無盡的空間能吞噬萬物，但這種奇特形狀是個例外

製圖：Olena Shmahalo/Quanta Magazine

　　來源：環球科學

　　在數學中，無限的空間應當能夠容納無限多的東西，從原子、細菌到無限多的行星都不在話下。但是，莫比烏斯環（M?bius band）是個例外。莫斯科州立大學的數學家Olga Frolkina最近證明了，著名的莫比烏斯環不能被無限次地壓縮進無限大的空間中。在這篇精（bu）彩（ming）紛（jue）呈（li）的文章中，你將看到數學家如何通過拓撲學驗證莫比烏斯環嵌入空間的問題。

　　不同的無限，大小也不盡相同。從1到無窮大的自然數集合就是最小的無限之一。自然數的集合是可數的。任何一組無限的對象，例如將無限多的原子、行星放進三維空間里，它都是可數的。理論上，你可以給所有的行星編號。

　　有些數集太大而無法將其中的對象一一列出。例如，實數包括數軸上的每一個點，甚至像π這樣奇怪的、擁有無盡不重複小數部分的點也在內。使用由19世紀德國數學家康托爾提出的對角化（diagonalization）論證法，我們可以證明，即使是一個無限大的實數列表，也可能是不完整的。實數集明顯大於自然數集。它是「不可數」的無限，或簡稱「不可數」。

　　變具象的數學

　　儘管如此，不可數的對象集合仍然可以存在。想像一下，如何把一個不可數的圓筒集合塞進三維空間，而不讓它們互相接觸。要做到這一點，你只需將所有的圓筒置於同一個軸上，使它們的直徑分別對應於數軸上不可數點中的一個。這些圓筒會像一套數不盡的俄羅斯套娃，由內而外嵌套在一起。

　　乍一看，似乎莫比烏斯環能以類似的方式嵌套在一起。但是如果你試著在一個莫比烏斯環裡面嵌套第二個環，你會發現第二個環將在第一個環的外部閉合。

　　對於上述的圓筒，我們很容易能區分它的內外側。而這對於莫比烏斯環是不可能的，因為它是一類被稱為非定向流形（non-orientable manifold）的有形數學對象——當你繞著它在空間中轉一圈時，是無法區分固定的內外側的。

　　Frolkina雖然證明了莫比烏斯環無法像圓筒一樣嵌套在一起，但並沒有否定它們能以更巧妙的方式嵌套的可能性。這一證明的亮點在於，它向我們展示了莫比烏斯環無法像圓筒那樣嵌套的原因。

　　Frolkina的結果立足於一個名為點集拓撲學（point-set topology）的領域。在上世紀50至60年代，數學家們相繼證明了將一系列物體（例如圓盤、中空球體）嵌入進三維空間的理論。

　　可以說，研究者們正在使抽象的數學變得具象。拓撲學有點像簡化的幾何學：重要的不是精確的形狀和距離，而是大尺度的結構。

　　兩種嵌入方式

　　在幾何學中，球面是空間中與一個原點等距的所有點的集合，但在拓撲學中，將前面的結構隨意擠壓、拉伸變形，只要不將其撕裂或者粘合，它都算是一個球面。在空間中精確定位拓撲球的方法被稱為嵌入。一個球能夠以許多不同的形式嵌入三維空間，不論是像肥皂泡一樣的完美圓球形、延展成香腸一樣的形狀，還是像變形蟲的細胞膜一樣搖晃變化，只要這些形狀滿足球的定義即可。

　　上面例子中的嵌入被稱為「馴順」嵌入（tame embedding）。馴順嵌入可以在整個空間內延展，因此拉伸或擠壓空間，可以使嵌進球面變為標準圓球形。

　　與此相對應，「非馴」嵌入（wild embedding）則很難可視化，通常需要利用無限來進行描述。非馴嵌入版的球面無法通過空間變形轉化成圓球形。

　　例如，為構建亞歷山大帶角球（Alexander horned sphere），首先需從一個類似於甜甜圈表面的圓環上切下一段，在切斷後留下的空隙兩側分別連接兩個互鎖的圓環面，並如此重複：切斷每個次級圓環，插入一對互鎖的小圓環，隨後切斷更小的圓環。無數次執行這個置換過程後，你就可以得到亞歷山大帶角球。雖然證明該對象在拓撲學上是一個球體並不繁瑣，但它是非馴嵌入的。將它放大後，你能在越來越小的尺度上看到互鎖的「角」。

非馴嵌入的亞歷山大帶角球

　　像亞歷山大帶角球那樣的非馴嵌入很難被塞進空間里。早在20世紀中葉，數學家R.H.Bing就證明了如果嵌入是馴順的，就可以將不可數無限的球面和圓環面不重疊地嵌入三維空間。然而，圓盤就大不相同了：將不可數的圓盤不重疊地嵌入空間中是可行的，不論它們是否馴順。

　　三維與更高維度

　　那麼莫比烏斯環可以像這樣被嵌入空間中嗎？1962年，俄羅斯數學家Victor Vasilievich Grushin 和 Victor Pavlovich Palamodov證明了，不可數個馴順嵌入的莫比烏斯環無法被不相交地嵌入進三維空間中。但是，這對非馴嵌入的莫比烏斯環是否同樣成立仍無定論。

　　Frolkina參考了他們和Bing等點集拓撲學家的工作，將結論延展到了非馴嵌入的莫比烏斯環上。她在論文中分解了嵌入的表面，並分析了這些切片在空間中分布的方式。

　　Frolkina還在高維空間中研究了相似問題。她考慮了n維（n≥3）的非定向流形，並指出：這些流形中只有可數的形式能夠馴順地嵌入n+1維的空間中。

　　她的工作並沒有涵蓋這些高維情況下的非馴嵌入。但是，莫斯科斯泰克洛夫數學研究所的數學家Sergey Melikhov審閱了她的論文後，擴展了她的工作。Melikhov使用更抽象的代數方法消除了Frolkina的結論在更高維度中的馴順限制。二者的工作證明了不論是使用非馴還是馴順嵌入，將不可數無限個非定向流形壓縮到空間中都是絕無可能的。

　　點集拓撲的研究已不及60年代風光，但是Melikhov認為在另一個活躍的拓撲研究領域——紐結理論中，一些開放性問題具有「點集風格」。深入了解非馴嵌入可能在這一領域內十分有用。從某種意義上說，紐結理論中普遍存在著非馴性，因為大多數紐結都是非馴嵌在周圍的空間中的。這些非馴嵌入吸引了Frolkina，因為它們挑戰了人類理解的極限。拓撲學家通常把他們的研究局限在合乎直覺的空間問題上，但是「當你發現一個非馴的對象，或者一個與你的直覺相矛盾的對象時，轉折點就出現了。」

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