攻克龐加萊猜想的數學隱士——佩雷爾曼
2002年11月在數學預印本網站上，佩雷爾曼貼出了僅僅只有三頁非常簡潔的論文，目標直指百年數學難題龐加萊猜想（實際上，他描述的是更一般的瑟斯頓幾何化猜想，龐加萊猜想是它的一個特例）。這個消息不脛而走，隨即引發了數學界的軒然大波，更多的人認為這是一個「惡作劇」，就像曾經有很多人宣稱自己證明了哥特巴赫猜想一樣。但四個月後，佩雷爾曼又上傳了一份更加詳細的論文，補充了很多證明的細節，並以郵件的形式和少數數學界內他信得過的人討論交流。第二年，佩雷爾曼再上傳了一篇論文，給出了更多相關細節。這三篇論文的正確與否直接關係著一個百年數學難題的命運。
實際上，佩雷爾曼為公眾所知，更多的原因在於他拒絕了數學最高獎菲爾茲獎與千禧百萬美元數學大獎，至於他到底做了哪些貢獻，是一個什麼樣的數學家，一般人還是不太了解。在他發布論文以後，了解佩雷爾曼的人都對其正確性持樂觀態度，因為在此之前，他已經是一位卓有成就，天賦異稟且嚴謹謙虛的數學家，如果沒有把握，他是不會輕易發布這樣的論文。
那麼，佩雷爾曼到底是一位什麼樣的數學家？與龐加萊猜想又有怎樣的淵源？
佩雷爾曼
佩雷爾曼（全名為Grigori Yakovlevich Perelman ，俄語為: Григо?рий Я?ковлевич Перельма?н），1966年6月13日出生於聖彼得堡（也即蘇聯時期的列寧格勒），是著名的俄羅斯籍猶太裔數學家，他的父親是電路工程師而母親則為當地小學數學教師。佩雷爾曼從小就對玩樂沒什麼興趣，寧願呆在家看書或者下棋。母親發現他的數學天才之後，送他去了一個數學培訓班，之後又讓他去了以數學和物理見長的239中學。僅僅三個月之後，佩雷爾曼代表蘇聯在國際中學生數學奧林匹克上獲得滿分金牌，而且據傳，佩雷爾曼還在另一個更難的幾何競賽中拿下賽史上第一個滿分。在同時代的人中，佩雷爾曼的數學天才幾乎找不出對手。
佩雷爾曼這樣非凡的天才立即引來了美國頂級名校耶魯大學的極大興趣，並以巨額獎學金吸引他來就學，但佩雷爾曼毫不猶豫地拒絕了。佩雷爾曼選擇了免試進入聖彼得堡大學繼續學習數學，並以微分幾何作為他的研究方向。據大學同學及老師回憶，佩雷爾曼像外星人一樣聰明，除了數學什麼都不談，他精通所有學科，除了體育。他也從來不在乎自己的形象，總是隨心所欲，但佩雷爾曼卻是一個樂於助人，富有愛心的年輕人，時常有同學看見他幫助別人。
本科畢業後，佩雷爾曼進入聖彼得堡的斯捷克洛夫數學研究所讀研究生，師從著名數學家亞歷山德羅夫，主要研究方向是黎曼幾何中的比較幾何，並獲得數學博士學位，之後便留所工作。
說到這裡要簡單的提一下斯捷克洛夫數學研究所（St.Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics of Russian Academy of Sciences）的情況。斯捷克洛夫數學研究所建於20世紀20年代初的聖彼得堡，1934年主體部分遷到了莫斯科，只在聖彼得堡保留了分部。這裡一直延續著切比雪夫創立的聖彼得堡數學學派的優秀傳統，而且慶幸的是沒有受到諸如偽遺傳學教父李森科等人的破壞。實際上，這樣優良的數學傳統對佩雷爾曼有著深遠的影響。到了世紀之交，俄羅斯經濟面臨困境，數學研究所差不多已經「饑寒交迫」，但仍有不少人堅守在這座老房子里，甚至據傳，他們用繩子將搖搖欲墜的陽台固定住，以防止垮塌。
俄羅斯的數學在蘇聯解體之後仍然得以繁榮，正是因為還有很多這樣堅守的人，佩雷爾曼就是其中之一。
1991年蘇聯的解體不僅是國家命運的分水嶺，也成了佩雷爾曼人生的轉折點。大批猶太人選擇遷居以色列，其中便有佩雷爾曼的父親和妹妹，但他卻選擇和母親堅守在聖彼得堡。家庭的割裂成為佩雷爾曼變得孤僻的極大誘因。從此他的生活里只剩下數學和母親。
差不多也是這個時候，佩雷爾曼在格羅莫夫（Gromov，頂級幾何學家，沃爾夫數學家得主）的推薦下，來到美國訪問研究，地點包括紐約大學柯朗研究所和加州伯克利等。這一時期佩雷爾曼的研究領域仍然集中在比較幾何上，例如具有Ricci曲率具有下界的流形。
1994年，佩雷爾曼完成了一生中第一項重大工作，他證明了黎曼幾何中重要的靈魂猜想。在一次學術會議上，佩雷爾曼幾乎是立即獲得證明靈感，之後便以非常簡潔的方法解決了這個困擾數學界多年的難題。也是在這一年，佩雷爾曼受邀在國際數學家大會上做了報告，對於一個年輕數學家而言，這已經是極大的榮譽與肯定。
