數學家柯爾莫哥洛夫

轉自：數學中國

哲學園鳴謝

2003年1月16日至21日，一批世界著名數學家雲集莫斯科，參加一個名為"柯爾莫哥洛夫與當代數學（Kolmogorov and Contemporary Mathematics）"的學術會議。會議規格之高，與國際數學家大會類似：12位當今一流的數學家做1小時主題報告，其中包括菲爾茲獎獲得者斯梅爾（S. Smale，1930-）、諾維科夫（S. P. Novikov，1938-），沃爾夫獎獲得者阿諾爾德（V. I. Arnold，1937-）、希策布魯赫（F. E. P. Hirzebruch，1927-）、卡爾森（L. Carleson，1928-）和西奈依（Y. G. Sinai，1935-）。更多的人做了45分鐘報告與20分鐘報告。這些報告或多或少地觸及了柯爾莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）極廣的研究領域。4月29日，莫斯科大學又舉行紀念會，隆重紀念這位20世紀的偉大數學家、數學教育家百年誕辰。

早年的經歷

柯爾莫哥洛夫1903年4月25日出生於俄國坦波夫省，1987年10月20日在莫斯科逝世。他的祖父是牧師，父親卡塔耶夫（N. Kataev）是位農學家，曾遭到流放，十月革命後回來擔任農業部某部門的領導，1919年在戰鬥中犧牲。母親出生貴族，因難產而死。柯爾莫哥洛夫的童年是在外祖父家度過的，姨媽把他撫養成人。儘管出生後就失去了母愛，也從未得到父愛，但柯爾莫哥洛夫是在關愛中長大的。在很小的時候，姨媽就教育他熱愛學習知識，熱愛大自然。五六歲時，柯爾莫哥洛夫就獨自發現了奇數與平方數的關係：1=1^2,1 3=2^2,1 3 5=3^2,1 3 5 7=4^2,體會到了數學發現的樂趣。外祖父家辦了一份家庭雜誌《春燕》，年幼的柯爾莫哥洛夫竟然負責起其中的數學欄目來，他把自己的上述發現發表在雜誌上。

6歲時，他隨姨媽去了莫斯科，在一所被認為是當時最進步的預科學校讀書。求學期間，柯爾莫哥洛夫的興趣異常廣泛，他認真學習了生物學和物理學；14歲時，他從一部百科全書中學習了高等數學。他對象棋、社會問題和歷史也產生了興趣。

1920年中學畢業後，柯爾莫哥洛夫當了短時間的列車售票員；工作之餘，他寫了一本關於牛頓力學定律的小冊子。同年，柯爾莫哥洛夫洛夫進莫斯科大學學習。除了數學，他還學習了冶金和俄國史。他對歷史特別著迷，曾寫了一篇關於15-16世紀諾夫格勒地區地主財產的論文。關於這篇論文，他的老師、著名歷史學家巴赫羅欣（S. V. Bakhrushin）說：「你在論文中提供了一種證明，在你所研究的數學上這也許足夠了，但對歷史學家來說是不夠的，他至少需要五種證明。」

也許這位歷史教授的回答對柯爾莫哥洛夫產生了重要影響：他選擇了只需要一種證明的數學。

突入數學王國

在莫斯科大學，柯爾莫哥洛夫聽大數學家魯津（N. N. Luzin，1883-1950）的課，且與魯津的學生亞歷山德羅夫（P. S. Alexandrov，1896-1982）、烏里松（P. S. Urysohn，1898-1924）、蘇斯林（M. Y. Suslin）等有了學術上的頻繁接觸。在魯津的課上，這位一年級的大學生竟反駁了老師的一個假設，令人刮目相看。柯爾莫哥洛夫還參加斯捷班諾夫（V. Stepanov，1889-1950）的三角級數討論班，解決了魯津提出的一個問題。魯津知道後對他十分賞識，主動提出收他為弟子。

儘管柯爾莫哥洛夫還只是一名大學生，但他卻取得了舉世矚目的成就：1922年2月他發表了集合運算方面的論文，推廣了蘇斯林的結果；同年6月，發表了一個幾乎處處發散的傅里葉級數（到1926年，他進而構造出了處處發散的傅里葉級數）。據他自己說，這個級數是他當列車售票員時在火車上想出的。柯爾莫哥洛夫一時成為世界數學界一顆閃亮的新星。幾乎同時，他對分析中的其他許多領域，如微分和積分問題、測度論等也產生了興趣。

