數學家：大海撈針不稀奇，最普通東西的才最難找

「我們就像在用磁鐵找東西，但磁鐵根本沒法吸住乾草，所以你能找到的就只有針了。」

編譯 | 一塊肉餅

「這簡直就像是在乾草堆里找一根乾草。」[1]

當我第一次從一位數學家口中聽到這話時，我們正在通電話，討論如何尋找具有特定特徵的某種形狀——我想，這傢伙一定口誤了。

「你是想說，就像在乾草堆里找一根針，對么？」我幾乎脫口而出。

但他把剛剛的話又重複了一遍。

在數學中，最套路的思維方式往往會深深留在人們腦中。和我談話的那位數學家是來自肯塔基大學（University of Kentucky）的Dave Jensen。他的的確確就是在說「在乾草堆里找乾草」。他試圖用這樣一個短語來描述數學研究中一個奇怪的事實：有時候，最普通的東西最難找。

「在數學的許多領域裡，你都在尋找某種事物的例子。這樣的例子數不勝數。但每當你想把它寫下來的時候，就會發現自己弄錯了。」Jensen說道。

早在我們孩提時代初學數學時，「乾草堆里找乾草」的現象就已經出現了。數軸（此處特指實數軸）上的點包括正負整數（如2，-29），有理數（如32/1137），以及所有的無理數（如π和根號）。無理數佔據了數軸上許多、許多的空間——事實上，如果要在數軸上隨機挑選一個數，100%你會得到一個無理數。

為什麼是100%而不是99.9%？當「無窮」這個東西出現在概率中時，奇怪的事情就發生了。二十世紀初，法國數學家亨利·勒貝格（Henri Lebesque）提出了一種「測量手段」，讓人們能夠面對「無窮種可能性」時也能在數學層面上嚴格地計算概率。這種方法被稱為勒貝格積分。

但即便無理數壓倒性地存在於世，我們卻幾乎從未在日常生活中遇見它們。我們用整數進行計數，用分數解決問題。我們最熟悉的數字其實都是數軸上的稀客——乾草堆裡頭的針。

正因為乾草過於普通，才難以被找到。有理數的特徵是，它們可以被準確地寫下來，從而引起人們的注意。而無理數有無窮盡的小數位，即便你有無窮盡的時間，也不可能把它們全寫下來。這些無理數缺少的恰恰是一種無以倫比的性質：「可寫性（write-down-able-ness）」——這是它們「隱形」的秘訣。

「我們就像在用磁鐵找東西，但磁鐵根本沒法吸住乾草，所以你能找到的就只有針了。」數學家Dhruv Ranganathan如是說。

「找乾草」這件事其實出現在數學的眾多領域裡。在極少情況下，物體可以用簡單的公式來表示：直線，拋物線，圓形和球體。它們就是「針」，也為我們所熟悉。

但成百上千的圖形拒絕被如此優雅的方式所代表。它們可能出現在任何地方，但因為你無法建立公式去描述它們，你便無法證明它們中的任何一個是否真的存在，哪怕一個都不能。

數學中有一個叫做「熱帶幾何（tropical geometry）」的領域，是代數幾何中的一個重要分支。它首次由巴西數學家、計算機科學家 Imre Simon 於 1980 年代提出。「熱帶」一詞來自於當時數學界對巴西的刻板印想。熱帶幾何為我們提供巧妙而狡猾的方法，來推斷這些無所不在且又如無理數一般「普通」的幾何圖形——寫不出來也好，畫不出來也罷，它們一直都在那裡。

人們常常會遇到「要麼這個東西存在」和「要麼這個東西不存在」這樣非黑即白的情況。雖說很難去判斷那些「普遍」的東西的存在與否，但如果你是一個數學家，你相信它們是存在的，相信它們具有組成任何事物的能力，你的任務就非常簡單：找一個出來吧。

Ranganathan說道，「這就像你堅信大海里都是水。但每當去取海水的樣品時，得到的卻是些出乎意料的東西：貝殼、石頭還有海藻。但是堅持你的設想，不代表你要把整個海都掏個乾淨。你需要做的有且只有一件事——找到水，一滴就足夠了。」

[1] 原文為「It』s like looking for hay in a haystack.」 這句英文俚語常被翻譯為「大海撈針」。但有趣的是，在本文中，「針」反而是最容易被找出來的。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-cant-find-the-hay-in-a-haystack-20180917/

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue

https://en.wikipedia.org/wiki/Tropical_geometry

https://www.quantamagazine.org/tinkertoy-models-produce-new-geometric-insights-20180905/

文章頭圖及封面圖片來源：《芝麻街》

賽先生

啟蒙·探索·創造

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