因為發現了不同種類的無窮大，他進了精神病院

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作者 七君

認識這個暈倒的8么：∞

它和8其實不是一個品種，它的本名叫做無窮大，它並不是一個數。

無窮大，很奇怪，5歲的小朋友就能理解，無窮大有多大。比如你隨便想出一個數字，總可以再找一個比它大的數字。

可是，無窮大是不是只有一個品種呢？

第一個發現無窮大並不是只有一種的人，進了精神病院。今天我們就來八一八，無窮大的故事。

首先要明白的是，無窮大和8不一樣，它不是一個數。

如果它是一個數，那麼你只要給它加個1，那麼就可以產生一個比它更大的值了。顯然，無窮大並不參與你的這種加一遊戲，你一要玩這種遊戲，它就掉線。

所以，無窮大到底是什麼來頭？

長久以來，不光普通人鬧不明白，數學家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼，人人都聽說過它，但是卻不理解它，更沒有見過它的真面目。

後來，出現了一個銀，他開始思考，無窮大這個鬼，會不會也有不同品種的呢？

他做了這樣一個思想實驗，並且發現，一些無窮大，居然比其他的無窮大還要大。

我們先從簡單的講起。有一種無窮大用人類的大腦還是能理解的，因為和常識比較接近嘛。

比如，

1, 2, 3, 4, 5, 6, ….

這些正整數可以一直延伸到無窮大對吧。

負整數也是一樣，

-1, -2, -3, -4, -5, -6, ….

隨便你說一個整數，不管它有多大，只要你願意寫，就可以一直寫到這個整數。換句話說，任意整數都可以被你安排到上面這列數字里。

因此，列出這些無窮多個數字的集合，叫做可數無窮。

其實，分數也屬於可數無窮哦。

比如我們做這樣一個表出來，

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, …

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, …

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, …

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/7, …

5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, 5/6, 5/7, …

...

隨便你想到一個什麼樣的分數，它都可以在上面這個表裡被找到，所以分數也屬於可數無窮。

好的，那麼，你能用同樣的方法，做出0-1之間所有的有理數和無理數的數列，或者表格么？

如果你覺得可以，那我們來試試下面這個例子。

假設你列出了所有0-1之間的數，如下：

0.82705736…

0.31023865…

0.62087906…

0.55293091…

0.75235073…

…

我們現在就來證明，我總是可以造出一個0-1之間的數，而且它絕對不在你列的這些無窮多的數裡面。

我是這樣乾的，我取0.82705736…的8，0.31023865…的1…

也就是畫一條對角線，取出這條對角線和你列出的這些數相交的部分，組成一個新的數，也就是0.81095…

現在我用這個0.81095…干這樣一件事，我把裡面的1改成2，非1的數改成1，所以這個數就變成了：

0.12111…

這個數有什麼奇怪的呢？奇怪就奇怪在，它肯定不在上面你列的那無窮多的數裡面。

我們來證明一下。比如，

0.12111…的小數點後第1位（1）和你的第1個數0.82805736…的小數點後第1位的8不一樣…

它的第2位（2）和你的第2個數0.31023865…的小數點後第2位的1不一樣…

它的第3位（1）和你的第3個數0.62087906…的小數點後第3位的0不一樣…

…

實際上，如果你說我造出的數和你的第N個數一樣，你喊你的那個第N個數出來，它敢答應嗎？

根據我設定的規則，我造的數的小數點後的第N位，就是和你的第N個數的小數點後第N位不一樣，它當然不敢動啊。

當然，除了我設定的這種造數規則，還有其他各種各樣的規則，可以把0.81095…變成列表裡沒有的數。

所以，0-1之間的數，不是可數無窮。這個無窮大，比自然數的無窮大可要大多了，因為自然數的無窮大還可以被你列表，但是0-1之間的數卻永遠沒辦法列出來。

那就給這樣的無窮大取個名字唄，就叫不可數無窮吧。

當然，發現無窮大還可以這樣玩的人，並不像我這樣開心。

這個人，是個戰鬥種族裔，在自帶不開心的種族屬性的德意志受的教育。他的名字，叫做格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）。

格奧爾格·康托爾

他是在1874年的時候發現了無窮大的野生品種這個秘密的，並且為現代數學的一個核心——集合論打下了基礎。

不過，當時的數學家們各種不適應無窮大新品種的概念，他們各種嘲笑康托爾，說他是個大PI YAN ZI。

同時期的數學家有多麼不理解他的研究呢？

比如，法國最偉大的數學家之一龐加萊這樣評價康托爾的集合論：「後世的人會把集合論看作一個人曾經生過的一場病。」

又比如，1881年哈勒－維騰貝格大學（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的數學家愛德華·海涅（Eduard Heine）去世後，康托爾推薦了3個數學家頂替他的位子，分別是理查德·戴德金（Richard Dedekind）、安里西·韋伯（Heinrich Weber）、弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）。但好死不死，這3個人都拒絕了康托爾的提名，不肯過來。

別說德高望重的的數學家的隔空放炮，就連身邊的多年好友也不理解自己。

1885年，他多年的好友、瑞典數學家哥斯塔·米塔-列夫勒（G?sta Mittag-Leffler）變成了高級黑，勸他把一篇論文從頂級數學期刊——《數學學報》（Acta Mathematica）上撤稿，理由是這篇文章「早了100年」。

就連他常年的好友、數學家赫爾曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）和戴德金也為了避嫌而分別在1880年和1882年和康托爾中斷了往來。

搞到後來，同時代的大佬哲學家，比如維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）都蹦出來添亂，說康托爾的集合論挑戰了他們對上帝的看法，簡直大不敬。

維特根斯坦

公元前5世紀，畢達哥拉斯的門徒希帕索斯（Hippasus）發現根號2是無理數，證明畢達哥拉斯學派所認為的「所有數都是有理數」的看法是錯的。

死人是不能出賣這個秘密的，因此畢達哥拉斯的其他門徒把希帕索斯丟到海里淹死了，史稱第一次數學危機…

而在兩千年後，發現了2個有理數之間夾著無窮多無理數的康托爾，就這樣，在這些數學家們的強烈鄙視和一連串暴擊之下，在1884年被生生地懟抑鬱了，在人生的最後階段都不想搞數學了，一心一意地撲在莎士比亞和弗蘭西斯·培根之間的關係上。

最後，康托爾住進了德國哈勒的精神病院，並且死在了那裡。

好在死後又過了數十年，康托爾終於被平反。

曾經罵他瀆神的維特根斯坦也良心發現，親自撰文哀悼，說當時學術界指責集合論的說法是「可笑」、「錯誤」的「無稽之談」。

德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）揮一揮手，人都被你們逼死了，你們都憋說了：

「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」(Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k?nnen.)

所以，看不懂無窮大又有什麼關係呢...你只不過犯了和龐加萊、戴德金、維特根斯坦...一樣的錯。你總是可以找到犯了這個錯的人，而且TA不在前面這串人名里。

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