Science: 傳熱中的反宇稱-時間對稱

　　來源：知社學術圈

　　非厄密（non-Hermitian）物理在對與環境間存在能量交換的開放系統的研究中取得了豐富的進展。具有宇稱-時間（parity-time）對稱或反宇稱-時間（anti-parity-time）對稱的電磁波和聲波展現了一系列新奇現象。然而，此前對這類對稱性的認識都根深蒂固地局限在波物理領域中，沒有意識到可能存在其他的物理框架。2019年4月，新加坡國立大學 C。-W。 Qiu組、華中科技大學祝雪豐組、斯坦福大學Shanhui Fan組在Science 上發表了題為 「Anti–parity-time symmetry in diffusive systems」 的論文，成功在波動系統外預言並觀測到了傳熱中的反宇稱-時間對稱，展現了一個全新的非厄密物理研究平台。

　　現實的物理系統一般或多或少都存在與環境間的能量交換，其中最常見的形式就是熱耗散。在很多情況下，儘管這類過程的效應不可忽略，但嚴格構建其物理模型相當於把環境也完整包括在系統中，這既缺乏可行性也不必要。量子力學中一個簡單有效的處理方法是把環境的影響歸納為系統哈密頓量中的參數。由此得到的等效哈密頓量不再具備傳統要求的厄密性，因此對應的本徵值也往往並非實數。粗略地說，這類非厄密哈密頓本徵值中的虛部對應著系統本徵態的衰減率。上世紀末的一個重要發現是當一個非厄密哈密頓量在宇稱算符（P： parity inversion）和時間反演算符（T： time reversal）的聯合操作下保持不變時，其本徵值可以為純實數。這意味著系統儘管與環境交換能量，但其本徵態演化依然類似於一個理想封閉系統，不隨時間衰減或增強，此時本徵態受與哈密頓量相同的宇稱-時間（PT）對稱性保護。

圖1。 反宇稱-時間對稱擴散系統。A研究非厄密物理的兩條路徑：從零衰減的波動系統出發，或從零頻率的擴散系統出發；B熱對流研究在移動背景中的溫度場演化；C， D 二維（C）和三維（D）反宇稱-時間對稱傳熱系統；E 系統在無耦合極限下的特徵值

　　近年來PT對稱的概念在光子學等波物理領域獲得了巨大的成功，研究者們在PT對稱的光學、聲學系統中實驗觀測到了激光、反激光、單向透明、高效無線傳能等獨特現象。這些系統的構造方法一般是基於一個封閉無衰減的厄密系統，再引入等量的損耗和增益（對應於正和負的衰減率，參見圖1A中的藍點）作為系統的非厄密成分。那麼，如果把這一過程反過來，從本質上就是非厄密的系統出發，再引入厄密成分的話結果會怎樣呢（圖1A中的紅點）？既然非厄密成分對應的是系統的耗散，那麼本質非厄密的系統就應該滿足其動力學演化為一個純耗散過程。這就是我們熟悉的物質或熱量的擴散過程。但儘管非厄密性本質上往往對應於能量耗散，此前卻沒有工作直接研究擴散系統的非厄密物理，用等效哈密頓量描述傳熱等擴散行為的嘗試也近乎空白。本文首次運用非厄密物理的相關概念建立了耦合對流傳熱系統的模型，在其中構造並實驗觀測到了反宇稱-時間（APT）對稱及相關現象。

　　熱傳導是固體中的基本傳熱形式，滿足擴散方程。如果用等效哈密頓量描述其溫度場演化的話，可以發現其本徵值是一個純虛數，本徵頻率為零。熱對流則是移動物質中的基本傳熱形式。根據常識，溫度場往往跟隨著移動的背景做整體移動（圖1B左），因此我們才可以用風扇帶走熱量實現降溫。通過分析這一過程對應的對流-擴散方程可以發現，這種整體移動的效應實際上給原本是純耗散的系統演化引入了振蕩效應或非零的特徵頻率。因此，對流傳熱系統天然就符合上述第二種研究非厄密物理的路徑，其中的對流項和擴散項分別對應哈密頓量中的厄密和非厄密部分。基於這個新認識，PT對稱相關的概念也可以找到實際的物理對應，只不過我們會發現在傳熱中哈密頓量在PT算符映射下會改變符號，也即滿足APT對稱。有趣的是，在APT傳熱系統中，溫度場不但可能表現出常見的隨背景移動效果，也能在移動背景中保持靜止（圖1B中），甚至反向於背景移動（圖1B右）。

　　APT對稱的性質相當於把PT對稱中的所有量乘以虛數單位i，從而交換實部和虛部。在波動系統中，要構造嚴格的APT對稱需要同時存在正負特徵頻率，以及純虛數的耦合係數，實際困難很大。現有實驗實現的APT波動系統都需要對場進行後處理，而不是直接滿足對稱性。在傳熱系統中這些問題都非常自然地得到了解決，因為正負的特徵頻率體現在對流項上就是向相反方向移動的背景，而純虛數的耦合係數就是通過熱傳導進行的能量交換。可以證明，圖1C， D中的簡單構造就滿足嚴格的APT對稱。

