弗賴登塔爾的數學教育思想
荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾是國際上知名的數學教育方面的權威學者。30年代就享有盛譽，從50年代起就逐漸轉向數學教育的研究，形成了他自己的獨特的觀點。
第一節 關於現代數學特性的論述
弗賴登塔爾認為現代數學的特性可以歸結為以下幾個方面。
1．數學表示的再創造與形式化活動。如果認真分析一下近幾十年來數學的變化，就會發現其變化主要是它的外表形式，而不是它的實質內容。這是一個自然演變的過程，在數學的各個領域內，逐漸滲透與發展了各種新知識與新辭彙，最終匯成一個新潮流——形式化，這是組織現代數學的重要方法之一，也是現代數學的標誌之一。
微積分的發展是一個例子，當牛頓、萊布尼茲開始引入微分、積分以及無窮小的時候，這都是一些具有某種直觀背景的模糊觀念。根據某些實際需要，對它們進行各種描述，以及各種運算，經過了一段很長的歷史，才逐漸形成了極限的概念，才有了 — 形式的定義，於是微積分才有嚴密、精確而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的邏輯演繹體系，這是對長期的非形式化運算過程進行形式化改造的結果。
形式化要求以語言為工具，按邏輯的規律，有意識地精確地表達嚴密的數學含義，不容許混淆，也不容許矛盾。換句話說，數學需要有自己特定的語言，嚴密、精確、完整而且相容。 隨著數學抽象程度的提高，語言表達的嚴密性日益增強，甚至像計算機語言似的向著符號邏輯的趨勢發展。但這種數學語言的發展顯然也不是絕對的，需要有個過程，這也就反映了數學有各種不同程度的形式化，在特定環境下，可以為特定的目的構造不同的形式化語言。
根據弗賴登塔爾的分析，我們認為現代社會的數學教育，當然不可能要求一下子飛躍到20世紀數學發展的最前沿，以形式化的現代數學內容，充塞於各種課程、教材之中。 因為教育必然有一定的滯後性，兒童、少年的生理、心理發展規律，也必須要求以直觀的具體內容作為抽象形式的背景與基礎，可是最終達到的目的也應該使學生理解現代數學這一以特定的數學語言表達的形式體系。當然這裡有各種不同的要求，因而也要掌握不同層次的形式化，並且運用著不同水平的數學語言。
2．數學概念的建設方法，從典型的通過外延描述的抽象化，進而轉向實現公理系統的抽象化，承認隱含形式的定義，從而在現代科學方法論的道路上，邁開決定性的一步。
若是把康脫(Cantor)的集合論作為現代數學的開端，你就會看到建設概念的典範是通過「外延」來描述一個概念，即描述具有概念所反映的特性的對象全體，由此來了解並掌握這個概念。
隨著現代數學的進展，人們感到通過「外延」的描述形成概念的方法，在不少情況下難以達到預定的目的。在更多的內容中，人們藉助於具有這些特性的所有對象，從各種特殊情況中，描述它們的共性，闡述它們所必須滿足的共有關係，解釋它們所受的相關的約束、限制條件等等，從而抽象出一個更廣泛、更一般的概念，這就是用公設或者是公理方法建立的概念。它的實質就是以隱含的方式描述了所要研究的對象，它並未明確指出概念的「外延」，但卻已經規定了它必須滿足的條件，這就是以隱含的形式作為定義，使現代數學跨上了更高水平的形式體系。
3．傳統的數學領域之間的界限日趨消失，一貫奉為嚴密性典範的幾何，表面上看來似乎已經喪失了昔日的地位，但實質上卻正是幾何直觀在各個數學領域之間起著聯絡的作用。正如康德(Kant)所說：沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的。
大多數現代數學的概念和問題，都有著一定的幾何背景，有關問題的解決，也常常依賴於頭腦中能否出現清晰的n維空間甚至無限維空間的直觀形象，或是找到適當的幾何解釋，幾何形象常常為問題解決提供途徑。
