【新智元導讀】圖神經網路(GNN)在各個領域越來越受歡迎，本文介紹了圖神經網路的基本知識，以及兩種更高級的演算法：DeepWalk和GraphSage。

最近，圖神經網路 (GNN) 在各個領域越來越受到歡迎，包括社交網路、知識圖譜、推薦系統，甚至生命科學。

GNN 在對圖形中節點間的依賴關係進行建模方面能力強大，使得圖分析相關的研究領域取得了突破性進展。本文旨在介紹圖神經網路的基本知識，以及兩種更高級的演算法：DeepWalk 和 GraphSage。

圖 (Graph)

在討論 GNN 之前，讓我們先了解一下什麼是圖 (Graph)。在計算機科學中，圖是由兩個部件組成的一種數據結構：頂點 (vertices)和邊 (edges)。一個圖 G 可以用它包含的頂點 V 和邊 E 的集合來描述。

邊可以是有向的或無向的，這取決於頂點之間是否存在方向依賴關係。

一個有向的圖 (wiki)

頂點通常也被稱為節點 (nodes)。在本文中，這兩個術語是可以互換的。

圖神經網路

圖神經網路是一種直接在圖結構上運行的神經網路。GNN 的一個典型應用是節點分類。本質上，圖中的每個節點都與一個標籤相關聯，我們的目的是預測沒有 ground-truth 的節點的標籤。

本節將描述 The graph neural network model (Scarselli, F., et al., 2009) [1] 這篇論文中的演算法，這是第一次提出 GNN 的論文，因此通常被認為是原始 GNN。

在節點分類問題設置中，每個節點 v 的特徵 x_v 與一個 ground-truth 標籤 t_v 相關聯。給定一個部分標記的 graph G，目標是利用這些標記的節點來預測未標記的節點的標籤。它學慣用包含鄰域信息的 d 維向量 h_v 表示每個節點。即：

其中 x_co[v] 表示與 v 相連的邊的特徵，h_ne[v] 表示 v 相鄰節點的嵌入，x_ne[v] 表示v 相鄰節點的特徵。函數 f 是將這些輸入映射到 d 維空間上的過渡函數。由於我們要尋找 h_v 的唯一解，我們可以應用 Banach 不動點定理，將上面的方程重寫為一個迭代更新過程。

通過將狀態 h_v 和特性 x_v 傳遞給輸出函數 g，從而計算 GNN 的輸出。

這裡的 f 和 g 都可以解釋為前饋全連接神經網路。L1 loss 可以直接表述為：

可以通過梯度下降進行優化。

然而，原始 GNN 存在三個主要局限性：

• 如果放寬 「不動點」 (fixed point)的假設，那麼可以利用多層感知器學習更穩定的表示，並刪除迭代更新過程。這是因為，在原始論文中，不同的迭代使用轉換函數 f 的相同參數，而 MLP 的不同層中的不同參數允許分層特徵提取。
• 它不能處理邊緣信息 (例如，知識圖中的不同邊緣可能表示節點之間的不同關係)
• 不動點會阻礙節點分布的多樣性，不適合學習表示節點。

為了解決上述問題，研究人員已經提出了幾個 GNN 的變體。不過，它們不是本文的重點。

DeepWalk：第一個無監督學習節點嵌入的演算法

DeepWalk [2] 是第一個提出以無監督的方式學習節點嵌入的演算法。

它在訓練過程中非常類似於辭彙嵌入。其動機是 graph 中節點和語料庫中單詞的分布都遵循冪律，如下圖所示：

該演算法包含兩個步驟：

1. 在 graph 中的節點上執行 random walks，以生成節點序列
2. 運行 skip-gram，根據步驟 1 中生成的節點序列，學習每個節點的嵌入

在 random walks 的每個時間步驟中，下一個節點從上一個節點的鄰節點均勻採樣。然後將每個序列截斷為長度為 2|w| + 1 的子序列，其中 w 表示 skip-gram 中的窗口大小。

本文採用 hierarchical softmax 來解決由於節點數量龐大而導致的 softmax 計算成本高昂的問題。為了計算每個單獨輸出元素的 softmax 值 , 我們必須計算元素 k 的所有 e ^ xk。

