柏拉圖的數學哲學

柏拉圖的數學哲學

作者：林夏水

原發期刊《哲學研究》1996年第1期

轉自：科學技術哲學

哲學園鳴謝

柏拉圖是古希臘著名的哲學家,同時又是一個數學哲學家。他的數學哲學思想迄今仍影響著當代一些數學家和數學哲學家。現代數學研究對象的抽象性日益提高,使得數學對象的實在性或客觀性成為數學家和數學哲學家關注的問題。本世紀三十年代以後,隨著數學基礎三大學派的爭論漸趨平靜,數學對象的實在性問題成為形式主義與自稱柏拉圖主義論戰的焦點。為追溯現代數學柏拉圖主義的思想淵源,本文就柏拉圖的數學哲學作一探討。

時代背景

柏拉圖數學哲學思想的產生有其深刻的哲學和數學背景。在哲學方面,當時的哲學家都致力於尋找世界的本原。柏拉圖跟隨蘇格拉底學習哲學。蘇格拉底研究了倫理學中的普遍的東西、定義。例如,正義、美的本質。他繼承他的老師從個別的事物中尋找普遍的東西,從現象中探求本質的傳統。但他卻把普遍的東西、定義與個別的東西分離開來,使之成為「單個的存在物」——理念。柏拉圖還接受赫拉克利特關於「一切皆流」,無物常住的思想。但他又進一步認為,永恆變動的事物不能成為知識的對象;知識只能是對永恆不變的事物的認識。愛利亞學派的巴門尼德把可感事物的抽象歸結為思想性的存在,並把它和非存在絕對對立起來。柏拉圖則認為,永恆不變的存在是客觀實在的,可感事物是處在存在與非存在之間。在解決理念與具體事物的關係時,他吸收了畢達哥拉斯的「摹仿說」。畢達哥拉斯學派認為,「萬物皆數」,事物是「摹仿」數而存在的。柏拉圖則認為事物是分有理念而存在的。這樣,柏拉圖就逐漸建立起他的理念論:理念與其同名的可感事物分屬兩個對立的世界,理念先於可感事物而獨立存在;理念是本原、模型,它是永恆的、客觀存在的,可感事物處於運動變化之中,它存在但不實在,它處於實在與非實在之間;可感事物是分有同名理念而存在的。

如果說理念論產生的哲學背景帶有思辨的性質,那麼數學背景——第一次數學危機,就是一個科學事實問題。

畢達哥拉斯學派發現了不可公度量,引起數學史上第一次危機。它迫使哲學家作出理論解釋。可是這一重要事實常常被人忽略。這次危機及其解決,無論在數學方面還是在哲學方面都具有重大意義。就哲學意義來說,它首先動搖了畢達哥拉斯學派的「萬物皆數」的自然觀。其次是它使人們認識到感性知識是不可靠的,只有理性知識才是可靠的。因為根據畢達哥拉斯學派的理論,任何事物都可以用正整數或正整數的比來表示,叫做可公度比(即具有公共度量單位)。就兩條線段來說,從直觀上看,總是可以找到一個公共量度單位,把兩條線段都量盡,進而用整數比來表示它們,使得它們成為可公度比。但是,在數學中根據畢達哥拉斯定理卻可以證明,等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比卻是一個無限不循環的數,也就是說,找不到一個公共量度單位使得它的整數倍等於斜邊的值,或者說,等腰直角三角形的斜邊與直角邊是不可公度的。這一事實說明,感性直觀的知識是靠不住的。作為跟隨過畢達哥拉斯學派重要成員、數學家泰奧多魯斯和阿啟泰學習過數學的柏拉圖是知道這次危機所引起的衝擊的,所以他強調數學是研究抽象的,強調假設—演繹方法;而且他的學派的重要成員、大數學家歐多克斯建立的比例論在解決危機的過程中實現當時數學研究重心的轉移方面作出重要貢獻。正是感性直觀知識的不可靠性,才促使柏拉圖一心一意地追求可靠的知識,尋找實在的、永恆不變的知識對象——理念。

