從旋轉和軸對稱兩個方向突破線段和最值問題
從旋轉和軸對稱兩個方向突破線段和最值問題
幾條線段和的最值問題，一直作為武漢地區數學題的特色，思維有難度，是選擇題或填空題的壓軸戲。而解決此類問題的基礎，不外乎兩條定理：兩點之間線段最短，垂線段最短。那麼無論哪種方法，最終都要將線段和轉換成一條線段或一條垂線段。正好在某道填空題中，這兩種方法都能成功解決，所採用的轉換方法則是旋轉變換和軸對稱變換。
題目
如圖，△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，P是底邊上的高AH上一點，若AP+BP+CP的最小值為2√2，則BC=________
解析：
此題不走尋常路，告訴了線段和的最小值，反過來求其中一條邊長。但無論路是否尋常，若找不到使線段和最小的點P位置，那都是死路。
(1)旋轉法
使此法，通常選擇的旋轉角是60°，好處是構造出等邊三角形，我們將△APC繞點A逆時針旋轉60°，如下圖：
△APP"是等邊三角形，於是我們完成了如下轉換，AP=PP"，PC=P"C"，原三條線段BP+CP+AP=BP+PP"+P"C"，即圖中紅色加粗線條，它們何時和最小？利用兩點之間線段最短，可知最短時，正好處於線段BC"上，即線段BC"的長度為2√2.
接下來，觀察△ABC"，它是一個等腰直角三角形，∠BAP=∠P"AC"=15°，加中間60°，正好90°，於是得到AB=2，然後我們可以在△ABC中利用∠BAC=30°來求底邊BC了，作腰上的高，如下圖：
旋轉容易，最後求BC時，二次根式的化簡是真要人命，卡在這一步的大有人在，畢竟這種二次根式的複雜程度已經超過教材要求。
有沒有計算上稍簡單的方法呢？我們換個方向來思考。
(2)軸對稱法
由於點P在AH上，因此我們將AH沿某條腰對稱，得到下圖：
AH關於AC的對稱線為AE，過點P作PD⊥AE於點D，下面開始轉換，在Rt△ADP中，∠PAD=2∠PAC=30°，因此AP=2DP，而BP=CP，於是BP+CP=2BP，即DP+BP始終為AP+BP+CP的一半，DP+BP何時最小？觀察圖中紅色加粗線段，利用垂線段最短，可知它們位於線段BE上時最短，此時DP+BP=√2=BE，而△ABE是一個等腰直角三角形，於是同樣可求得AB=2.
我們可簡單計算一下∠FBC的度數，發現它正好也等於30°，於是在Rt△BFH中，我們設FH為x，BH為√3x，在Rt△ABH中利用勾股定理列方程可得結果，如下圖：
解題反思：
每次遇到這樣的思維障礙，突破無果之後，需要記下失敗原因，當老師進行點評講解的時候，要重點聽是如何突破的，自己在當時缺少了哪個環節的思考，只有這樣循序漸進，才能不斷提升自己的數學解題能力。
