論維特根斯坦對哥德爾定理的評析

論維特根斯坦對哥德爾定理的評析

樊 岳 紅

山西大學 哲學社會學學院

摘 要 ：數學哲學的基礎問題一直是維特根斯坦所關注的核心領域之 一。2O世紀 30年代哥德爾提出的第一不完備性定理徹底地動搖了數學的邏輯主義、直覺 主義和形式主義的基礎 。在這種背景下，中後期 的維特根 斯坦對哥德爾第一不完備定理進行了評論 ，但他的評論卻 受到了人們廣泛的質疑和批評。很大一部分的原因是 由於人們誤解或誤讀了維特根斯坦的觀點。基於此 ，在維特根斯坦數學哲學的語境下來分析和理解他的這些評論 ，並最終闡 明其理論特色。

關鍵詞 ：維特根斯坦 ；GIT；數學命 題；不可判定 ；有限論

原發期刊：洛陽師範學院學報2017年 1O月第 36卷 第 10期

數學哲學的基礎問題一直是維特根斯坦(以下簡稱維氏)所關注的核心領域之一，無論是在其早期的《戰時筆記》及《邏輯哲學論》、中期的《哲學評論》及《哲學語法》，還是後期的《數學基礎研究》和《哲學研究》中，他都嘗試著探討了許多重要的數學基礎問題，並提出了一系列重要的見解。在其著作中，維氏密切關注數學哲學的各種論題，其原因就在於他想要了解必然性問題，如數學命題在什麼意義上必然為真。在早期的《邏輯哲學論》中，他曾認為必然性或者確定性在自身中顯示為重言式，所以對他來說，所有必然性都是邏輯必然性。中期和後期的維氏對哥德爾第一不完備定理(Gdel』sFirstIncompletenessTheorem，以下簡稱GIT)的評論表明他有了不同的想法:(1)不可能有「是真的但卻無法證實的」數學命題;(2)哥德爾式命題p的意義非常值得懷疑;(3)即使能對GIT進行標準的解釋，但哥德爾並沒有證明這一系統自洽的問題。因為在算術系統中，「無法證實的命題」既是可證的，也是不可證的。

一、維特根斯坦對GIT的評論

從20世紀30年代開始，維氏密切關注數學哲學的各種論題。在《邏輯哲學論》中，他曾認為必然性(或者「確定性」)是自身顯示為重言式。所以對他來說，所有必然性都是邏輯必然性。從1929年到1933年期間，維氏持強有限論觀點:沒有可以無限擴展的事物集，也沒有無限的數學領域;因為量化一個無限的數學表達式是沒有意義的，如量化哥德巴赫猜想(Goldbach』sConjecture，以下簡稱GC)、費馬大定理(Fermat』sLastTheorem，以下簡稱FLT)等都是沒有意義的。因此，維氏在《哲學評論》中寫道:「現在看來，對數的一般性表述似乎是無意義的……如果一個命題不通過任何有限的結果而成為真的，這就等於說它不通過任何結果便成為了真的，因而它不是一個邏輯計算的結果……」［1］§126維氏認為，一個有意義的數學命題，當且僅當我們可以知道其有一種適當的、有效的判定過程，因為:「這裡的數學命題只有一種解決方法，命題必然通過其意義表明，我們應該如何證明這個命題是真的還是假的?」［1］§148隻有包含可判定的算術謂詞時，命題才是有意義的，如果數學命題在演算法上不可判定，那麼它們也不是真正有限邏輯的總數或結果，因而也不是有意義的數學命題。如「(?n)4 n=7」就不是一個有限的邏輯結果，因為表達式「(?x)=|x」不能被預設為全部數字。類似的，在量化全稱域時也不能說n|n，因為所有自然數並不是一個有限的集合。因此，維氏認為，我們可以在「所有」和「有」之間形成一種形式良好的原則或規則，這是錯誤的想法，因為公理與命題的唯一相關方式是有適當的判定過程。［2］37「你馬上會看到，追問數的對象是沒有意義的。尤其是不可能存在無限多的對象。『存在無限多的沙發』=『在空間里可能存在無限多的沙發』。」［3］13