另一方面,既然理念與可感事物是分立對立而存在的,它們作為認識的對象,心靈所獲得的知識,一個是可靠的一個是不可靠的,那麼,如何使不可靠的知識上升為可靠的知識呢?柏拉圖正是在尋找知識的過渡形態過程中建立他的數學哲學理論——數學的居間性;數學對象分離獨立存在於可感事物之外;理念數論及物質元素的幾何結構。

數學的居間性

柏拉圖認為,理念是客觀實在的,而分有同名理念的具體事物雖然存在但不實在。因此,怎樣使靈魂脫離變化的可見世界而進入可知的實在世界,成為他研究的重要課題之一。柏拉圖正是在尋找知識的過渡形態中發現,數學不僅具有實用意義,它是「一切技術的、思想的和科學的知識都要用到的,它是大家都必須學習的最重要的東西之一」(〔1〕,522C),而且具有重要的理論意義,它是「把靈魂拖著離開變化世界進入實在世界的學問」(〔1〕,521D),即由可見世界進入可知世界的階梯。為了說明數學的居間性,他從數學在認識論中的地位和存在不同等級的三種數來進行論證。

數學在柏拉圖認識論中的居間地位

柏拉圖在其認識的四階段論中把數學定位於「比意見明確一些,但比知識要曖昧一些」的理智階段(〔5〕,205)。他在「線喻」中闡明了這一思想。

認識的四個階段——「線喻」

柏拉圖在《國家篇》中根據知識的實在性和真實性的程度,通過「線喻」把知識分為四個等級。首先他把世界分為可見世界和可知世界兩部分,然後在這兩部分中按認識對象的不同再把可見世界分為:實物影象和實物本身;把可知世界劃分為:以實物作影象和理念。這樣,對應於不同的認識對象,就有四種不同的靈魂狀態:想像、信念、理智、理性,而從可見世界獲得的只能是一種意見,只有從可知世界才能獲得真實的知識。其中:

第1等級:以實物的影象為對象,它所對應的心理狀態是想像。

第2等級:以實際的東西(也就是我們周圍的生物以及一切自然物和人造物)為對象,它所對應的心理狀態是信念。

第3等級:以實物作為影象的對象,是數學的研究對象,它是向第4等級過渡的中間階段,它所對應的心理狀態是理智。

第4等級:以理念為對象,無論從實在性或真理性來說,都是最高等級的,是純哲學研究的範圍。它所對應的心理狀態是理念。

由此可見,柏拉圖通過「線喻」不僅展現出認識的四個階段(想像、信念、理智、理性),而且把數學的對象和知識確定為過渡性的中間階段。

數學處於理智認識階段

柏拉圖認為,數學雖然屬於可知世界,但它在研究的對象、方法、目的以及真實性等方面又不同於理性,所以它是處於從意見過渡到知識的理智階段。

在研究對象上。柏拉圖認為,數學家研究的是各種圖形,他把實際事物作為影象,這些「圖形乃是實際的東西」,它們屬於感性的事物;他們所研究的雖然不是所畫的這些特殊的圖形,而是圖形本身,但他們所要看到的是,只有用思想才能認識到的理念。他說:「顯然,他們利用各種可見的圖形,談到這些圖形,但他們所思考的實際上並不是這些圖形,而是這些圖形所摹仿的那些東西。他們所研究的並不是他們所畫的這個特殊的正方形和這個特殊的對角線等等,而是正方形本身,對角線本身等等。他們所作的圖形乃是實際的東西,有其水中的影子和影象。但是他們現在又把這些東西當作影象,而他們實際要求看到的則是只有用思想才能認識到的那些理念」(〔5〕,200頁)。理性的研究對象是理念,它不引用感性事物,而只引用理念。他說:「人的理性決不引用任何感性事物,而只引用理念,從一個理念到另一個理念,並且歸結到理念」(〔5〕,201頁)。