1925年，柯爾莫哥洛夫大學畢業，成了魯津的研究生。這一年柯爾莫哥洛夫發表了8篇讀大學時寫的論文！在每一篇論文里，他都引入了新概念、新思想、新方法。他的第一篇概率論方面的論文就是在這一年發表的，此文與辛欽（A. Y. Khinchin，1894-1959）合作，其中含有三角級數定理，以及關於獨立隨機變數部分和的不等式，後來成了鞅不等式以及隨機分析的基礎。他證明了希爾伯特變換的一個切比雪夫型不等式，後來成了調和分析的柱石。1928年，他得到了獨立隨機變數序列滿足大數定律的充要條件；翌年，又發現重對數律的廣泛條件。此外，他的工作還包括微分和積分運算的若干推廣以及直覺主義邏輯等。

1929年夏，柯爾莫哥洛夫與亞歷山德羅夫乘船從雅洛斯拉夫爾（Yaroslavl）出發，沿伏爾加河穿越高加索山脈，最後到達亞美尼亞的塞萬（Sevan）湖，在湖中的一個小半島上住下。在那裡，享受游泳和日光浴樂趣的同時，亞歷山德羅夫戴著墨鏡和巴拿馬草帽，在陽光下撰寫一部拓撲學著作。此書與霍普夫（H. Hopf，1894-1971）合作，一問世即成為經典。柯爾莫哥洛夫則在樹蔭下研究連續狀態和連續時間的馬爾可夫過程。柯爾莫哥洛夫完成的結果發表於1931年，是擴散理論之濫觴。兩人的終生友誼即始於這次長途旅行。亞歷山德羅夫後來回憶道：「1979年是我與柯爾莫哥洛夫友誼的五十周年，在整整半個世紀里，這種友誼不僅從未間斷過，而且從未有過任何爭吵。在任何問題上，我們之間從未有任何誤解，無論它們對於我們的生活和我們的哲學是如何重要；即便是在某個問題上有分歧，我們彼此對對方的觀點也抱有完全的理解和同情。」

而柯爾莫哥洛夫則把這一友誼看作是他一生幸福的原因！

1930年代是柯爾莫哥洛夫數學生涯中的第二個創造高峰期。這個時期，他在概率論、射影幾何、數理統計、實變函數論、拓撲學、逼近論、微分方程、數理邏輯、生物數學、哲學、數學史與數學方法論等方面發表論文80餘篇。1931年，柯爾莫哥洛夫被莫斯科大學聘為教授。1933年，他出版了《概率論的基本概念》，是概率論的經典之作。該書首次將概率論建立在嚴格的公理基礎上，解決了希爾伯特第6問題的概率部分，標誌著概率論發展新階段的開始，具有劃時代的意義。同年，柯爾莫哥洛夫發表了"概率論中的分析方法"這篇具有重要意義的論文，為馬爾可夫隨機過程理論奠定了基礎，從此，馬爾可夫過程理論成為一個強有力的科學工具。

在拓撲學上，柯爾莫哥洛夫是線性拓撲空間理論的創始人之一；他和美國著名數學家亞歷山大（J. W. Alexander，1888-1971）同時獨立引入了上同調群的概念。1934年柯爾莫哥洛夫研究了鏈、上鏈、同調和有限胞腔復形的上同調。在1936年發表的論文中，柯爾莫哥洛夫定義了任一局部緊緻拓撲空間的上同調群的概念。

