。
3. 如何計長度?如何計量重量?如何測溫度?這些都是日常生活中常見的問題。
通常用來計量長度的單位有英制：1英尺為12英寸，1碼為3英尺，1英里等於5280英尺。另一計量長度的單位為公制，公制包括厘米，100厘米為1米，1000米為1公里，48英寸等於120厘米。
英制用來計量重量的單位是：盎司，磅，1磅等於16盎司，公制是克，公斤。1公斤等於1000克1公斤大約等於2.2磅。
溫度的計量有華氏，水沸騰的溫度為華氏212度，水結冰的溫度為華氏32度。另一溫度的計量為攝氏：用攝氏溫度計，水在攝氏0度時結冰，在攝氏100度時沸騰。這兩種溫度計，除刻度不同外，都是一樣的。科學家還用標尺說明地震的強弱，風的強弱等。
4.如何求出牆上一段彎曲的曲線的長度?如何求一個容器的表面積與體積?
這些都可以估算。例如，牆上畫有一條曲線，我們可以用一根繩子沿著曲線對齊，將繩子的兩端剪掉，量一下繩子的長度即可知牆上曲線的長度了。
5.雖然我們不能在這套叢書里嚴格地定義函數，對稱，螺線，連接詞「或」與「且」，但在日常生活中，這些概念是經常出現的。
我們從家裡走到車站要多少時間？這就要看我們怎樣走了：跑步，快走，還是慢慢走，即走的速度如何!所以花的時間依賴於速度，或者說，時間是速度的函數。對稱的東西隨處可見，例如人的臉是左右對稱的。雙手也是配對的，等等。
圓周的起點與終點是一個點，所以它是一條封閉的曲線，但若將一根繩子對著一個中心點繞，就成一條螺線了，螺線上每一點到中心的距離都不一樣。這是一條開放的曲線。在日常生活中常常看到螺線，例如螺絲釘的螺紋，唱片的唱溝都是螺線段。
命令句與疑問句不是敘述句，我們在敘述句「真」，「假」間可以用「或」和「且」將兩個敘述句連接起來。例如，貓吃魚或貓會飛：狗喜歡啃骨頭且貓喜歡吃魚。
6.還有幾冊書是與數學有關的遊戲，可以開發兒的智力。
參見「漢聲」第12， 13， 17， 18， 19， 25， 26，27，28，30， 34， 37，39， 40，41冊。
肆
1.數學是一門有廣泛應用的學科，統計學是常見的一門重要的應用數學分支。
它主要從事分析和處理各種「數據」。由於統計與概率論有著密切的關係，所以人們常常將它們連在一起，稱為「概率統計」。隨者愈來愈多的數學分支用於統計及它自身領域的擴張，現在已成為一個獨立的科學分支了。
統計學首先要獲取「數據」:例如，一個國家有多少人:一個城市搭公交車上學的學生有多少;喜歡用「黑人牌」牙膏的人有多少，等等。
根據這些數據，我們可以作些預測。例如，一個學校的水果店，可以在一個班級中作抽樣調查，看看喜歡吃蘋果，香蕉，橘子，梨與草莓的人數比例，從而作為店裡進口這些水果數量的依據。類似地，農民可以利用市場的銷售數據來決定種植各種糧食與蔬菜的品種與數量，等等。
2.我們可以將數據畫在一張紙上，有所謂的「文氏圖」。
例如，有8個人，其中5個人會滑水冰，6個人會滑早冰，3個人既會滑水冰，也會猾早冰，我們可以用文氏圖表示為
3.統計里有幾個常用的量，即「眾數」，「中位數"與「算術平均數」。
例如，一個班的同學，大多數人早餐都吃饅頭與稀飯，這個「大多數」就是「眾數」。
一個班的同學，按高矮排成一排，排在中間的同學的身高就是同學身高的「中位數」。如果有兩個同學排在中間位置，則他們的身高的平均數就是「中位數」。
我們不定期可以將全班同學的身高記錄下來，將它們加起來，再除以全班的人數，答案就是全班同學身高的「算術平均數」。
伍
對「漢聲」的出版有以下兩條小建議:
1.黑色字排在深色上面，不易辨識。例如深綠色的底面上黑色字不易看清楚。最好改為淡綠色上排黑色字，或深綠色上排白色或黃色字。
2.41冊書的封面都用硬殼紙精裝，若能改成軟封面平裝，則成本可以大幅度減低。這樣更便於推廣，特別是貧困地區的小學可能買得起。
這套書的價格挺貴的，原價1080，簡直可以用貴的肉疼來形容，噹噹自營也要700多，遇到電商大促搞活動基本也在5折以上。即使價格這麼高，漢聲也是具有超高人氣，好評率更是達到了99.9%。
最近這套書的大陸引進機構——薄公英童書館藉助公眾號大力推廣，將價格降到了569元，也就是5.2折，每本攤下來13.8元，對於想囤這套書的家長來說可謂是大好福利。
好玩的數學有幸成為這套書的合作推廣公眾號之一，大家可以直接在好玩的數學有贊微商城購買，優惠價格569元，下單後48小時內發貨（周六周日及節假日不發貨），從北京發出，默認發申通或者圓通， 新疆西藏發京東快遞（需另加20運費哈），其他地方包郵，港澳台不發貨，此次活動不支持開發票，敬請諒解！
點這裡亦可購買！
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