在研究的方法和目的上。數學研究的方法是假設—演繹法,「由假設下降到結論」。例如,「研究幾何、數學以及這類學問的人,在開始的時候要假定偶數與奇數、各種圖形、三角形以及其他類似的東西,把這些東西看成已知的,看成絕對的假設,不覺得需要為他們自己或別人來對這些東西加以說明,而是把這些東西當作自明的。他們就從這些假設出發,通過一系列的邏輯推論而最後達到他們所要的結論」。「由於人的思想不能超出這些假設,因此人的思想不能向上活動而達到第一原理」(〔5〕,200頁)。所以,幾何學家所研究的東西「雖然確實屬於我們所說的可知的東西一類,但是有兩點除外:第一,在研究它們的過程中必須要用假設,靈魂由於不能突破與超出這些假設,因此不能向上活動而達到原理;第二,在研究它們的過程中利用了在它們下面一部分中的那些實物作影象——雖然這些實物也有自己的影象,並且是比自己的影象來得更清楚的更重的」(〔1〕,511)。

而理性的研究方法是假設—辯證法,由假設上升到第一原理。他說:「至於講到可知世界的另一部分,你會了解我指的是人的理性憑著辯證法的力量而認識到的那種東西。在這種認識活動中人的理性不是把它的假設當作絕對的起點或第一原理,而是把這些假設直截了當地當作假設,即是把它們當作暫時的起點,或者說當作跳板,以便可以從這個起點升到根本不是假設的某種東西,上升到絕對的第一原理並且在達到這種第一原理之後,又可以回過頭來把握那些以這個原理為根據的、從這個原理提出來的東西,最後下降到結論」(〔5〕,201頁)。

正是由於在研究方法和目的上的不同,所以他「把幾何學家和研究這類學問的人的心理狀態叫做理智而不叫做理性,把理智看成介於理性和意見之間的東西」(〔5〕,201頁)。

在知識的真實性上。柏拉圖認為:由於數學在研究方法和目的上的局限性,使得它不能真正理解其研究對象,不能給假設以合理的說明,所以它雖然在某種程度上認識到實在,但只能象做夢一樣,不能算做真正的知識。他說:「研究這些科學技術的人在思考感官所不能感覺到的對象時,必得要用思想,但是,由於他們是從假設出發而不能回到第一原理。因此,你不會認為他們真正理解這些對象」(〔5〕,201頁)。「只有幾何學及與之相關的科學,才的確在某種程度上認識到實在。但是我們也看到就連這種科學,對於事物的認識也只能象做夢一樣,因為它們只是假定它們所用的假設,而不能給這些假設以合理的說明。如果你的前提是你所不能夠真正知道的東西,那麼這種認識如何能夠算得真正的知識或真正的科學呢?」(〔5〕,205頁)

而理性則不同,它把假設當作跳板,並且通過辯證法達到第一原理,所以它能夠給假設以合理的說明,才真正認識到實在。因此,辯證法研究的可知的實在比把假設當作第一原理的所謂科學技術的對象,具有更大的真實性。他說:「當一個人根據辯證法企圖只用推理而不要任何感覺以求達到每個事物本身,並且這樣堅持下去,一直到他通過純粹的思想而認識到善本身的時候,他就達到了可知世界的極限」(〔5〕,203頁)。