1935年，在莫斯科國際拓撲學會議上，柯爾莫哥洛夫定義了上同調環。1935年，柯爾莫哥洛夫和亞歷山德羅夫在莫斯科郊外的一個名叫科馬洛夫卡（Komarovka）的小村莊里買了一座舊宅邸。他們的許多數學工作都是在這裡完成的。許多著名數學家都訪問過科馬洛夫卡，包括阿達瑪（J. Hadamard）、弗雷歇、巴拿赫（S. Banach）、霍普夫、庫拉托夫斯基（K. Kuratowski）等等。莫斯科大學的研究生們經常結伴"數學郊遊"，來到科馬洛夫卡拜訪兩位數學大師，在那裡，柯爾莫哥洛夫和亞歷山德羅夫招待學生們共進晚餐。到了晚上，學生們儘管有些疲勞，但總是帶著數學上的收穫快樂地回到莫斯科。後來成為蘇聯科學院院士的著名數學家馬爾采夫（A. I. Malcev）和蓋爾范德（I. M. Gelfand）就是其中的兩位研究生。柯爾莫哥洛夫的博士生、著名數學家格涅堅科（B. V. Gnedenko）回憶說：「對於柯爾莫哥洛夫的所有學生來說，師從柯爾莫哥洛夫做研究的歲月是終生難忘的：在科學與文化上的發奮努力、科學上的巨大進步、科學問題的全身心投入。難以忘懷的是周日那一次次的郊遊，柯爾莫哥洛夫邀請所有他自己的學生（研究生或本科生）以及別的導師的學生。在這些30～35公里遠直到波爾謝夫（Bolshevo）、克里亞竺馬（Klyazma）和別的地方附近的郊遊過程中，我們一直討論著當前的數學（及其應用）問題，還討論文化進步，特別是繪畫、建築和文學問題。」

1930年代末，柯爾莫哥洛夫發展了平穩隨機過程理論，美國數學家維納（N. Wiener，1894-1964）稍後獲得了同樣的結果。柯爾莫哥洛夫還把研究領域拓廣到行星運動和空氣的湍流理論。

柯爾莫哥洛夫做出重要貢獻的湍流

1940年代，柯爾莫哥洛夫的興趣轉嚮應用方面。1941年，他發表了湍流方面的兩篇具有重要意義的論文，成了湍流理論歷史上最重要的貢獻之一。柯爾莫哥洛夫所得到的一個著名結果是"三分之二律"：在湍流中，距離為r的兩點的速度差的平方平均與r2/3成正比。

這個時期，除了數學，柯爾莫哥洛夫在遺傳學、彈道學、氣象學、金屬結晶學等方面均有重要貢獻。在1940年發表的一篇論文里，柯爾莫哥洛夫證明了李森科（T. D. Lysenko，1898-1976）的追隨者們所收集的材料恰恰是支持孟德爾定律的。當時，孟德爾定律在蘇聯是受批判的，柯爾莫哥洛夫的論文反映了他追求真理的科學精神。

1950年代，是柯爾莫哥洛夫學術生涯的第三個創造高峰期。這個時期的研究領域包括經典力學、遍歷理論、函數論、資訊理論、演算法理論等。

1953和1954年，柯爾莫哥洛夫發表了兩篇動力系統及其在哈密頓動力學中的應用方面的論文，標誌著KAM（即Kolmogorov-Arnold-Moser）理論的肇始。1954年，柯爾莫哥洛夫應邀在阿姆斯特丹國際數學家大會上作了"動力系統的一般理論與經典力學"的重要報告。後來的研究證明了他深刻的洞察力。

這個時期，柯爾莫哥洛夫還開始了自動機理論和演算法理論的研究。他和學生烏斯賓斯基（V. A. Uspenskii）建立了今稱"柯爾莫哥洛夫-烏斯賓斯基機"的重要概念。他還力排反對意見，支持計算理論的研究。許多蘇聯的計算機科學家都是柯爾莫哥洛夫的學生或學生的學生。1950年代中後期，柯爾莫哥洛夫致力於資訊理論和動力系統遍歷論的研究。他在動力系統理論中引入了熵的重要概念，開闢了一個廣闊的新領域，後來還導致混沌理論的誕生。1958-1959年，柯爾莫哥洛夫將遍歷理論應用於一類湍流現象，對後來的工作產生了深遠影響。

1957年，柯爾莫哥洛夫和學生阿諾爾德完全解決了希爾伯特第13問題：存在連續的三元函數，不能表成二元連續函數的疊合。答案是否定的：任意多個變數的連續函數都可表成單變數連續函數的疊合。

1960年代以後，柯爾莫哥洛夫又開創了演算資訊理論（今稱"柯爾莫哥洛夫複雜性理論"）和演算概率論這兩個數學分支。柯爾莫哥洛夫的研究幾乎遍及數論之外的一切數學領域。1963年，在第比利斯召開的概率統計會議上，美國統計學家沃爾夫維茨（J. Wolfowitz，1910-1981）說：「我來蘇聯的一個特別的目的是確定柯爾莫哥洛夫到底是一個人呢，還是一個研究機構。」

