「周期」竟然是一種數字！看完這篇文章，我的數學彷彿白學了

大型強子對撞機的上次運行得到了海量數據，物理學家正在從中分析新粒子留下的蛛絲馬跡。為此，他們必須精確計算不同粒子反應的概率。根據費曼傳下來的方法，這種計算最後總是在算一個積分，而隨著精度越來越高，積分會複雜到令人生畏的程度。最近，數學家提供了一個新方法，可以有效地簡化計算，甚至可能解決原來完全不可能計算的問題。

這篇節選自《環球科學》2019年2月刊的文章，為我們講述了一個藉助新數學搜尋新粒子的故事。點擊雜誌封面圖進入購買頁面，閱讀更多精彩文章。

大型強子對撞機（LHC）是人類有史以來建造的最大機器。質子對撞時，會分裂成它們的組成部分（包括夸克和將夸克粘合在一起的膠子），併產生新的粒子。正是通過這樣的過程，大型強子對撞機在2012年首次探測到了希格斯玻色子。在粒子物理學標準模型預言的粒子中，希格斯粒子曾是缺失的最後一個。現在，物理學家希望大型強子對撞機能找到一些真正全新的東西：現有理論中沒有的粒子——比如能解釋暗物質之謎的粒子，或者為其他揮之不去的問題提供解決方案的粒子。

當然，如果我們不知道標準模型到底預測了什麼，那麼所有努力都毫無用處。這就是我的研究領域。關於LHC，我們的問題都是以概率的形式出現的。兩個質子相互彈射的可能性有多大？我們每隔多久能產生一個希格斯玻色子？科學家用「散射振幅」來計算這些概率，這些公式告訴我們粒子以特定的方式互相「散射」的可能性有多大。包括我在內的一群物理學家和數學家正致力於加快這些計算。我們稱自己為「振幅學家」。

振幅學家認為，我們這個領域的源頭可以追溯到兩位物理學家的研究——斯蒂芬·帕克（Stephen Parke）和托馬什·泰勒（Tomasz Taylor）。1986年，他們發現了一個描述任意數量膠子之間碰撞的簡單公式，這個公式簡化了原本需要逐個仔細計算的繁瑣方法。但這個領域真正啟動是在20世紀90年代和21世紀初，當時出現了一系列有望簡化多種粒子物理計算的新方法。

如今，振幅學正在蓬勃發展。最近，我們向前邁出了一大步，超越了那些已經被我們發展為複雜技術的基本工具。我們正在進入一個新的計算領域，其能力足以跟得上大型強子對撞機不斷增加的精度。有了這些新工具，我們已經準備好去檢測標準模型的預測與大型強子對撞機實際數據之間的微小差異，這使得我們有望最終揭示物理學家夢寐以求的新粒子。

圈和線

為了進行我們這種計算，科學家長期使用一種名為費曼圖的圖形。這些圖是物理學家理查德·費曼（Richard Feynman）在1948年發明的。假設我們想知道兩個膠子合併形成希格斯玻色子的概率，我們首先要繪製代表已知粒子的線條：兩個膠子進入，一個希格斯玻色子出來。然後，我們必須根據標準模型的規則在圖中間繪製更多的粒子線條，把這三條線連接起來。這些額外的粒子可能是「虛」的：也就是說，在我們的圖中，它們不像膠子和希格斯玻色子那樣是真實的粒子。相反，它們是一種簡便的標記，是一種追蹤不同量子場如何相互作用的方法。

費曼圖不只是漂亮的圖形。它們是說明書，教我們用圖中粒子的信息來計算概率。如果我們知道圖中膠子和希格斯玻色子的速度和能量，我們可以嘗試計算兩者間虛粒子的屬性。但有時候答案是不確定的。用你的手指沿著粒子路徑移動，可能會畫出一個閉合的圈：一條路徑最終回到了起點。這樣的粒子不是「輸入」或「輸出」：我們永遠檢測不到它的屬性。雖然違反直覺，但這是量子力學不確定性原理的結果——我們無法同時測量粒子的兩個特徵，如速度和位置。量子力學告訴我們如何處理這種不確定性——我們必須將每種可能性加起來，使用你的高中數學知識（積分）, 把虛粒子可能具有的任何速度和能量的概率加起來。