數學數處於可感覺數和理念數之間

柏拉圖在《國家篇》講到算術的作用時談到「純數」和「可見物體的數」。他說:算術「用力將靈魂向上拉,並迫使靈魂討論純數本身;如果有人要它討論屬於可見物體或可觸物體的數,它是永遠不會苟同的」(〔1〕,525D)。他在《PHILEBUS》中講到兩類算術的區別時又說到計數的不同單位和相同單位。他說:「有些算術家計數不同的單位,例如,兩支軍隊、兩頭牛、兩件很大的東西或兩件很小的東西。反對他們的一伙人堅決認為,在一萬以內的每一個單位都必須與其他單位相同」(〔10〕,56)。這裡的「可見物體的數」和「計數不同的單位」在數學中叫做名數,而亞里士多德把它叫做感覺的數;而「純數」和「每一個單位都必須與其他單位相同」的數是指抽象的數學數。這說明柏拉圖認為存在著兩種數,即數學的數和可感覺的數。至於第三種數即理念數,那是他在後期把理念論與畢達哥拉斯學派的「萬物皆數」相結合的產物。他的學生亞里士多德在《形而上學》中就說到他認為存在著另一類數——理念數。亞里士多德說:「抽象的眾數與物質世界的眾數是相同的數,抑或不相同的兩類數呢?柏拉圖說這是不相同的;可是他也認為數可以作事物之量度,也可以成事物之原因,其分別恰是這樣,事物本身的數是感覺數,為之原因之數則是理知數」(〔4〕,990a29—34)。這裡講的「理知數」是抽象的、可作事物之量度,又是事物之原因。就其抽象性和作為事物之量度而言,它類似於數學數,就其「成事物之原因」而言,它又區別於數學數。所以它只能是一種新的數——理念數。亞里士多德還在《形而上學》(1080a17—37)一書中,按數的單位的可結合性把數分成三類:

1.每一個數的單位無例外地都不能結合;

2.各個數的單位彼此都能互相結合,如數學數;

3.有些單位可結合,有些單位不能結合。

並說「有些人(指柏拉圖)說兩類數都存在,其中先後各數為品種有別者等同於理念,數學數既不同於理念又不同於可感事物,但這兩類數與可感事物相分離」(〔4〕,1080b10—14)。「那些最初斷定數有理念和數學兩類的人既沒有說也不能說數學之數怎樣存在和由什麼組成。他們把數學數安置在理念數與可感覺數之間」(〔4〕,1090b33—35)。亞里士多德在這裡不僅直接講到理念數,而且指出它的特點是,不同的理念數在性質上是不同的,其單位是不能互相結合的,但它們都與可感事物相分離。

以上說明,柏拉圖確實認為存在著三種數:感覺數、數學數和理念數,而且數學數是處於中間位置的。關於數學數的居間性,除了在「線喻」中作了說明以外,這裡還就數學數與理念數在生成和成為事物的原因方面的不同,作進一步說明。柏拉圖在《巴門尼得斯篇》中詳細地講到數學數的生成過程:

1.從「如若一是」推出`一』必然分有`是』。

2.從「一」分有「是」引繹出「異」。因為「一」分有「是」說明「一」所分有的「是」與「一」自身是各異的。所以就產生「一」、「是」、「異」不同的三者。

3.由一、是、異三者引繹出數:(1)從一、是、異中任選一個就產生1;(2)從一、是、異中任選一對就產生2;(3)由2加1就產生3;

由於2是偶數,3是奇數,所以不僅有了奇數與偶數,而且也有了奇倍與偶倍。這樣,就可通過偶倍偶數、偶倍奇數、奇倍偶數、奇倍奇數產生一切數了。所以柏拉圖說:「如若一是,必然地有數」(〔2〕,143C—144A)。當然這其中還必須補充一加法才能真正產生所有的正整數(〔2〕,注249)。

柏拉圖的理念數論首先肯定理念是數,是事物的原因,然後指出理念數的生成原則(〔4〕,1081a14—17):一和不定的二(dyad)。

既然理念數與數學數的生成不同,那麼它們的計數法也不同:「數學數是這樣計數的:1,2(由1與前一個1組成),3(由兩個1和1組成),其餘類似。而理念數是這樣計數的:1,接著是不同的2(不包含第一個1),3(不包含2),其餘類似」(〔11〕,1080a30—34)。

正因為數學數與理念數存在著這些區別,特別是理念數是事物的原因,而數學數不是,這就決定數學數低於理念數。另一方面,感覺數是與事物的質相聯繫的,它的抽象程度自然比脫離事物的質的抽象的數學數低。所以,數學數必然處於中間體的地位。