因此，維氏認為，對所有數的描述不是通過命題來表徵的，而是由歸納來表徵的。如關於費馬大定理的陳述並不是關於命題或演算法的陳述，而是對應于歸納的證明:「除了對費馬規則不起作用的數字以外，以一種規則來說，p是窮盡了全體數的序列。……已經有一個規則在那裡，但是這與數沒有直接關係。數就像是規則的一個不規則的副產品。」［1］§189

如果對無限數學領域進行量化，這隻能代表證明的歸納基礎和歸納步驟，但由於未經證實的歸納步驟在演算法上不可判定，因此在被證明之前它們不是有意義的命題;命題在被證明的同時，也即發明了一種新的演算。如證明在π的擴展式中連續出現4個7，但這種實數運算是不可證明的，所以無論是出現還是不出現4個7，命題都必須遵循排中律，這意味著無論是出現還是不出現4個7，這都是不可判定的，因而是無意義的偽命題。

「當有人提出排中律時，彷彿給我們提出了兩種可供選擇的圖像，並且說其中一種必然符合事實。但假如這些圖像在這裡是否適用成為問題時，那又該怎麼辦?……一般認為，在排中律的命題中已經有某種堅實的東西，有某種無論如何也不會引起懷疑的東西。然而實際上，這種同義語的反覆同樣具有不穩定的意義，與這個問題一樣，p還是～p成立。」［4］§11－12因此，中期維氏在評論GIT時寫道，這有兩種理由來拒絕GIT:

首先，作為數論表達式，如果要量化無限域，那麼p在演算法上是不可判定的。因此，它不是一個有意義的數學命題。如王浩就認為，「人們可能會說，維氏數學的不足之處是阻礙了他所發展的思想，對於基礎數學則更甚，尤為有名的是他關於哥德爾證明的討論」［5］。然而王浩也說道:「在任何固定的有限範圍內或者在一些無限範圍內，並沒有隱含哥德爾式的建構，這種可能性是不可能實現的。」［6］63

「正如布勞威爾所言，(x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情況，這意味著(x)……是外延性的，我們可以說在所有x中恰巧有某種屬性。但事實上，討論這種情況是不可能的，即在所有的演算法中，(x)不可能是外延性的。」［7］§173維氏認為，命題的不可判定性預設了等號兩邊存在一個隱式的連接，但這種隱式的連接不能用符號來表徵，符號之間已經存在的連接也不能進行轉換，因為符號是一種思維的產物，其本身不能被思維。如果真有這種隱式的連接的話，那麼這種連接必須能夠看出來。維氏強調，演算法的可判定性在於，我們可以主張任何事物都能夠在實踐中得到檢驗，這是一個檢驗的可能性問題。

中期維氏拒絕GIT的第二個理由是哥德爾所謂的不可判定性命題明顯是矛盾的，如p是可證明的，那麼「～p」也是可證明的，反之亦然，其結果是導致邏輯命題失去了其有效性。如果一個表達式是不可判定的話，那麼它既不是真的也不是假的。在一些實際的演算中，如果一種表達式是不可判定的，那麼它就不是一個有意義的數學命題，因為「每種數學命題必須屬於一個數學演算式」［8］§376。如果我們假定有另外的一些系統可以對是真的但不可證明的命題p進行自然語言的解釋，那麼p在羅素系統中則不是可證明的。因此，這導致了維氏在許多場合都認為我們應該「放棄」哥德爾的這種矛盾解釋。

在《數學基礎研究》(以下簡稱ＲFM)及《維特根斯坦1939年在劍橋關於數學基礎的講座》(以下簡稱LFM)中，維氏更加重視他中期的主張，他認為我們是在製造或發明數學———「一個人不能發現數學或邏輯部分之間的任何連接，如果這種連接已經存在但卻沒有人知道的話」「數學家是一個發明家，而不是一個發現者」［4］§168。後期維氏認為，每種新的數學證明都進一步擴展了數學，我們不是在發現數學真理或數學對象，而是在一點一點地發明數學。