獨特的教學研究方式

在半個多世紀的漫長學術生涯里，柯爾莫哥洛夫不斷提出新問題、構建新思想、創造新方法，在世界數學舞台上保持著歷久不衰的生命力，這部分得益於他健康的體魄。他酷愛體育鍛煉，被人稱作"戶外數學家"。他和亞歷山德羅夫每周有四天時間在科馬洛夫卡度過（另外三天則住在城裡的學校公寓里）。其中有一整天是體育鍛煉的時間：滑雪、划船、徒步行走（平均路程長達30公里）。在晴朗的三月天，他們常常穿著滑雪鞋和短褲，連續四小時在外鍛煉。平日里，早晨的鍛煉是不間斷的，冬天還要再跑10公里。當河冰融化的時候，他們還喜歡下水游泳。在柯爾莫哥洛夫70歲生日慶祝會期間，組織了一次滑雪旅行，柯爾莫哥洛夫穿著短褲，光著膀子，老當益壯，把別的參加者都甩在了後面！

他的許多奇妙而關鍵的思想往往是在林間漫步、湖中暢遊、山坡滑雪的時候誕生的。1962年訪問印度時，他甚至建議印度所有的大學和研究所都建在海岸線上，以便師生在開始嚴肅討論前可以先游泳。

柯爾莫哥洛夫也是一位著名的數學教育家，他對於為有數學天賦的學生提供特殊教育的計劃有特別的興趣。他認為，一些家長和教師企圖從10～12歲左右的學生中挖掘有數學才能的孩子，這樣做會害了孩子。但到了14～16歲，情況發生變化。這個年齡段的孩子對於數學有無興趣通常明顯地表現出來。其中約有一半的學生斷定數學物理對他們並無多大用處，這些學生應該學習特殊的簡化課程。另一半學生的數學教育就可以更有效地進行。而這些學生在選擇數學作為大學專業時，還應測驗一下自己對於數學的適應性--運算能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力。

柯爾莫哥洛夫創立了莫斯科大學數學寄宿學校。多年來，他花費大量時間於學校上，制訂教學大綱、編寫教材、授課（每周多達26個小時）、帶領學生徒步旅行、探險、教學生音樂、藝術、文學，尋求孩子個性的自然發展。他的學校里的學生常常在全蘇和國際數學奧林匹克競賽中名列前茅。但對於那些成不了數學家的學生，他並不感到擔憂，不論他們最終從事什麼職業，如果能保持開闊的視野、常新的好奇心，他都感到滿意。一個學生如能進入柯爾莫哥洛夫的大家庭，該是多麼的幸運！

作為20世紀世界最傑出的數學家之一，柯爾莫哥洛夫獲得了許許多多的榮譽：1941年榮獲首屆蘇聯國家獎；1949年榮獲蘇聯科學院切比雪夫獎；1963年獲國際巴爾贊獎；1965年獲列寧獎；1976年獲民主德國科學院亥姆霍茲獎章；1980年獲沃爾夫獎、1986年獲羅巴切夫斯基獎等。他還前後共七次獲得列寧勳章。

1939年，柯爾莫哥洛夫當選蘇聯科學院院士。他還是波蘭科學院（1956）、倫敦皇家統計學會（1956）、羅馬尼亞科學院（1957）、民主德國科學院（1959）、美國藝術與科學院（1959）、美國哲學學會（1961）、荷蘭皇家科學院（1963）、倫敦皇家學會（1964）、匈牙利科學院（1965）、美國國家科學院（1967）、法國科學院（1968）、芬蘭科學院（1983）等的外籍院士或榮譽會員。巴黎大學（1955）、斯德哥爾摩大學（1960）、印度統計研究所（1962）、華沙大學、布達佩斯大學等相繼授予他榮譽博士學位。

柯爾莫哥洛夫對於俄國古建築、俄國詩歌、世界雕塑、繪畫等都有淵博的知識。他將詩體學看作是自己科學研究的一個領域。他又酷愛音樂，莫扎特的G小調交響樂和巴赫的小提琴協奏曲常常伴隨他和亞歷山德羅夫（常常還有眾多朋友）度過科馬洛夫卡寧靜之夜。