數學對象的存在方式

在這個問題上,柏拉圖把他在理念論中的分離說應用到數學對象上,認為數學對象分離獨立存在於可感事物之外。

亞里士多德認為,數學對象不可能分離獨立存在於可感事物之外,並從七個方面作了反駁。這裡只選取其中的四個來說明亞里士多德是怎樣進行反駁和論證的。

第一個論證以柏拉圖關於理念的在先性、分離性和要素的非組合性為前提,推論出:如果在可感的立體之外存在一個先於並且與可感事物相分離的另一種立體,那末根據同樣的道理,在可感的面、線、點之外,也應該獨立存在著在先的面、線、點。也就是說,在可感的體、面、線、點之外還存在一組數學對象的體、面、線、點。根據組合物是由在先的、獨立存在的要素組成的,以及面是由線組成的,線是由點組成的,就可以推出:存在兩套體、三套面、四套線、五套點。那末數學家究竟研究其中那一套呢?(〔4〕,1076b13—40)

第二個論證說,如果幾何學的對象脫離可感事物而獨立存在,那麼作為數學的一部分的天文學,其對象也將脫離可感事物而獨立存在,可是,天空及其各個部分怎麼可能脫離可見的天空及其各部分而獨立存在呢?同樣,光學和聲學的對象也將獨立自存,否則,為什麼有的對象能與可感對象相分離,有的就不能呢?(〔4〕,1077a1—9)

第三個論證是,柏拉圖認為,數學對象是處於理念和可感事物的中間體。根據這種觀點,我們可以從理念與中間體之間再分離出另一類中間體,它既不是數也不是點,既不是空間量也不是時間。如果這是不可能的,那末數學對象也不可能與可感事物相分離而獨立存在。(〔4〕,1077a9—14)

第七個論證是,立體是一種本體,因為它在某種意義上已經具有完整性了。但是,線怎麼能夠成為本體呢?它既不是象靈魂那樣作為一種形式,也不是象立體那樣作為一種質料。因為我們沒有關於把點、線、面放在一起的經驗,如果它們也是一種物質實體,我們就應該看到把它們放在一起所組成的東西(〔11〕,1077a31—36)。他說:「假定點、線、面的定義在先,但並不是所有定義上在先的東西在本體上也在先。因為本體上在先的東西,當它與其他事物分離時,更具有獨立存在的能力,而事物在定義上先於那些其定義是由事物的定義合成的事物;因此,這兩種屬性不是共同擴張的。因為如果屬性不是脫離其本體而獨立自存的(例如,`運動的』或`蒼白的』),那末`蒼白的』在定義上就先於蒼白的人,而在本體上卻不是在先的。因為它不可能分離獨立存在,而總是跟隨著具體事物,我所說的具體事物是指蒼白的人。因此很清楚,抽象的結果並不是在先的,由於加上一些決定性因素而產生的那些東西,也不是在後的,因為我們所說的蒼白的人,正是由於把一個決定性因素加給`蒼白的』」(〔11〕1077b1—11)。

亞里士多德通過七個方面的論證得出結論:「數學對象並不是比物體更高級的本體,它們在本性上並不先於可感事物,而只是定義上在先;它們不可能獨立存在於某個地方」(〔11〕1077b11—14)。從而否定了柏拉圖關於數學對象獨立存在於可感事物之外的觀點。