理論上，為了計算散射振幅，我們必須繪製出每一個可能連接我們粒子的圖。實際上，會有無限張這樣的圖。好在，在實際應用中，由於大多數量子作用力的強度較低，我們得救了。當費曼圖中的一組線連接起來時，表示了不同類型的粒子之間發生了「相互作用」。讓粒子相互作用的是某種力，每當這種情況發生，我們都必須乘上一個與這種力的強度相關的常數。如果我們想繪製一個有更多閉合的圈的費曼圖，我們必須把更多的線連起來，並乘上更多這樣的常數。對於電磁作用力，相關的常數很小：每添加1個圈，你就要乘上大約1/137。這意味著圖裡的圈越多，它對你最終答案的貢獻就越小，最終這類圖的影響會小到實驗根本無法檢測到。關於電磁作用力的最精細實驗已經精確到了小數點後10位，這是所有科學領域中最精確的測量。計算要達到這樣的精度「僅」需要四個圈，乘上4個1/137這樣的係數。

目前，LHC的測量精度剛剛開始與兩圈計算的精度相匹配。但只考慮兩個圈的計算已經夠複雜了。例如，幾位物理學家在2010年進行的兩圈計算得出了2個膠子對撞產生4個膠子的可能性。他們使用簡化的理論進行計算，並使用了一些特殊的快捷方式，但最終的公式仍然是17頁的複雜積分。

這個長度不太令人驚訝，但在幾個月後，另一個團隊成功用兩行公式寫出了相同的結果。該團隊是由三位物理學家馬庫斯·斯普拉德林（Marcus Spradlin）、克里斯蒂安·韋爾古（Cristian Vergu）和阿納斯塔西婭·沃洛維奇（Anastasia Volovich），以及一位數學家亞歷山大·B·貢恰羅夫（Alexander B. Goncharov）組成的，他們使用的技巧非常強大，讓振幅學家接觸到了我們大多數人以前從未見過的數學領域。這些年來，正是這個領域為我的科研事業提供了動力。

周期和對數函數

如果把費曼圖中得到的某個積分拿給貢恰羅夫這樣的數學家看，我們聽到的第一句話會是：「那是一個周期。」

周期是一種數字。你可能熟悉自然數（1、2、3、4……）和有理數（分數）。2的平方根不是有理數，然而，它是代數的：你可以寫出一個代數方程，比如x2= 2，方程的解是2的平方根。周期是個更進一步的概念：或許你不能從代數方程中得出它們，但你總能從積分中得到它們。

為什麼稱它們為周期？在最簡單的情況下，這就是它們的字面意思：事物重複出現前經過的距離。回想高中時代，你可能還記得當時努力學習的正弦和餘弦函數。你或許還記得，用虛數可以將它們放在一起，組成歐拉公式：eix= cos(x) i sin(x)（這裡e是常數，i是-1的平方根）。這裡面的三個函數，sin(x)、cos(x)和eix的周期都是2π。

2π是一個周期，因為它是eix重複前經過的距離，但你也可以將其視為一個積分。在複平面（一個軸代表實數，另一個軸代表虛數）中繪製eix的圖像, 會出現一個圓。如果你想測量這個圓的周長，你可以用一個積分來完成，也就是轉上一圈，將圓周的每一截片段加起來。這樣，你會發現周長就是2π。

如果你沒有轉上一整圈，只轉到某個點z會發生什麼？在這種情況下，你必須求解方程z = eix。再次回想高中時代，你可能還記得要解決這個問題需要什麼：自然對數ln(z)。對數可能看起來不像2π那樣的「周期」，但因為你可以從積分中得到它們，所以數學家也稱它們為周期。除2π外，對數是最簡單的周期。

當然，數學家和物理學家關心的周期可能比這種情況複雜得多。在20世紀90年代中期，物理學家開始對費曼圖中得到的積分所相應的周期進行分類，發現了令人眼花繚亂的奇異數字。值得注意的是，剛才那個高中數學例子仍然很有用。當被視為周期時，這些奇特的數字有很多都可以分解為對數。理解了對數，你就幾乎可以理解其他一切。

這就是貢恰羅夫教給斯普拉德林、韋爾古和沃洛維奇的秘訣。他向後者展示了如何處理那17頁的雜亂結果，並把它簡化成一種對數的「字母表」。根據對數間的相互關係，該字母表有一套自己的「語法」。通過運用這種語法，物理學家能夠用幾個特殊的「字母」重寫結果，使得雜亂的粒子物理計算看起來簡單很多。

這個技巧讓振幅學界興奮不已。我們可以將自己使用的許多積分分解成行為類似於對數的字母表。適用於對數的規則，如ln(x y) = ln(x) ln(y)和ln(xn) = n ln(x)等基本定律，也適用於這些字母表。

