自然常數e是什麼？它是怎麼來的？

在數學中，有一個被稱為自然常數（又叫歐拉數）的常數。之所以把這個數稱之為自然常數，是因為自然界中的不少規律與該數有關。不過，這個數最初不是在自然界中發現的，而是與銀行的複利有關。

想像一下，如果把錢存在年利率為100%的銀行中，一年之後的錢將會增加為原來的(1 1)^1=2倍。假如銀行不用這種方式來結算利息，而是換成六個月算一次，但半年的利率為之前年利率的一半，也就是50%，那麼，一年後的錢將會增加為原來的(1 0.5)^2=2.25倍。同樣的道理，如果換成每日，日利率為1/365，則一年後的錢將會增加為原來的(1 1/365)^365≈2.71倍。

也就是說，隨著結算時間的縮短，最終收益會越來越多。倘若結算時間無限短，那麼，最終的收益會變成無窮多嗎？這個問題等同於求解下面的這個極限：

經由嚴格的數學證明可知，上述極限是存在的，它不是無限的，而是一個常數，這個常數就是現在所說的自然常數e：

另據證明，自然常數e是一個無理數，所以它是一個無限不循環的小數，具體數值為2.71828……。

根據以e為底的指數函數的泰勒級數展開，還能推導出e的另一個表達式：

可以看到，自然數階乘的倒數之和正是e，所以這能體現自然常數的「自然」之處。

在自然界中，有不少規律與e有關，例如，生物的生長、繁殖和衰變規律，這些過程都是無限連續的，類似於銀行的無限複利。

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