糟糕，我學了假的微積分！

授權轉自：圖靈教育

哲學園鳴謝

01往事歷歷在目

大二那年，剛開學沒多久我就度過了一個傷心的宿醉之夜，不是因為校門口最負盛名的烤冷麵攤兒不見了，也不是因為我的愛豆突然宣布談了對象，而是因為一個假期過去，我把前一年學的微積分給忘！光！了！

翻開這學期要學的《電路分析》《電磁學》《力學》，看著滿篇的微積分式子，我不禁黯然神傷，捧起酒桶……

這是為什麼呢？一轉眼這麼多年過去了，我有時還是忍不住琢磨：為什麼微積分的保質期在我的腦子裡總是這麼短？

這個謎團終於在前些日子解開了——我竟然學了假的微積分。

02光會算題，你知道微分的靈魂嗎？

回憶一下自己學習高數的過程，我發現，我其實一直不太明白到底為什麼要學微分。

學極限的時候，老師說，當x趨近於 0 的時候，f(x)=ex的極限是 1。我心想，這不就是e=1 嗎？還整啥極限啊，趨近於的，詞兒還挺多。

學導數的時候，老師說，一個函數的導數可以反映它在幾何上的變化趨勢。我心想，我不求導數，直接畫圖也能看出它的變化趨勢，為啥折騰這一遭？

學泰勒公式的時候，老師說，有了泰勒展開，我們可以求一個函數在某個點的近似值。我心想，求啥近似值啊，直接求準確值唄！

面對困惑的我，老師親切地問：「孩砸，會算題了不？」

「還行，背背公式都能算對。」

「那不就得了嗎？」

「可是老師，我還是覺得學微分就是自找麻煩。」

老師笑了，她說——

困擾我多年的問題，最近終於有了答案——微分的靈魂在於近似和忽略。

從小到大，提起數學，我們總是下意識地想到精確和完美。我們總覺得數學是沒有商量餘地的，直線就是直線，曲線就是曲線，是就是是，不是就是不是。但事實上，如果數學只容得下完美，那它就沒辦法成為實用的工具了。

比如，液晶顯示器的像素安排是需要數學計算的。但是，如果使用數學的人執著於完美，他就會說：「我為什麼要算這種東西呢？不管像素怎麼安排，顯示器上的畫面總歸是由小方塊拼成的，反正不是真正的平滑畫面。」

更小的方格組成與近似圓

液晶顯示器顯示的畫面實際上是鋸齒狀的。但是顯示器中鋸齒的精細度非常高，所以我們眼中看到的就是平滑的線了。

我們也可以這樣說，圓形實際上是由無數精細小方格組成的鋸齒狀圖形，即圓是鋸齒狀圖形的「極限」。像這樣，「近似」在數學中是極好的用法。

如果執著於完美再現平滑的線，那麼就不會出現液晶顯示器吧。多虧了非完美主義的近似方法，才誕生了劃時代的技術。

事實上，近似和忽略是一門很重要、很了不起的學問。

03萬物皆可盤，積分對象也不例外

微分的靈魂是忽略與近似，那積分的靈魂呢？當然也是忽略與近似，因為微分和積分是好基友啊！

在上大學之前，我記住了很多種圖形的面積和體積公式。我理所當然地用著它們，就像使用一個一直放在廚房裡的碗，但我從來不知道這個碗是從哪來的。

也許哪位先人一拍腦袋就總結出了這些公式？我也不知道自己為什麼有必要了解更多。

然而，事實上，很多面積和體積公式在誕生過程中就運用了積分的思想。

面對圖形中那些不一樣的煙火，積分的思想就是：盤！萬物皆可盤，積分對象也不例外。不管是什麼東西，我們都要把它盤出規律，盤出標準，盤出智慧的光澤。

想算圓的面積嗎？盤它！

把圓展開成扇形

圓面積

想算甜甜圈的體積嗎？盤它！

旋轉圓板形成圓環體

被等分的甜甜圈

重新排列被8等分的甜甜圈

甜甜圈的體積

能算簡單的，就能算複雜的，萬變不離其宗嘛。想算地球的體積嗎？盤它！

地球不是球嗎？

用積分符號表示旋轉橢圓體的體積

地球和邊長為 10 000 km 的立方體的體積大致相等

我必須要感嘆一下，如果上學的時候就知道這些，那我一定能成為班上最出色的盤……啊不，學生。

04學了微積分不用來high，那將毫無意義

但這些都不是最重要的。我最大的發現是，只把微積分當工具，你會錯過很多快樂。放下那些枯燥的習題，帶著微積分的思想觀察生活，你會打開新世界的大門！

比如，你可以計算什麼樣的甜筒能裝下最多冰激凌。

你還可以目測女神的項鏈有多長。

就連早餐切個雞蛋都與眾不同。

雞蛋切割器

哇，簡直讓人大開眼界！

那麼問題來了。這麼多年過去了，我怎麼就突然對微積分開竅了呢？當然是因為我找到了新世界的鑰匙，也就是它！！

上文中所有有趣的例子和知識點，都出自這本輕巧的小書。這本書里沒有難懂的定義，沒有晦澀的概念，更沒有大段大段的公式推導。作者神永教授似乎並不想把課堂上的微積分教給讀者，他只想讓大家像認識一個朋友一樣，看到微積分最樸實可愛的一面。

但誰又能說課堂上的微積分才是最好的微積分呢？和知識做朋友不是最重要的嗎？

我們之所以覺得很多知識容易記住也容易忘記，說到底還是因為沒有和它們成為朋友。成為朋友以後，知識當然就捨不得離開你了。

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