Softmax 的定義

因此，原始 softmax 的計算時間為 O(|V|)，其中 V 表示圖中頂點的集合。

分層 softmax 利用二叉樹來處理這個問題。在這個二叉樹中，所有的葉子 (下圖中的 v1, v2，…v8) 都表示 graph 中的頂點。在每個內部節點中，都有一個二元分類器來決定選擇哪條路徑。要計算給定頂點 v_k 的概率，只需計算從根節點到葉節點 v_k 路徑上每一個子路徑的概率。由於每個節點的子節點的概率之和為 1，所以所有頂點的概率之和為 1的特性在分層 softmax 中仍然保持不變。由於二叉樹的最長路徑是 O(log(n))，其中 n表示葉節點的數量，因此一個元素的計算時間現在減少到 O(log|V|)。

Hierarchical Softmax

在訓練完 DeepWalk GNN 之後，模型已經學習了每個節點的良好表示，如下圖所示。不同的顏色表示輸入圖中的不同標籤。我們可以看到，在輸出圖 (2 維嵌入) 中，具有相同標籤的節點被聚集在一起，而具有不同標籤的大多數節點都被正確地分開了。

然而，DeepWalk 的主要問題是缺乏泛化能力。每當一個新節點出現時，它必須重新訓練模型以表示這個節點。因此，這種 GNN 不適用於圖中節點不斷變化的動態圖。

GraphSage：學習每個節點的嵌入

GraphSage 提供了解決上述問題的辦法，以一種歸納的方式學習每個節點的嵌入。

具體地說，GraphSage 每個節點由其鄰域的聚合 (aggregation) 表示。因此，即使圖中出現了在訓練過程中沒有看到的新節點，它仍然可以用它的鄰近節點來恰當地表示。

下面是 GraphSage演算法：

外層循環表示更新迭代的數量，而 h ^ k_v 表示更新迭代 k 時節點 v 的潛在向量。在每次更新迭代時，h ^ k_v 的更新基於一個聚合函數、前一次迭代中 v 和 v 的鄰域的潛在向量，以及權重矩陣 W ^ k。

論文中提出了三種聚合函數：

1. Mean aggregator：

mean aggregator 取一個節點及其所有鄰域的潛在向量的平均值。

與原始方程相比，它刪除了上面偽代碼中第 5 行中的連接運算。這種運算可以看作是一種 「skip-connection」，在論文後面的部分中，證明了這在很大程度上可以提高模型的性能。

2. LSTM aggregator：

由於圖中的節點沒有任何順序，因此它們通過對這些節點進行排列來隨機分配順序。

3. Pooling aggregator：

這個運算符在相鄰集上執行一個 element-wise 的 pooling 函數。下面是一個 max-pooling 的示例：

論文使用 max-pooling 作為默認的聚合函數。

損失函數定義如下：

其中 u 和 v 在固定長度的 random walk 中共存，而 v_n 是不與 u 共存的負樣本。這種損失函數鼓勵距離較近的節點具有相似的嵌入，而距離較遠的節點則在投影空間中被分離。通過這種方法，節點將獲得越來越多的關於其鄰域的信息。

GraphSage 通過聚合其附近的節點，可以為看不見的節點生成可表示的嵌入。它允許將節點嵌入應用到涉及動態圖的域，其中圖的結構是不斷變化的。例如，Pinterest 採用了GraphSage 的擴展版本 PinSage 作為其內容發現系統的核心。

總結

本文中，我們學習了圖神經網路、DeepWalk 和 GraphSage 的基礎知識。GNN 在複雜圖結構建模方面的強大功能確實令人驚嘆。鑒於其有效性，我相信在不久的將來，GNN將在 AI 的發展中發揮重要作用。

[1] Scarselli, Franco, et al. "The graph neural network model.」

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.1015.7227&rep=rep1&type=pdf

[2] Perozzi, Bryan, Rami Al-Rfou, and Steven Skiena. "Deepwalk: Online learning of social representations.」

http://www.perozzi.net/publications/14_kdd_deepwalk.pdf

[3] Hamilton, Will, Zhitao Ying, and Jure Leskovec. "Inductive representation learning on large graphs.」

https://www-cs-faculty.stanford.edu/people/jure/pubs/graphsage-nips17.pdf

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