多少年來數學課程的設置常在「分久必合，合久必分」的一對「分」「合」矛盾之間徘徊，算術、代數、幾何、三角、微積分、…這一系列的學科，反映了數學發展史中各個不同階段、不同側面的情況，它們都有各自的特點與規律。結合學生的認知發展規律及教育教學規律來設計課程，不同時期側重不同方面是完全應該的。但總的目標，即使分也不能一分到底，完全分家，總還應該將數學視為一個整體；當學生運用數學這個工具解決問題時，必須善於綜合地應用代數、幾何、三角、…等各種方法，應該使之互相滲透，互相結合，從中找出最佳的組合，而不是互相割裂，生搬硬套。
4．相對於傳統數學中對演算法數學的強調，應該認為現代數學更重視概念數學，或者說是思辨數學。
現代數學中開始現代化進程的主要標誌——集合論、抽象代數和分析、拓撲等都是概念，思辨的噴發，它衝破了傳統數學的僵化外殼，但是每個概念的革新，都包含著自身的演算法萌芽，這是數學發展的道路。演算法數學與思辨數學之間是一個相對的辯證關係，這並不等同於新與舊、高與低；概念數學果然體現了機械操作運算的突破，提高了理論的深度；而演算法數學則意味著鞏固，因為它提供了技術方法，可以探索更進一步的概念深度。
一個典型的例子，相同數量的一杯白酒與一杯紅酒，取一匙白酒倒入紅酒內，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒內，試問，白酒杯中所含的紅酒多還是紅酒杯中所含的白酒多?
通常的解法是：假設兩酒杯容量均為a，一匙的容量為b,則第一次動作後，白酒杯中所含白酒量為a-b，第二次動作後，…，不少人會在計算過程中擱淺、碰壁。在解此題時，很少人會作這樣的推理：兩個杯子最終還是含有相同數量的酒，如果想像每個杯子中白酒和紅酒是分開的，那麼白酒杯中的紅酒就是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現在正好被白酒所填補，這樣就可以馬上得出結論：白酒杯中所含紅酒的量與紅酒杯中所含白酒的量應該是一樣多。這裡的前一種解法是演算法的，而後一種解法就是思辨的。
在數學發展的歷史上，演算法曾經發揮了極大的威力。韋達的代數，笛卡爾的解析幾何，萊布尼茲的微積分，都是這方面的出色成果，演算法數學確實有其迷人之處，通過演算法的操作往往可以增加人們的自信與能力。數學發展的歷史，當然也反映了沉迷於演算法之中，會使人們的思想受到束縛與桎梏，必須跳出這個圈子，才能在數學的視野範圍上有所拓廣和深入；墨守成規地機械操作，必須隨之以概念的革新，思維的組織，形成新的結構與新的體系。
如何根據演算法的數學與思辨的數學這一辯證關係，來組織我們的數學教育，也是人們經常感到困惑的問題之一。其實，這個問題反映的就是知識與技能的關係，是強調概念和理解，還是強調運算和操作?我們的數學教育，應該在演算法數學與思辨數學兩方面，都給學生以足夠的訓練與培養，更重要的還在於，要使學生能夠靈活地綜合地運用於實踐之中。
第三節 關於數學教學原則的設想
弗賴登塔爾認為，人類歷史必然是一個前進的歷史，只有突破了對傳統、對權威的迷信，才能充分發揮科學的創造性；科學是一種活動，科學不是教出來的，也不是學出來的，科學是靠研究鑽出來的。
因而學校的教學必須由被動地學轉為主動地獲得，學生應該成為教師的合作者，通過自身的實踐活動來主動獲取知識。這樣，教育的任務，首先就應當為青年創造機會，讓他們充滿信心，在自身活動的過程中，繼承傳統，學習科學，獲得知識；另一方面，由於社會在不斷前進，人們就必須不斷學習。因此，教育中更重要的一個問題，並不是教的內容；而是如何掌握與操縱這些內容，換句話說，要讓學生學會掌握方法，那是更根本的東西。
根據這些考慮，弗氏提出了下列幾個數學教學的原則：
1．「數學現實」原則
數學來源於現實，也必須紮根於現實，並且應用於現實。這是弗賴登塔爾的基本出發點，也是我們歷來提倡的基本思想。
確實，數學不是符號的遊戲，而是現實世界中人類經驗的總結。無論是數學的概念，還是數學的運算與規則，都是由於現實世界的實際需要而形成的。數學教育如果脫離了那些豐富多采而又錯綜複雜的背景材料，就將成為「無源之水，無本之木」。