圖2。二維APT對稱系統的本徵值和本徵模式。A 本徵值虛部的相反數，對應本徵衰減率；B 本徵值實部，對應本徵頻率；C本徵模式，兩渠道中的溫度分布

　　對於圖1C， D中的系統，溫度場演化的本徵值和本徵態都可以直接理論計算得到。結果顯示系統在不同的背景速度v下表現出兩個不同的相。在低速下，系統受APT對稱保護，本徵值為負的純虛數，對應本徵態在空間中保持靜止。當v超過一個臨界速度之後，系統發生APT對稱破缺，本徵值出現非零的實部，對應本徵態在空間中移動。這些預測得到了二維數值模擬的證實。對圖1C中的二維繫統左右施加周期性邊界條件後，有限元模擬得到的本徵值和理論結果相符，相變發生的奇異點（exceptional point）位置基本吻合（圖2A， B）。模擬獲得的本徵態溫度分布也符合理論解，觀察可見隨著速度的增大，在對稱相中兩個溫度場都保持靜止，但之間形成了逐漸接近π/2的相位差（圖2C中I， I』， II， II』）。在對稱破缺相中，不論如何選取規範，至少存在一個溫度場其正向和反向波解的大小不同，也就必然存在溫度場的整體移動（圖2C中IV）。

圖3。 三維APT系統中溫度場演化，外側兩列為溫度場分布，中央兩列為最大溫度點的軌跡

　　APT傳熱系統的性質可以通過溫度場隨時間的演化方式更直觀地觀察到。考慮圖1D中的兩個熱耦合的環狀渠道，其中物質以相同轉速在順時針和逆時針方向移動，那麼在環平面上引入線性溫度梯度作為初始條件就可以激發和圖2C中相同的本徵態。如果兩環上的初始溫度梯度相同，則對應v = 0時的偶模式，如果相反則對應奇模式。這種初始條件保證了兩環上的溫度場T1和T2中各自始終只有一個極大值點，因此可以直接追蹤max（T1） 和max（T2）的位置變化來反映溫度場的移動。由圖3A， B可見，處於低速的對稱保護相下，最大溫度點都只從初始位置偏移了一個小角度之後就固定不動了，而圖3C中高速對稱破缺相下的溫度場則一直在整體移動，方向與各自所在圓環的旋轉方向一致。這和理論及二維模擬計算得到的本徵態行為是一致的。有意思的是，在圖2A中，奇模式處在本徵值虛部的上分支（I』），似乎應該演化到同樣在上分支的II』態，並具有如圖2C所示的大於π/2的相位差。而圖3A， B中央兩列顯示，對應偶模式和奇模式的兩個初始條件在低速下達到的終態有相同的T1和T2間相位差，也即都演化到了圖2A中下分支的II態。這一現象體現了非厄密系統的特性，即上下分支上的本徵態之間並非正交的。所以奇模式的初態I』同時有II態和II』態的分量，由於II』的衰減率更大，所以最後觀察到的態還是II態。另外值得一提的是，模擬結果顯示假如採用非對稱的初始條件，例如一個環上的初始溫度梯度大於另一環上的，那麼在APT對稱破缺相還是可以觀察到兩個溫度場的移動。但此時可能出現兩個場的旋轉方向同為順時針的情況，也即一個環上的溫度場逆向於環本身的移動方向。

圖4。 實驗實現APT對稱系統。A 給系統施加豎直方向的初始溫度梯度；B 進行實驗；C–F 測量得到的環1上溫度分布；G–I 溫度偶極子朝向的演化

　　本文設計的APT對稱系統只需要用低廉的日常材料在傳統機械平台上即可構造完成。如圖4A所示，兩個塑料制的圓環連接在兩個低速電機上，圓環之間塗了一層潤滑膏。可以先使它們接觸一個上端冷、下端熱的銅板從而獲得初始溫度梯度。此後撤掉銅板，使圓環隔著潤滑膏相互靠攏對齊，再開啟電機即實現了圖3中所模擬的相同過程。觀察圖4C–F中由紅外熱成像儀拍攝到的溫度場，以及圖4G–I中由這些溫度場計算出的溫度梯度朝向（基於與電偶極子相似的計算方法，稱為溫度偶極子朝向），可以再次驗證理論所預測的相變現象。

　　本文工作顯示了傳熱系統作為實現APT對稱平台的天然優勢，由於不需要引入增益，其對材料的要求甚至低於以往各類PT對稱系統的要求。研究為強散射體系、質量輸運和熱傳導等擴散系統的研究開闢一個新的領域，為對稱性理論延伸到波動體系之外其他體系提供了一種全新的範式。

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