彎曲空間和重力之謎
選自《從一到無窮大》
喬治·伽莫夫
張卜天譯
三、彎曲空間和重力之謎
看完前面這幾十頁關於四維坐標系的討論，讀者們必定感到頭暈腦脹，對此我深表歉意。現在，我邀請讀者到彎曲空間中散個步。人人都知道曲線和曲面是什麼，但「彎曲空間」又是什麼意思呢？這種現象之所以難以想像，與其說在於這個概念的不同尋常，不如說在於我們能從外部觀察曲線和曲面，卻只能從內部來觀察三維空間的曲率，因為我們本身就在三維空間之中。為了理解一個三維的人如何來構想他所處的空間的曲率，我們先來考慮生活在表面上的假想的二維影子生物的狀況。圖39a和39b中有一些影子科學家，他們在「平面世界」和「曲面（球面）世界」上研究自己二維空間的幾何學。可供研究的最簡單的幾何圖形當然是三角形，即由連接三個幾何點的三條直線所組成的圖形。大家在中學幾何學裡都學過，平面上畫的任何平面三角形的三個內角之和都是180°。但很容易看到，上述定理並不適用於在球面上畫的三角形。的確，由兩條經線和一條緯線所形成的球面三角形就有兩個直角的底角，頂角的值則可介於0°與360°之間。以圖39b中那兩個影子科學家所研究的三角形為例，三個角之和等於210°。於是我們看到，通過測量其二維世界中的幾何圖形，影子科學家們無須從外面觀察便可發現那個世界的曲率。
將上述觀察運用於又多了一維的世界，我們自然能夠得出結論說，生活在三維空間中的人類科學家無須躍入第四維，只要測量連接其空間中三點的三條直線之間的夾角便可確定那個空間的曲率。如果三個角之和等於180°，那麼空間就是平坦的，否則就是彎曲的。
不過在作進一步討論之前，我們先要弄清楚「直線」一詞是什麼意思。看到圖39a和圖39b所示的兩個三角形，讀者們也許會說，平面三角形（圖39a）的各邊是真正的直線，而球面上的各邊（圖39b）則是球面上大圓[1]的弧，其實是彎曲的。
圖39 「平面世界」和「曲面世界」上的二維科學家們正在檢查關於三角形內角和的歐幾里得定理。
這種基於我們常識幾何學觀念的說法會使影子科學家們根本不可能發展出他們二維空間的幾何學。直線概念需要一種更一般的數學定義，使它不僅能在歐幾里得幾何中獲得一席之地，還能把表面和空間中更複雜的線包括進來。要想作這樣一種推廣，可以把直線定義為某個表面或空間中描繪兩點之間最短距離的線。在平面幾何中，上述定義當然符合我們常見的直線概念；而在更複雜的曲面的情況下，它會引出一族定義明確的線，在這裡所起的作用就如同普通「直線」在歐幾里得幾何中所起的作用。為了避免誤解，我們常常把描繪曲面上最短距離的線稱為測地線，因為這種觀念最早是在測地學——即測量地球表面的科學——中被引入的。事實上，當我們談起紐約與舊金山的直線距離時，我們是指「筆直地」沿著地球表面的曲線走，而不是像一台巨型鑽機那樣筆直地鑽透地球。
這種把「廣義直線」或「測地線」看成兩點之間最短距離的定義暗示，作這種線有一種簡單的物理方法，那就是在兩點之間拉緊一根繩子。如果在平面上做，你會得到一條普通的直線；如果在球面上做，你會發現這根繩子沿著一個大圓的弧張緊，它對應於球面上的測地線。
通過類似的辦法，我們也可以查明我們所身處的三維空間是平坦的還是彎曲的。我們只需在空間中的三個點之間拉緊繩子，看看由此形成的三個角之和是否等於180°。不過，在設計這樣一個實驗時必須記住兩點：一是實驗必須在非常大的尺度上進行，因為曲面或彎曲空間的一個微小部分對我們來說可能顯得很平坦，我們顯然不能通過在後院里測量出來的結果來確定地球表面的曲率；二是此表面或空間也許在某些區域是平坦的，而在另一些區域是彎曲的，因此可能需要作完整的測量。