另一方面，弗氏也認為數學是充滿了各種關係的科學，通過與不同領域的多種形式的外部聯繫，不斷地充實和豐富著數學的內容；與此同時，由於數學內在的聯繫，形成了自身獨特的規律，進而發展成為嚴謹的形式邏輯演繹體系。因此，數學教育又應該給予學生數學的整個體系——充滿著各種各樣內在聯繫與外部關係的整體結構。
弗氏的另一個基本主張是：數學應該是屬於所有人的，我們必須將數學教給所有人。實際上，對於少數數學家來說，抽象的形式體系，嚴密的邏輯結構，以及涉及內在聯繫的規律，也許是最為本質、最為完美也是最感興趣的東西。可是對於大多數人而言，掌握數學與外部世界的密切關係，從而獲得適應於當前社會的生存與生活，並進而能夠改革社會促使其進一步發展，將是更為重要的。
為此，弗賴登塔爾堅持主張，數學教育體系的內容應該是與現實密切聯繫的數學，能夠在實際中得到應用的數學，即「現實的數學」。如果過於強調數學的抽象形式，忽視了生動的具體模型，過於集中於內在的邏輯聯繫，割斷與外部現實的密切關係，那必然會給數學教育帶來極大的損害。
數學教育應該為所有的人服務，應該滿足全社會各種領域的人對數學的不同水平的需要。數學教育應為不同的人提供不同的數學修養，從而使每個人能夠擁有適合於他們所從事的不同專業所必需的數學知識，使其能順利地處理有關的各種數學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、運算方法、運算規律和有關的數學知識結構。這就是說，每個人都有自己的一套「數學現實」。
數學教育的任務就在於，隨著學生所接觸到的客觀世界的廣泛程度，應該確定各類學生在不同階段必須達到的「數學現實」，並且根據學生所實際擁有的「數學現實」，採取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生逐步提高所具有的「數學現實」的程度並擴充其範圍。通過這樣的過程，數學教育將隨著不斷地擴展的現實發展，同時數學教育本身又促使了現實的擴展，正象數學與現實世界的辯證關係一樣，數學教育也應該符合這樣的規律。
2．「數學化」原則
弗賴登塔爾的名言：與其說是學習數學，還不如說是學習「數學化」；與其說是學習公理系統，還不如說是學習「公理化」；與其說是學習形式體系，還不如說是學習「形式化」。
他認為：人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，並加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。
數學的產生與發展本身就是一個數學化的過程，人們從手指或石塊的集合形成數的概念，從測量、繪畫形成圖形的概念，這是數學化。數學家從具體的置換群與幾何變換群抽象出群的一般概念，這也是數學化。
數學教育應該尊重數學的傳統，要按照歷史的本來面目，根據數學的發展規律來進行。當兒童通過模仿學會計數時，當他們把兩組具體對象的集合放在一起而引出加法規律時，這實質上是歷史上現實世界數學化過程的再現，我們當然沒有必要也沒有可能將數學教育變成歷史發展過程的機械重複，但確實必須也可以從中獲得很好的借鑒。
事實證明，只有將數學與它有關的現實世界背景密切聯繫在一起，也就是說只有通過「數學化」的途徑來進行數學教育，才能使學生真正獲得充滿著關係的、富有生命力的數學知識，使他們不僅理解這些知識，而且能夠應用。
前已指出：每個人都有不同的數學現實世界，因此數學化有不同的層次。
首先，現實世界自始至終貫串在數學化之中，我們常把由現實世界直接形成數學概念的過程稱為「概念性的數學化」。它往往隨著不同的認知水平而逐漸得到提高；與此同時，對這個概念的形成過程進行反思，作更為抽象與形式的加工，再將它用來解決現實世界的問題；通過現實世界的調節作用，而使數學化得到進一步的發展與演化，而由此形成的新的方法手段又能再用於組織更高一層的現實世界，併產生新的數學概念。
其次，反思是數學化過程中的一種重要活動，它是數學活動的核心和動力。數學的不少發現來自於直覺，而分析直覺並將其數學化必須讓學生學會反思，對自己的判斷與活動甚至語言表達進行思考並加以證實，以便有意識地了解自身行為後面潛藏的實質，只有這樣的數學教育——以反思為核心——才能使學生真正深入到數學化過程之中，也才能真正抓住數學思維的內在實質。