正如維氏在ＲFM中所說:「對計算結果的差異取得一致意見，這是什麼意思呢?它一定意味著達到了一種沒有差異的計算。如果人們沒有取得一致意見，那麼其中一個人就不能說另一個人只是在得出另一種計算結果。」［4］§9在早期的《邏輯哲學論》中，維氏認為，唯一真正的命題是一個偶然的命題，我們使用慣例來斷言事實的狀態。因為只有為真或為假的偶然命題才對應於事實。「如果一種基本命題是真的，那麼事物的狀態是存在的;如果一種基本命題是假的，那麼事物的狀態就不存在。」［9］§4．25這意味著只有真實的、真正的命題才是符合真理的。所有其他公認的命題都是偽命題，包括重言式、矛盾式，以及數學方程等。

在中期，維氏認為數學命題並不符合真理，它們只是在形式上或句法意義上為真或為假。維氏把這種數學命題看成發明的真理。只有在一個給定的演算式中，一個表達式才是有意義的命題，一個有意義的表達式當且僅當我們可以有一個適用的、有效的判定過程，即演算法是可判定的。

在後期，維氏進一步強化了這一觀點。儘管維氏仍然認為可判定性適用於所有有意義的數學命題，但這並不意味著每一個這樣的命題都是為真或為假的，而是說通過正確運用相關的判定過程，我們可以讓命題為真或為假。維氏強調，證明是在做出新的聯結，即使它們不存在這樣的聯結，我們也可以製造它們。因此，維氏的「真」相當於「被證明」，而「假」相當於「被反駁」。我們可以在數學語境中用如「紅」和「綠」取代「真」和「假」，或用「 」和「－」來替代「真」和「假」，而沒有任何損失。中期及後期維氏都認為「真」相當於「可證明性」，而「假」相當於「可反駁性」。［10］

二、維氏對哥德爾「命題p」的質疑

如前所述，中期的維氏拒斥可以量化一種無限的數學表達式，包括量化費馬大定理這樣的表達式。維氏認為，像FLT也不是有意義的算術命題，因為它涉及無限的數學領域。「因為它們不能被假定為全部數字，正如量化普遍命題不能是無限的邏輯產物，所有自然數並不是一個有界的概念。」［7］§126雖然後期維氏沒有提出關於量化的明確主張，但毫無疑問的是，他仍然是一個有限論者。維氏在ＲFM中主張，無限序列或無限集只是一種生成的有限擴展的遞歸規則，無限序列或無限集本身不是無限擴展的。那麼無限小數概念是數學命題嗎?維氏認為，「無限小數不是系列的概念，但擁有無限擴張的技術。說技術是無限的，並不意味著它不會停止，它只是可以擴展到無法測量;但它缺乏制度性的結束，這並不是結束」［11］II§45。我們說存在有理數的無限集，因為它們是可數的;但不存在無理數的無限集，即使所謂的遞歸無理數也不是遞歸可數的。維氏認為，像命題中出現4個7的表達式，當把它們限制在有限系列時，它們是有意義的，這正是維氏中期的立場。當問:「如數字0、1、2……9會出現在其中嗎?」［2］81－82維氏認為不可能會有這樣的問題。我們只能問，它們是否會出現在一個特定的地方，或者它們是否會出現在10000之內的數字中。在量化無限的數學表達式時，後期維氏的立場與中期的立場似乎沒有太大的變化:「現在是不是說一個人若不懂費馬大定理的意義就是荒謬的?好吧，人們可能的回答是，當數學家面對這個命題時，他們並不完全是不知所措的。畢竟，他們會嘗試用某些方法來證明它;只要他們去嘗試各種方法，他們就能理解命題。但這是正確的理解嗎?難道他們不能充分理解這一命題就像人們不能充分理解這一命題一樣嗎?」［11］VI§13維氏對此的回答是，如果我們知道像FLT的命題說的是什麼，那麼我們就必須知道命題為真的標準是什麼。如果我們知道如何確定FLT，那麼我們就會知道它的真理性標準;如果我們知道一個適當的判定過程的話，那麼我們就會知道FLT是為真還是為假;如果判定過程給出了結論，那麼結論之外的其他方面就是假的。［12］