理念數論及物質元素的幾何結構

柏拉圖的理念論在學園內部引起爭論,他自己也意識到其中的「分有說」遇到困難。所以他在晚年一方面在《巴門尼德篇》和《智者篇》中提出「通種論」,即最普遍的種有三對:存在與非存在、動與靜、同與異,它們既互相區別又互相聯繫;它們可以互相連接而成為集體,連接越多內容越豐富,於是,`種」的集體就成為個別事物。這樣,他就避免了`分有說』帶來的困難。另一方面,他在「線喻」中講到數學在認識論中具有階梯的作用後,在《Philebus》中又明確地講到兩種算術和兩種幾何。他把研究「兩支軍隊、兩頭牛、兩件很大的東西或兩件很小的東西」這類不同計數單位的算術叫做普通算術(Popular arithmetic),而把研究數的各個單位都可以互相結合的抽象數的學問,叫做哲理算術(Philosophical arithmetic)。類似地,他把研究建築學中的測量這類生產性技藝叫做普通幾何學(Popular geometry),把抽象地研究圖形的幾何關係的學問叫做哲理幾何學(Philosophical geometry)(〔10〕,55,56)。哲理數學的提出,說明柏拉圖認為數學還具有哲理性的一面,更傾向於把數學在認識中的階梯地位提升到理性的階段。這就為他提出理念數論奠定了思想基礎。同時,他又把畢達哥拉斯學派的`數本說』(數為萬物之本原)與理念論結合起來,提出一種不成文的學說——理念數論。它其所以稱為不成文的學說是,因為它只是在學園內部講課時提出的,既未正式發表也不成體系,我們只能在亞里士多德的批判中略知梗概。

理念數論的基本思想是:1、理念是數;2、理念數的生成原則是,一和`不定的二』(indefinitedyad);3、理念數的實在性比數學數高一等級,因為「他們把數學數安置在理念數與可感覺數之間」(〔4〕,1090b35—36);4、理念數與數學數的區別,在單位的可結合性上,數學數的單位無例外地彼此可以互相結合;而理念數中不同數的單位是不能結合的,如`本2』的單位不能與`本3』的單位結合,其餘的理念數也如此。在計數方面,也有區別(〔11〕,1080a24—35)。

儘管理念數論因為遇到許多麻煩,而成為一種不成文的理論。但是,在柏拉圖看來,既然數等同於理念,成為萬物的本原,作為數學的一部分的幾何學,其研究的對象——點線面體也應該成為萬物的本原,所以,他在《蒂邁歐篇》用它們來構造物質元素的幾何結構。

他認為,構成物質世界的火、土、水、氣四種元素都是物體,而每一種物體都佔有體積,都是立體。立體必然被一些平面所包圍,每一個平面直線圖形都是由三角形組成。原始的三角形有兩種:等邊直角三角形和不等邊直三角形。所以,「我們假設,這些三角形是火和其他物體的原始元素」(〔9〕,53C)。接著,他分別按照這兩種三角形的不同組合和連接,構造出四種立方體:角錐體、立方體、八面體和二十面體。然後,根據這些立體圖形的穩定性、體積的大小以及立體角的大小,結合四種元素的物理特點,分別把它們指派給火、土、氣和水。他說:「我們把已經說明過其形成的那些圖形分配給火、土、水和氣。我們把立方體指派給土,因為在四種物體中土是最穩定的,而且最具有可塑性的,其基面最穩定的圖形必定最符合那種描述;我們開頭假定,如果取這些三角形作基面,那麼依性質,等邊三角形的面比不等邊三角形的面更穩定;而且,由這兩種三角形合成的兩個等邊面,其正方形無論從局部看還是從整體上看,都必然比三角形具有更穩定的基面。因此,我們將儘可能維持我們的理由,如果我們把這種圖形指派給土;剩下的,把最小變動的圖形指派給水,把最不穩定的圖形指派給火,把穩定性方面居中的圖形指派給氣。另一方面,我們把最小的立體指派給火,把最大的立體指派給水,把大小適中的立體指派給氣。其次,把最尖的角指派給火,接著分別指派給氣和水。現在在所選取的圖形中,面數最少的圖形角錐體(pyramid)必定是最不穩定的,因為它的棱和角是最尖銳的。第二種立體是八面體(octahedron),它在這些關係中處於第二位,第三種立體是二十面體(icosahedron),它處於第三位」(〔9〕,55d,56a,b)。

因此,「可以把角錐體看作火的元素或種子;把依次生成的第二種立體圖形(八面體)看作氣元素;把第三種立體圖形(二十面體)看作水的元素」(〔9〕,56b)。為什麼這四種立體圖形能夠分別被看作土、水、火、氣的元素呢?因為「我們必須設想,這些立體是如此之小,以致任何一種單個立體圖形都是因為其小性(smallness)而看不見的,儘管把一定數目的立體圖形聚合在一起時是看得見的。關於它們的數目、運動和性質,我們必須假定,上帝按照適當的比例調整它們,使得它們成為最精確、最完美的東西」(〔9〕,56b)。