現代化數學往往藉助數學方法來為各種錯綜複雜的現象構造相應的數學模型，這當然是一種數學化，作為數學教師誰都不會滿足於將各種現成的數學模型，硬灌給學生，去塞滿學生的腦袋；人們希望的是學生自己會運用數學知識來為具體問題建造新的數學模型，應該說，數學教育的目標就在於使學生學會「數學化」。
以下我們來具體地論述兩種常見的「數學化」過程：公理化和形式化。
人們在長期的實踐中，將直觀樸素的各種幾何命題加以組織、整理、加工，形成歐幾里德公理體系，這一通常稱為公理化的過程，也是一種數學化。近年來數學發展的重要特徵之一，就是公理化思想廣泛地滲入各個數學領域。我們的數學教育自然不能停留在讓學生的頭腦成為形形色色公理系的倉庫，更重要的任務是必須教會學生能運用自己的數學思維，對一個數學領域進行加工、整理，從而獨立地建立起一個公理體系來。也就是說，必須讓學生學會公理化。
如果說公理系統是通過公理化的方法重新組織數學內容的結果，那麼作為數學抽象性的特點之一的形式體系就是通過形式化的方法重新組織數學語言的表達，從而建立起來的結構。這種形式體系化，或簡稱形式化，又是另一種數學化。數學內容的特殊本質決定了對數學語言的特殊要求，從日常語言中逐漸獨立出來，引進特定的數學術語來表達數學的活動與思想。所有這些都是數學的形式化過程的逐步提高與發展，在此過程中數學科學也進到了一個更高的階段。在數學教育中，並不是要學生背誦那些形式體系，而應使學生學會形式化，學會用正確的數學語言來組織並表達數學的現實內容及內在聯繫。
近年來，關於數學化的思想正在不斷地進行深入的研究，根據Treffers和Goffree的提法，數學化還可以分解為水平的和垂直的兩種成分。
如果是從具體的客觀現象中找出數學的特性，或者通過不同的方式將同一個問題形式化或直觀化，或是在不同的問題中識別其同構的本質，以及將一個現實問題轉化為數學問題或已知的數學模型等，這些方面都可以理解為同一問題在水平方向的擴展，因而是屬於數學化的水平成分。
而如果是將某個關係形成為一個公式，或是證明一個定律，或是對同一問題採用不同的模型或對模型進行加強、調整與完善，以至形成一個新的數學概念，或是由特殊情況經過推廣從而建立起一般化的理論等，這些方面就應該看作是某一問題在垂直方向的深入，因而不妨歸諸於數學化的垂直成分。
回顧歷史上最早的傳統數學教育，其做法就是機械的途徑，教師將各種結論灌輸下去，學生被動地接受這些結果，死記硬背，機械模仿，不知道它的來龍去脈，所獲得的只是知識的形式堆砌，既不考慮它有什麼用處，也不問它互相之間是否有內在聯繫，可以說很少包含數學化的成分。以後逐漸有所進步，比較多地考慮到實際的經驗，也建立了不少現實的模型，從而進入了經驗的途徑，即較多地顧及水平的數學化，使所獲得的數學知識具有一定的實用價值，可以解決一些客觀現實中的問題。從歷史的經驗教訓，我們應該得出這樣的結論，那就是：數學教育的正確途徑應該是現實的數學化途徑，我們所需要的課程體系應該全面而完善地體現數學化的正確發展，既要強調現實基礎，又要重視邏輯思維，既要密切注意數學的外部關係，也要充分體現數學的內在聯繫，要能將這兩者有機地結合在一起，那才是數學教育所必須遵循的正確路線。
用上述觀點分析我國的數學教育現狀，實質上走的是「形式化」、「嚴謹化」的路子，忽視「現實應用」，否認「數學化」過程，以邏輯演繹和形式計算為最終目標，這種數學教育思想當然是不足取的，弗賴登塔爾的「數學化」原則應該為我們所借鑒。
首先，弗氏所說的「數學化」，是數學抽象發展與現實世界的緊密結合。它可以描述來自具體問題的數學模型建立過程，也可以反映一組數學概念的進一步抽象化過程；按照這樣的原則進行數學教學，使學生在直觀與抽象的結合過程中，提高數學知識水平，掌握數學技能與方法，這種知識、技能的獲得，是在學生自己不斷的觀察、比較、歸納的實踐經歷過程中形成的。