普林斯頓和斯坦福立馬向他拋出橄欖枝，邀請佩雷爾曼前來任職。但出乎意料又在情理之中，佩雷爾曼在這個時候選擇回到斯傑克洛夫數學研究所，他難以割捨自己的母親和祖國。而且直到這時，佩雷爾曼並沒有表現出對黎曼幾何之外的數學的興趣。
1996年，由於他佩雷爾曼在黎曼幾何上的出色工作，歐洲數學會授予他「傑出數學家」獎。佩雷爾曼拒絕了，他已經對獎金和聲譽毫無興趣。之後的幾年裡，佩雷爾曼在數學界中如同人間蒸發一般，就連數學所的同事也不清楚他究竟在做些什麼。但佩雷爾曼仍然保持了他的正直與誠實，他對所內挪用侵吞經費的行為深惡痛絕，也加深了他對學術界的厭惡。
直到2002年相繼貼出論文，佩雷爾曼才重回公眾視線。之後他受邀前往美國講解他的論文，但幾乎沒人能夠立即理解他的工作，包括Ricci流理論的創造者哈密爾頓（Richard Hamilton），而Ricci流是佩雷爾曼論文中最主要的數學工具。三個專業的數學團隊獨立對佩雷爾曼的論文差不多解讀了兩年才確定證明的正確性。而在此之後，佩雷爾曼再度消失，拒絕任何採訪或與外界的接觸。
龐加萊猜想
接下來我們需要簡單地介紹一下龐加萊猜想的相關情況。
1904年，龐加萊提出一個問題：
任何一個單連通的且閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
用拓撲學的語言來說，也就是：
閉的三維流形如果同倫於三維球面，那麼它們也同胚。
事實上龐加萊猜想還有n維的推廣形式，但必須附加上一些更嚴格的條件。那龐加萊猜想到底在說什麼呢？形象一點來說，例如n=2，如果一個閉曲面（比如球面，橢球面這樣的）上的閉合曲線都可以像橡皮筋一樣連續收縮到一個點，那麼這個閉曲面實際上和球面是一回事，也即拓撲上的同胚。
而一個顯然不符合條件的反例就是環面，它上面的閉圓就不能連續收縮到一個點，因為中間有一個「洞」。
如果龐加萊猜想正確的話，那麼它的一個顯著意義就是「宇宙大爆炸」理論有了強有力的數學基礎。大爆炸理論正是猜想宇宙由一個點爆炸膨脹而來，這與龐加萊猜想所描述的過程是一樣的。
早期對龐加萊猜想的研究一直沒有實質性的進展，直到1961年斯梅爾和其他一些數學家解決了四維以上的龐加萊猜想，一時震驚整個數學界。之後的1982年，美國數學家弗里德曼和英國數學家唐納森證明了四維的情形。數學界為之歡呼雀躍，認為龐加萊猜想的完全證明已經近在咫尺。不幸的是這些方法都不能用在三維的情形，三維空間此時表現出了和高維空間迥然不同的特性。這是否說明三維空間才是最本質的？
結果這一沉寂就是20年，直到佩雷爾曼的橫空出世。前面我們已經說過，佩雷爾曼的證明建立在兩個重要的東西上，一個是瑟斯頓幾何化猜想，還有一個是哈密爾頓提出的Ricci流理論。瑟斯頓和哈密爾頓都在這個問題上取得過重大進展，但始終難以突破最後一步。哈密爾頓遇到的困難是在他的方法中會出現趨於無窮大的奇點，使得證明方法無法在這一點奏效，因而無法繼續往下證明。但佩雷爾曼不這麼認為，他以自己強大的數學洞察力宣告：奇點不是問題，我可以解決！這也就有了後來的故事。
拒絕領獎
佩雷爾曼思考的過程到底是怎樣的我們無法得知，但肯定不會是容易的，憑藉這一數學史最重大的成就之一，我們可以確信，佩雷爾曼值得上任何數學獎勵。2006年，國際數學家大會授予他數學最高獎菲爾茲獎。儘管佩雷爾曼兌現了自己不會領獎的承諾，但大會仍執意授予他這一獎項，最後只能對著佩雷爾曼的照片給他頒獎。同樣地，他也拒絕了百萬美元獎金的千禧數學大獎。起初克雷數學研究所規定數學論文必須發表在數學期刊上才能獲獎，但佩雷爾曼顯然沒興趣。後來克雷數學研究所再也坐不住了，也不管什麼規定了，跑到佩雷爾曼家將獲獎通知直接貼在了門上，於是佩雷爾曼生氣地搬了家。
無數的記者喬裝打扮試圖接近佩雷爾曼進行採訪拍照，對此深惡痛絕的佩雷爾曼乾脆跑得更遠，不讓人們找到。佩雷爾曼曾經說過，我對金錢和名譽早已沒有任何興趣，我寧願到聖彼得堡的森林裡采蘑菇！
數學隱士
無疑，佩雷爾曼的內心是孤獨的，不被理解的。父子兄妹的分離早已使他黯然失色，曲高和寡的天才又使他和這個世界顯得格格不入。對數學界他也失望透頂了，他曾表示，漢密爾頓在解決龐加萊猜想問題上的貢獻比自己大，獎應該也要頒發給他，但「急功近利」的學術界顯然沒有順從他的意願。讓佩雷爾曼更為惱火的是，某位非常著名的數學家竭力試圖削弱他在這個問題上的貢獻而抬高自己學生的地位。數學最後也使他失望了，唯一剩下的就是守在自己母親身邊了。
我們無從得知佩雷爾曼的近況，更不想打擾他寧靜的生活，在這樣一個喧囂繁雜的世界，也許當一個隱士在他看來是最好的選擇。但無論如何，我們可以肯定的是，佩雷爾曼是真正偉大的數學家，值得我們每一個人尊敬。