維氏對GIT的評論，尤其是在評論量化無限領域時，他並沒有明確解決數學表達式的意義問題。哥德爾定理表明，我們有一個命題p可能屬於或不屬於羅素系統———或者更準確地說，在某些情況下，如果我們可以證明這個命題本身的話，那麼我們也可以證明該命題的否定句法。在ＲFM中，維氏只是隱含地質疑了這樣表達式的意義，但這一觀點卻經常被人們誤解。

「數理邏輯入侵數學詛咒通常指的是，現在任何命題都可以用數學符號來表徵，這讓我們覺得有必要理解它。當然，這種寫作方法只不過是對普通文本的模糊翻譯。」［11］VI§46在這著名的段落中，維氏討論了「建構性存在」對比「非建構存在」。「因此，這個問題是說，是否存在一種不是建構的證明，而且是一種真正的證明。也就是說，所產生的問題是:我理解了這一命題『這是……』卻不知道在哪裡可以找到它?並且這裡有兩種觀點:作為一個中文句子，如果我理解了它，到目前為止，也就是說我可以解釋它。但我能做些什麼呢?我能做的不是去建構一種證據，而是去理解它的標準。因此，到目前為止尚不清楚是否以及在多大程度上我可以理解它。」［11］VI§46

儘管這時的主張明顯比中期的觀點更加柔和，但介入的方式似乎沒有什麼區別。「數學邏輯入侵數學是災難」，因為我們現在沒有任何已知的方法來決定如何準確地使用量詞。維氏認為，這種寫作方法只不過是普通文本的模糊翻譯，即使「存在一個這樣的數」和在「所有自然數」之間我們有量詞，還是存在含糊不清的問題。從維氏的觀點來看，我們並不傾向於使用多個嵌套量詞、邏輯運算和算術符號來建構有意義的數學命題。我們相信自己可以建構各種各樣有意義的算術命題，這些算術命題量化了無限的自然數，然後與所建構的算術命題一起，從中可以發現哥德爾證明的矛盾。「需要記住的是，這裡的命題邏輯是如此建構的，就如在實踐中信息沒有應用一般。它很可能是說它們完全不是命題，並且人們寫下命題是需要理由的。現在如果我們把這些命題添加到另一句子結構中，那麼在符號組合中應該如何應用，我們都處於茫然之中，因為單單是句子則不足以給出任何有意義的符號聯結。」［11］I§20

正如維氏在《邏輯哲學論》中所論述的重言式和矛盾式的邏輯命題，它們沒有豐富的內涵，這意味著關於世界它們什麼也沒說。即使如「pvq」的簡單真值函數，也只不過是一個命題框架，這樣的真值函數的變數不是我們可以直接用來斷言某些事物的命題，要使它成為一個命題，我們必須用偶然命題來替換p和q。

但更為嚴重的問題是，在「(?x)(Px＆Ex)」的邏輯命題中，我們必須附加另一種像算術句子的結構，那麼得到了如(?x)(x是一個完美的數量，並且x大於9000000000)。在這種情況下，我們「只有一個句子來回應，但這並不能夠給這些符合的聯結以任何意義。即使我們提出初等數論的公式，也並不一定意味著我們已經構建了一個有意義的算術命題或數學命題。正如維氏所言:「符號『(x)』及符號『(?x)』在數學中肯定是有用的，只要我們熟悉相關的證明技巧。這裡所引用的是羅素符號，如果這些符號是開放式的，那麼這些舊邏輯概念則是非常具有誤導性的。」［11］V§13