其次，「數學化」有著各種不同的水平，這實質上是從更科學的角度，在對學生的數學知識、技能作了分析以後所得出的結論，這就要求我們在數學教學過程中，不是籠統地提「學生實際」，而要能確切地針對學生所處的不同「數學化」水平，在此基礎上作進一步的提高，這樣的教學必然是對症下藥，也能找出更合適的共同語言，而不至於「無的放矢」。
3．「再創造」原則
弗氏認為：數學實質上是人們常識的系統化，每個學生都可能在一定的指導下，通過自己的實踐來獲得這些知識。所以我們應遵循這樣的原則，那就是數學教育必須以「再創造」的方式來進行。事實證明，只有通過這樣的方式才能獲得最好的效果。
數學與其他科學有著不同的特點，它是最容易創造的一種科學，3十2＝5，矩形的面積等於長乘寬，類似這些簡單而又直觀的數學事實，都可以讓學生通過自己的學習過程來得到。也就是說，教師不必將各種規則、定律灌輸給學生，而是應該創造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學生在實踐的過程中，自己「再創造」出各種運演算法則，或是發現有關的各種定律。
每個人都應該在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識。當然這並非要我們再去機械地重夏歷史，但是新的一代也不可能恰好從前人所終止的那一點上繼續下去，也就是說，從某種意義上我們還是應當重複數學創造的歷史，假定我們的祖先在掌握了現有的知識後會怎麼做——可能發生的歷史。
數學家從不按照他們發現、創造的真實過程來介紹他們的工作，實際上經過艱苦曲折的思維推理獲得的結論，常以「顯然」二字一筆帶過。教科書更是常將通過分析法所得的結論採取綜合法的形式來敘述，也就是說文字表達思維過程與實際獲得的發現過程完全相反，因而嚴重阻塞了「再創造」的通道。
數學確實是一門演繹科學，它的一個特徵是嚴謹的邏輯推理和高度的抽象化。數學教育的目標之一也應該讓學生掌握一個不同水平的形式體系，問題是通過怎樣的方式才能達到這一目標?傳統的方法就是將數學當作是一個已經完成的現成的形式理論，教師從定義出發，介紹它的符號、表達方式，再討論一系列性質，從而得出各種規則、演算法。教師的任務是舉例、講解，學生的任務則是模仿，唯一留給學生活動的機會就是解題——所謂「應用」。實際上、真正的數學家從來也不是以這樣的方式來學習數學的，他們常常憑藉數學的直覺思維，做出各種猜想，然後再加以證實(直到今天，還有許多猜想等待人們去檢驗或推翻)。那些符號、定義都是思維活動的結果，為了知識系統化或是交流的需要而引進。如果給學生提供同樣的條件，不僅是性質、規則，甚至定義也都可以包括在學生能夠重新創造的範圍以內。
日常生活中，象「狗」、「椅子」等概念，都不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際接觸，自然地形成了概念。數學中的一些東西，同樣來自現實，也可以通過學生的實際感受而形成概念。以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平行四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是「平行四邊形」，讓學生自己進行比較、分析、研究，在經過反覆的觀察與思考後，他們就會發現「平行四邊形」的許多共同性質，接著就會進而發現這些性質之間的聯繫，在教師的引導與學生間相互討論的基礎上，學生就不僅掌握了平行四邊形的概念，同時也理解了形式定義的含義以及各種相關性與等價定義的概念，也就是說，學生通過自己的實踐活動學會了怎樣定義一個數學的概念，對於定義的必要性與作用都會有更深的體會，通過這樣的「再創造」方式進行的概念教學，顯然比將一個現成的定義強加給學生要有效得多。