填字遊戲

一旦我們知道了正確的字母表，我們也可以進行新的計算——那些不用這種方法根本不可能實現的計算。實際上，通過了解字母表，我們可以跳過費曼圖，直接猜出答案。

想想報紙中經常出現的填字遊戲。遊戲會告訴你需要哪些字母，要組成的詞是多長。如果你懶得思考, 可以用計算機按照每個可能的順序排列字母，然後瀏覽列表。最終你會發現一個意思合適的詞，從而得到答案。

但是，這個候選答案的列表可能很長。幸運的是，在物理學中，我們一開始就獲得了提示。我們從對數組成的字母表開始，這些對數描述了我們的粒子可能具有的屬性（例如它們的能量和速度）。然後，我們開始用這個字母表拼寫單詞，寫出的單詞就表示可能出現在最終答案中的積分。某些詞沒有物理意義，而其他候選者要能解釋我們已經知道的事情：當粒子變得非常慢或非常快時會發生什麼。最後，我們可以將數百萬個詞逐層刪減，最終得到了唯一一個能合理表示散射振幅的詞。

2011年，蘭斯·迪克遜（Lance Dixon）、詹姆斯·德拉蒙德（James Drummond）和約翰尼斯·亨（Johannes Henn）使用這種技術為一個三圈計算找到了合適的「單詞」。我在2013年加入了這個團隊。與當時也是研究生的傑弗里·彭寧頓（Jeffrey Pennington）一起，我們將結果變成了一種可以與舊的兩圈計算進行比較的形式。我們得到的公式不是17頁了，而是變成了800頁，而整個計算過程一張費曼圖都不用畫。

從那時起，我們在計算中加入了更多的圈，我們的團隊也在不斷擴大我們正在處理7個圈的費曼圖，我不知道新公式需要寫多少頁。當計算如此複雜時，貢恰羅夫的技巧也不足以簡化結果了。在這種情況下，它讓計算有可能實現就很讓人高興了！我們現在將結果存儲在計算機文件中，大到足以讓你認為它們是視頻文件，而不是文本。

橢圓積分

還記得嗎，散射振幅計算中包含的圈越多，預測的精度就越高。7個圈的結果可能比LHC可測量的、大約2圈左右的結果更精確。我說「可能」，是因為有一個問題：我們的7圈計算使用的是「玩具模型」——比描述真實世界粒子相互作用的理論要簡單一些。要升級我們的計算使其可以描述真實世界是很困難的，並且存在許多挑戰。首先，我們需要了解一些名為橢圓積分的概念。

我們使用的玩具模型表現很好。它的一個出色特點是，對於我們所做的那種計算，貢恰羅夫的方法始終有效：我們總是可以將積分分解為對數字母表，分解成圓環上的積分。在真實世界中，這種策略在兩圈計算中遇到了問題：兩個積分會糾纏在一起而不能分開。

想想兩個勾在一起，無法分開的圓環。如果你讓一個環繞另一個環移動，你將繪製出甜甜圈的形狀，也就是一個環面（torus）。環面有兩個「周期」，也就是說，在環面上畫一條閉合線有兩種不同的方式，對應兩個不同的環。圍繞其中一個環做積分，你會得到一個對數。然而在環面上畫一個圈，你不是總能得到一個圓：相反，你可能得到一個橢圓。我們將這種積分稱為環面橢圓積分。

要理解橢圓曲線，會涉及到一些著名的複雜數學問題，其中一些問題很難解決。然而，隨著LHC精度的提高，橢圓積分變得越來越重要，這促使全世界的科研團隊去努力解決新的數學問題。

2017年冬天，我們收到了一份提前的聖誕禮物：迪爾、杜拉特與合作者的兩篇論文。他們給出了一個處理這些積分的更好方法。那些論文，以及後來他們與布倫達·佩南特（Brenda Penante）合作發表的文章，提供了我們所需要的缺失部分：一個帶有「橢圓字母」的新字母表。

有了這樣的字母表，我們就可以把貢恰羅夫的技巧用於更複雜的積分，並嘗試去在真實世界中理解雙圈振幅，而不僅是在玩具模型中。如果我們可以在真實世界中進行雙圈計算，如果我們能夠計算出更高精度的標準模型預測結果，我們就可以看到LHC的數據是否與這些預測相符。如果兩者並不符合，就意味著出現了一些現有理論無法解釋的、真正的新現象。這些數據有望幫助我們把粒子物理學推進到下一個前沿，解開那些看似無法破解的持久謎題。

撰文：馬修·馮希佩爾（Matthew von Hippel），丹麥尼爾斯·波爾國際學院的博士後。

翻譯：張勇，中國科學院理論物理所博士研究生。

《環球科學》2019年2月刊即將上市

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！