此外，維氏還質疑了哥德爾證明的前提。如果命題p是真的但無法證實，那麼它必須在兩種意義上為真:(1)p是真的，因為在現有的自然數無限集中不存在一個自然數滿足正在討論的關係問題;或(2)p是真的，因為任何的必要系統不可能構造一個自然數來滿足正在討論的關係問題。從某種意義上說，對於任何(1)這樣的系統，都存在無窮多個是真的，但卻是無法證實的命題。因而維氏堅決反對數學柏拉圖主義和數學表達式的無限擴展。在《哲學評論》中，維氏寫道:「如果數學在自然科學無限擴展的話，我們永遠不能有詳盡的知識，在原則上可以假設這個問題是不可判定的，但這卻是不可設想的。在真理中，不可能討論『所有x恰好擁有某種屬性』，『(x)……在算術中不能被擴展為支持者』。」［7］§174後期，維氏同樣拒斥了柏拉圖主義，因為柏拉圖主義要麼是一個純粹的真理，要麼會導致無窮多的模糊世界。此外，如果我們成功地證明了適當的歸納基礎和歸納步驟，那麼命題的意義只可能是所有自然數的真;如果命題在某些實際系統中不能被證明，那麼在所有自然數中它也不可能都為真。

三、對維特根斯坦評論的辯護

維氏對哥德爾定理的論證遭到後世許多學者的批評，他們認為維氏實際上是不懂數學的，但也有部分學者如弗洛伊德(J．Floyd)和古德斯坦(R．L．Goodstein)等人就從不同的角度對維氏的評論提出了自己辯護意見。

弗洛伊德認為，維氏的觀點是把哥德爾證明轉換為意願的理由，將之稱為「一個句子無法證實或不可證明的」。如果接受哥德爾證明作為句子「不可證明」的證據，就澄清了事物是無法證實的觀點。維氏對哥德爾數學證明的解釋確實如哥德爾本身理解的一樣，從維氏的觀點來看，哥德爾證明不是一個邏輯悖論，而是一篇數學論文，即產生了一個需要澄清的問題，是否有「是真的但無法證實的」問題。弗洛伊德認為，維氏同意哥德爾的觀點，在羅素的系統中有真的但無法證實的命題。弗洛伊德進一步認為：「維氏關於哥德爾的工作既沒有過多解釋數學的本質，也沒有說明其他嚴格不可能的證據。顯然，維氏希望縮小哥德爾定理的意義；對他來說，既不涉及數學證明的性質，因而也就不關注數學的本質。這僅僅是許多數學證明中的一個例子——儘管人們在哲學上更有可能被誤導。」

當然，弗洛伊德認為維氏實際上是拒絕承認哥德爾定理所擁有的重要哲學地位。她解釋道：「維氏關於哥德爾證明的根本觀點是，他展示了某種不可能的建構——就像用尺子和圓規不可能三等分一個角的證明。」-l維氏所堅持的觀點是，「P的不可證明性」必須放棄尋找證明的強制理由。也就是說，不用去尋找如用尺子和圓規三等分一個角那樣的證明，哥德爾的證明不構成強制性理由，因此，哥德爾證據中有矛盾，無法進行這樣的預測。鑒於哥德爾式命題既不是一個基本定律，也不是羅素系統中可證明的命題，維氏否認哥德爾已經澄清了這個問題，因為他否認P，或者否認有可能是真的但無法證實的陳述。維氏認為，這種主張的真理性不可信，因為除了詭辯，人們無法使用它。

在《維特根斯坦的數學哲學》一書中，古德斯坦寫道，維氏在RFM中對GIT評論的核心論點是「唯一有意義的數學命題是它在一些系統中(不一定是完全形式化的系統中)可證明，數學的『真』意指是可證明的」_l。根據維氏的思路，這裡的「真」意味著在其他系統中是可證明的。因此，哥德爾的句子被認為在一些A系統中是可證明的，但不能說在另一個B系統中也是可證明的。當然，古德斯坦認為維氏的觀點被誤解了，因為維氏認為，一個詞的「真」在於其使用。在標準解釋中，「(?x)G(x)是真的，因為它的每個實例G(0)、G(1)、G(2)……都是可證明的，因此是真的」l1。或者我們可以通過排中律來解釋「真」。