當然，每個人有不同的「數學現實」，每個人也可能處於不同的思維水平，因而不同的人可以追求並達到不同的水平。一般說來，對於學生的各種獨特的解法，甚至不著邊際的想法都不應該加以阻撓，要讓他們充分發展，充分享有「再創造」的自由，甚至可以自己編造問題，自己尋找解法，一句話，應該讓學生走自己的道路。教師的作用，應該在適當的時機引導學生加強反思，鞏固已經獲得的知識，以提高學生的思維水平，尤其必須有意識地啟發，使學生的「創造」活動逐步由不自覺或無目的狀態，發展為有意識有目的的創造活動，以便促使每個人都能達到不同的發展。
誇美紐斯有一句名言：「教一個活動的最好方法是演示。」他主張要打開學生的各種感覺器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。弗賴登塔爾將這一思想發展為「學一個活動的最好方法是實踐」，這樣提法的目的是將強調的重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，並且從感覺的效應轉為運動的效應。就象游泳本身也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示範動作，但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸地上是永遠也學不會游泳的。
我們主張「再創造」應該是數學教育的一個教學原則，它應該貫串於數學教育整個體系之中。實現這個方式的前提，就是要把數學教育作為一個活動過程來加以分析，在這整個活動過程中，學生應該始終處於一種積極、創造的狀態，要參與這個活動，感覺到創造的需要，於是才有可能進行「再創造」。教師的任務就是為學生提供自由廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發展，決不可對內容作任何限制，更不應對其發現作任何預置的「圈套」。
4．「嚴謹性」原則
弗賴登塔爾指出，數學與其他的思維訓練相比而言，有個最大的優點，就是「確定性」，對每個命題你可以判斷它的對或錯，其他科學就不是如此，常常依賴於有關的現實情況，涉及到所適用的範圍，所選定的標準，只有數學可以強加上一個有力的演繹結構，由此可以確定結果是否正確，或是結果能否找到，這就是所謂數學的嚴謹性，是數學的度量標準，也是數學教學必須遵循的原則。
弗賴登塔爾提出嚴謹性是相對的，對於嚴謹性的評價，必須根據具體的時代、具體的問題來做出判斷。譬如說微積分，人們開始直觀地用無窮小概念運算，工作很出色，以後人們相信，必須用 — 才能保證其嚴密性，可是現在 — 又失去了地盤，因為又有了現代化的微分演算法；再如，半個世紀以前，人們認為自然數、整數、有理數和實數，就構成了嚴密的數論基礎，可是今天，卻必須從公理化的定義出發，認為除了公理化體系以外，就沒有嚴密的數學。
嚴謹性有不同的級別，每個題材有適合於它的嚴謹性級別，數學家應該根據不同的嚴謹性級別進行操作，而學生也應通過這些不同級別的學習，來理解並獲得自己的嚴謹性，在學生尚未理解之時，是無法將所謂嚴密的數學理論強加給學生的，學生只有通過再創造來學習數學的嚴謹性。就象6歲的兒童用手指計算8+5，在這個年齡，這也許就是一個嚴密的證明；當人長大時，按嚴謹性要求，將8+5分解為8+2+3，因為這時的加法表只用於a+b=c（其中1≤a<10，1≤b<10,2≤c≤10）,再遲一點，也許就不必再分解，直接得到8+5=13也就是嚴密的，因為加法表已經可以用於a+b=c（其中1≤a≤10，1≤b<10,2≤c≤20）。
對於「嚴謹性」原則的貫徹，需要特別注意，應該根據不同的階段，不同的教學目的，提出不同的「嚴謹性」要求，不存在絕對的「嚴謹性」，只有在某個具體階段，結合具體數學題材，根據學生實際水平，規定具體的「嚴謹性」。
「嚴謹性」要求的規定，應該根據學生的特定的「數學現實」，又應該在「再創造」的過程中，來理解並獲得這種「嚴謹性」，這樣才能保證我們的數學教育過程會在「數學化」的正確軌道上前進。總之，數學教學原則並非孤立、分散，各自為政，它們之間有著密切聯繫，在具體的執行過程中，也應該從整體的、聯繫的觀點著眼，才能使之發揮更大的作用，取得數學教學的成功。