柏拉圖除了構造四種元素的幾何結構以外,還研究火、氣、水這三種元素及其幾何結構圖形是如何轉化的,用以說明宇宙間萬物的多樣性和複雜性以及宇宙的演化。

柏拉圖的物質元素的幾何結構理論比德謨克利特的原子論和畢達哥拉斯學派的數本說前進了一步,他猜到物質元素具有數學形式,並用幾何結構來表述。他的這一思想得到現代物理學家的肯定。當代理論物理學家和原子物理學家W.海森伯說:「在德謨克利特的哲學中,原子是物質的永恆的、不可毀滅的單位,它們決不能互相轉化。關於這個問題,現代物理學採取了明確地反對德謨克利特的唯物主義而支持柏拉圖和畢達哥斯的立場。基本粒子的確不是永恆的、不可毀滅的物質單位,它們實際上能夠互相轉化。……,現代觀點和柏拉圖與畢達哥拉斯的觀點的類似性還多少能進一步發展」(〔6〕,34—35頁)。

同時,W.海森伯也承認自己受柏拉圖和畢達哥拉斯的影響:「柏拉圖的《蒂邁歐篇》中的基本粒子最終不是實體,而是數學形式。`萬物皆數』,這是畢達哥拉斯的名言。那時唯一應用的數學形式是這樣一些幾何形式,例如正多面體或構成它們表面的三角形。在現代量子論中,無疑地,基本粒子最後也還是數學形式,但具有更為複雜的性質」(〔6〕,35頁)。綜上所述,柏拉圖是在尋找如何從可見世界進入可知世界的過程中建立他的數學哲學的:數學是使靈魂脫離變化世界進入實在世界的學問;數學對象具有居間的性質,數學家的心理狀態是介乎理性與意見之間的理智;由於數學研究的對象和方法存在著局限性,所以它雖然對實在有了某種認識,但只是象做夢似地看見實在;數學對象是存在的,但它是分離獨立存在於可感事物之外的。他在晚年為克服理念論的困難,把理念論與畢達哥拉斯學派的「萬物皆數」的理論結合起來,提出一種不成文的理念數論,構造了物質元素的幾何結構形式。

〔1〕 柏拉圖:《理想國》,郭斌和、張竹明譯,商務印書館,1986.

〔2〕 柏拉圖:《巴門尼得斯篇》,陳康譯,商務印書館,1982.

〔3〕柏拉圖:《泰阿泰德智術之師》,嚴群譯,商務印書館,1963.

〔4〕亞里士多德:《形而上學》,吳壽彭譯,商務印書館,1981.

〔5〕北京大學哲學系外國哲學史教研室編譯:《古希臘羅馬哲學》,商務印書館,1982.

〔6〕W.海森伯:《物理學和哲學:現代科學中的革命》,商務印書館,1981.

〔7〕范明生:《柏拉圖哲學述評》,上海人民出版社,1984.

〔8〕A.E.泰勒:《柏拉圖——生平及其著作》,謝隨知等譯,山東人民出版社1991.

〔9〕Timaeus, The Dialogues of plato, Vol.3, B.Jowett ed., OxfordUnivetsity press, 1892 Thirded., 1924I mpression.

〔10〕Philebus, The Dialoguesof Plato, Vol.4, B.Jowett ed., Oxford University Press, 1892 Thirded., 1924 Impression.

〔11〕The Works of Aristolte,Vol. Ⅲ, W. D. Rossed., Oxford,Second, 1928.

〔12〕J. N. Findlay, Plato:The Written and Unwritten Doctrines, New York, Humanities Press, 1974.

〔13〕A. Wedberg, Plato"s Philosophyof Mathematics, Appelbergs Boktryckeri A B, 1955.

〔14〕F. M. Cornford, Plato"sCosmology, London, 1937.

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