古德斯坦認為，我們可能只訴諸排中律來肯定「(?x)G(x)」，「?(x)-G(x)」是真的，因為這些句子都是不可證明的，即無法說明一個句子既是真的又是可證實的。首先，「?(x)-G(x)」不是真的，如果它是真的話，那麼就應該存在「(?x)G(x)」的證據；如果有相關證據的話，那麼我們就可以證明「?(x)]G(x)」，但在這種情況下，系統是不自洽的。其次，如果系統是自洽的，那麼命題就獨立於系統，然而這條論證思路是問題乞求的，正如維氏所說：「我們認為自己已經有了固定的排中律，這是無論如何都不能懷疑的。而事實上，當我們質疑P或者～P時，在某種意義上這種重言式是不可靠的。當有人苦惱於研究我們的排中律時是不能被否認的，很明顯的是這是有問題的。當有人設立了排中律，他是在我們面前放置了兩張可供選擇的圖片，然後說其中一張圖片必須與事實相對應。但讓人質疑的是，這些圖片可以應用於這裡的事例嗎?

因此，維氏主張如果系統是自洽的，那麼在每個獨立的系統中無論是P還是～P都是不可證明的。如果我們承認在一個特定的系統中一種表達式是不可證明的話，那麼這個系統中的其他命題也是不可證明的。因此，古德斯坦說：「在哥德爾的工作·】2．中新的事物是什麼呢?是一種發現的方法，在任何足夠豐富的形式化算術中，該方法可用來產生不可判定的句子，這表明沒有算術公理的遞歸集是完全的。」古德斯坦認為，P或者～P必須真的，在系統內一種表達式是可證明的，那麼另一系統內表達式也必須為真或為假。在形式化運算中，我們可以建構真的但不可判定的命題。但維氏認為，在這種情況下，意義的建構是模糊的，也就是說建構的意義遠未確定。鑒於P獨立於我們的算術演算，我們如何知道或者為什麼我們說這是一個為真或為假的數學命題呢?正如維氏所言，這種符號建構只是一個句子，但不足以給出這些符號聯結以意義。

古德斯坦認為，也許更好的方法是重新考慮維氏的立場，即重新考慮關於「系統的真」和「在系統中的證明(或可證明的)」的立場。對維氏來說，這些表達式是共外延的(co—extensive)。然而，人們對於維氏存在的誤解正是在於，維氏不會支持它們是共外延的，因為這隱含了真理性和證明是不同的事物，進而數學命題的「真」是通過證明這些數學命題來發現它們的真。維氏對數學命題的主要看法是，一切都是句法的，沒有什麼是語義的。真正的數學命題是特定的演算式，或者可以用演算式來證明它，或者可以用演算式來說明它是可證明的。在實在論者與形式主義者的爭議中，維氏的評論提供了一種新的解決方案：數學命題是真的，因為它們在演算式中是可證明的，它們能通過形式上的公理規則推演出來；這些數學命題是真的，由於其有效地應用了推理規則，並且沒有什麼能歸因於數學之外的世界。

事實上，古德斯坦認為，維氏的數學不是一個純粹的遊戲，因為數學也應該用於日常生活中。後期維氏也強調了數學日常的應用系統，對數學演算進行語義解釋，也應該包括不同的真理和證據。

四、結論

在RFM中，維氏評價GIT的一個主要目的是要提醒我們，根據羅素系統的規則，GIT不能排除P的可推論性，因為哥德爾定理只是表明，如果羅素的系統是自洽的，那麼P則不是可推論的。維氏理論的優勢在於他迫使我們去質疑哥德爾所建構的命題P的意義。從1929年維氏重新回歸哲學研究開始，他就一直在質疑數論表達式是否能夠量化無限數學領域，因為這樣的一些表達式將是不可判定洛陽師範學院學報2017年第10期的，因此它們也不是有意義的數學命題。如果沒有一個適當的、有效的判定過程，那麼我們無法確定GC和FLT的真或假。鑒於大多數數學家和哲學家把維氏的反直覺結論看成一種建構數學的激進歸謬法，從而導致人們對維氏誤解的加劇。但筆者認為，不應該簡單地駁斥維氏對於GIT的評論，事實上，維氏對GIT評價的真正價值在於，我們應該質疑P的意義，因為P在數學證明和計算中是不可用的，也很難想像在另外一個應用系統中，它是如何被應用於現實世界中的。

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