他熱愛學生，對學生嚴格要求，指導有方，直接指導的學生有67人，他們大多數成為世界級的數學家，其中14人成為前蘇聯科學院院士。他1987年10月20日在莫斯科逝世，享年84歲。

柯爾莫哥洛夫安息之地

柯爾莫哥諾夫的學術成就

01

在隨機數學--概率論，隨機過程論和數理統計方面

1924年他念大學四年級時就和當時的蘇聯數學家辛欽一起建立了關於獨立隨機變數的三級數定理。1928年他得到了隨機變數序列服從大數定理的充要條件。1929年得到了獨立同分布隨機變數序列的重對數律。1930年得到了強大數定律的非常一般的充分條件。1931年發表了《概率論的解析方法》一文，奠定了馬爾可夫過程論的基礎，馬爾可夫過程對物理、化學、生物、工程技術和經濟管理等有十分廣泛應用，仍然是當今世界數學研究的熱點和重點之一。1932年得到了含二階矩的隨機變數具有無窮可分分布律的充要條件。1934年出版了《概率論基本概念》一書，在世界上首次以測度論和積分論為基礎建立了概率論公理結論，這是一部具有劃時代意義的巨著，在科學史上寫下原蘇聯數學最光輝的一頁。

1935年提出了可逆對稱馬爾可夫過程概念及其特徵所服從的充要條件，這種過程成為統計物理、排隊網路、模擬退火、人工神經網路、蛋白質結構的重要模型。1936-1937年給出了可數狀態馬爾可夫鏈狀態分布。1939年定義並得到了經驗分布與理論分布最大偏差的統計量及其分布函數。上世紀30～40年代他和辛欽一起發展了馬爾可夫過程和平穩隨機過程論，並應用於大炮自動控制和工農業生產中，在衛國戰爭中立了功。1941年他得到了平穩隨機過程的預測和內插公式。1955-1956年他和他的學生，蘇聯數學家Y．V．Prokhorov開創了取值於函數空間上概率測度的弱極限理論，這個理論和蘇聯數學家A．B．Skorohod引入的D空間理論是弱極限理論的劃時代成果。

02

在純粹數學和確定性現象的數學方面

1921年他念大學二年級時開始研究三角級數與集合上的運算元等許多複雜問題，名揚世界。1922年定義了集合論中的基本運算。1925年證明了排中律在超限歸納中成立，構造了直觀演算系統，還證明了希爾伯特變換中的一個車貝雪夫型不等式。1932年應用拓樸、群的觀點研究幾何學。1936年構造了上同調群及其運算。1935-1936年引入一種逼近度量，開創了逼近論的新方向。1937年給出了一個從一維緊集到二維緊集的開映射。1934～1938年定義了線性拓撲空間及其有界集和凸集等概念，推進了泛函分析的發展。上世紀50年代中期，他和他的大學三年級學生阿諾德(V．I．Arnord)、德國數學家J．K．Moser一起建立了KAM理論，解決了動力系統中的基本問題。他將資訊理論用來研究系統的遍歷性質，成為動力系統理論發展的新起點。1956～1957年，他提出基本解題思路，由他的學生阿諾德徹底解決了希爾伯特第13問題。

03

在應用數學方面

在生物學中，1937年他首次構造了非線性擴散行波型穩定解，1947年提出了分支過程及其滅絕概率，1939年驗證基因遺傳的孟德爾定律。在金屬學中，1937年研究了金屬隨機結晶過程中一個給定點屬於結晶團的概率及平均結晶的數目。1941年應用隨機過程的預測和內插公式於無線電工程、火炮等的自動控制、大氣海洋等自然現象。在流體力學中，上世紀40年代得出局部迷向湍流的近似公式。綜觀柯爾莫戈夫的一生，無論在純粹數學還是應用數學方面，在確定性現象的數學還是隨機數學方面，在數學研究還是數學教育方面，他都作出了傑出的貢獻。

他熱愛生活，興趣廣泛，喜歡旅行、滑雪、詩歌、美術和建築。他十分謙虛，從不誇耀自己的成就和榮譽。他淡泊名利，不看重金錢，他把獎金捐給學校圖書館，並且不去領取高達10萬美元的沃爾夫獎。他是一位具有高尚道德品質和崇高的無私奉獻精神的科學巨人。

∑編輯 | Gemini

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