他提出的這個悖論引發了第三次數學危機，來看看到底是怎麼回事

知識 01-07

第二次數學危機徹底解決之後，再經過近200年的發展，科學家們普遍認為系統而嚴密的「科學大廈」已經基本建立。

然而，人們沒有注意到的是，作為「現代數學」基礎的「集合論」還隱藏著很多的問題沒有解決。

集合論是「現代數學」的基礎，幾乎每一個分支都是建立在「集合論」的基礎之上的。

「集合論」的誕生之初，在「分析的嚴格化」思想的指導下，徹底地解決了由「微積分」引發的第二次數學危機。

在那一次危機中，「集合論」成為了「近代數學大廈」的基礎。

但是，「集合論」和很多新生事物一樣，在誕生之初也是不完善的，不斷的有人指出了它的缺陷，就連康托爾自己也被其中的一些悖論所困擾。

這些無法解決的問題不斷地積累，終於在「羅素悖論」被提出之後徹底爆發了。

1907年，數學家羅素針對「集合論」的不嚴謹性提出了一個著名的「羅素悖論」，可以簡單地描述如下：

「設有這樣一個集合：「A=」。試問：A∈A是否成立？

如A∈A成立，那麼就不符合x?A，有A?A；

如果A?A，則符合x?A，有A∈A。」

這個悖論被形象地演化成了多個故事，其中最著名的一個故事叫做「理髮師悖論」，如下：

理髮師有一天心血來潮，在店門口寫了一個有趣的公告：我只給所有「不給自己刮鬍子」的人刮鬍子。當他發現自己的鬍子有點長，準備給自己刮鬍子的時候，忽然有點犯難了：我該不該給自己刮鬍子呢？如果我給自己刮鬍子，那就違背了自己只給「不為自己刮鬍子的人」刮鬍子這一條，但是如果不給自己刮鬍子，又違反了應該給「不給自己刮鬍子的人」刮鬍子這一條。

這個看似有點無厘頭的小故事所蘊含的「數學悖論」，揭示出了「集合論」所存在的嚴重問題。

「集合論」作為近代數學大廈的基礎，經過長期的發展，已經滲透到了幾乎所有的數學分支。

如果「集合論」有問題，就會動搖整個「數學大廈」。

「羅素悖論」的提出，對「近代數學」的整個基本結構的有效性提出了全面質疑。

而這個質疑是集中在「無窮」這個概念上的。

早在「康爾托」建立「集合論」之初，大數學家高斯和柯西都曾堅決反對將「無窮」這個概念引入數學。