愛因斯坦在創立關於彎曲空間的廣義理論時包含了一個了不起的想法，那就是假定物理空間在巨大的質量附近會變彎曲；質量越大，曲率就越大。為了用實驗來驗證這個假說，我們可以環繞一座大山釘三個木樁，在木樁之間拉緊繩子（圖40a），然後測量繩子在三個木樁處形成的夾角。即使選擇了最大的山，哪怕是喜馬拉雅山，你也會發現，考慮到可能的測量誤差，三個角之和將正好等於180°。但這個結果並不必然意味著愛因斯坦是錯的，並不表明大質量的存在不會使其周圍的空間發生彎曲，因為即使是喜馬拉雅山，可能也不會使周圍的空間彎曲到能用我們最精密的測量儀器記錄下來。大家還記得伽利略試圖用遮光燈測量光速時的慘敗吧！（圖31）
圖40
因此不要灰心，找個更大的質量再試一次，比如太陽。
如果你在地球上某個點拴根繩子扯到一顆恆星上去，再從這顆恆星扯到另一顆恆星上，然後再回到地球上原來那個點，並讓太陽圍在繩子組成的三角形內。你瞧，這下要成功了！你會看到，這三個角之和將與180°有顯著不同。如果你沒有足夠長的繩子來作這項實驗，可以把繩子換成一束光線，因為光學告訴我們，光總是走所有可能路線中最短的。
圖40b是這項測量光線夾角的實驗的示意圖。位於太陽兩側的恆星SI和SII發出的光線會聚到經緯儀中，這樣便測出了它們的夾角。然後等太陽離開時再重複進行實驗，並把兩個角度加以比較。如果有所不同，就證明太陽的質量改變了其周圍空間的曲率，使光線偏離了原路。這個實驗最初是愛因斯坦為了檢驗自己的理論而提出來的。將它與圖41所示的二維類比相比較，讀者們可以獲得更好的理解。
圖41
在通常條件下做愛因斯坦的這項實驗顯然有一個實際障礙：耀眼的太陽光使我們看不到它周圍的星星。不過在日全食期間，星星在白天也是清晰可見的。1919 年，一支英國天文遠征隊前往西非的普林西比群島進行實際檢驗，那裡是當年日全食的最佳觀測地點。結果發現，兩顆恆星的角距離在有太陽和沒有太陽介於其間的情況下相差1.61"±0.30"。而愛因斯坦的理論預言這個值為1.75"。後來所做的各種遠征也得到了類似的觀測結果。
當然，1.5角秒並不大，但已足以證明，太陽的質量的確迫使它周圍的空間發生了彎曲。
如果能用其他某個大得多的星體來代替太陽，關於三角形內角和的歐幾里得定理就會出現若干分甚至若干度的誤差。
一個內部的觀察者需要一定的時間和豐富的想像力，才能習慣於彎曲三維空間的觀念，不過一旦被正確理解，它就會和我們所熟知的其他任何古典幾何學概念一樣清晰明確。
我們還需要再前進一步，才能完全理解愛因斯坦的彎曲空間理論及其與萬有引力這個基本問題的關係。我們不要忘了，剛才一直在討論的三維空間只是充當著所有物理現象背景的四維時空世界的一部分。因此，空間的彎曲本身僅僅反映了更一般的四維時空世界的彎曲，而表示這個世界中光線運動和物體運動的四維世界線必須被看成超空間中的曲線。
從這種觀點來考察問題，愛因斯坦得出了一個著名結論：重力現象僅僅是四維時空世界的彎曲所產生的效應。事實上，太陽施加某個力直接作用於行星，使之圍繞太陽沿圓形軌道運動，這種舊的說法現在可以被視為不當而加以拋棄。更準確的說法則是：太陽的質量使它周圍的時空世界發生了彎曲，圖30中行星的世界線之所以是那個樣子，僅僅因為它們是穿過彎曲空間的測地線。
這樣一來，作為一種獨立的力的重力概念就從我們的思想中徹底消失了。取而代之的則是純粹的空間幾何學概念，在這個空間中，所有物體都按照其他大質量所造成的彎曲沿著「最直的線」或測地線運動。
[1]大圓是一個穿過球心的平面切割球面所得到的圓。赤道和子午線均為這樣的大圓。
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