比圖靈機能力更強的計算模型
他們被稱為超計算（Hyper computation）模型。
超計算，是一個研究比圖靈機計算能力更強的計算能力的計算機器的理論計算機科學分支。
主要有以下部分模型：
A.諭示機. （Oracle Machine） \clubsuit
帶「黑箱」的圖靈機。由圖靈本人親自提出，「黑箱」就是一個諭示，經過一個諭示就可以得到一個問題的判定結果。所有 Hypercomputation 的「原型機」。後來的大部分計算模型都是基於諭示機的概念，將其他特性引入圖靈機中使其不受先前的計算能力限制而得到新的模型。
B.Blum–Shub–Smale machine. \clubsuit
可以在實數域內計算並可以儲存無限精度的實數（而經典圖靈機只能儲存可計算數。）而它對應的計算時間是離散的。但是，如果圖靈-丘奇論題在我們宇宙中為真，那麼宇宙中就不存在實數，只存在可計算數。
P.S. Blum–Shub–Smale machine 的配置是一個四元組： (k,r,w,x) ，其中 k 是當前執行指令的數量, r 和 w 是複製寄存器（copy registers）， x 是存儲在 BSS machine 所有寄存器內的內容。機器的計算由配置 (0,0,0,x) 開始，在 k = N （N 為 indexed）時結束計算。而 x 的最終內容被認為是該機器的輸出。
更加具體地，我們假設 R 是一個 ring，BSS machine 在 R 上。 \mathcal =\left \{ 1,...,N \right \} 是 BSS machine 的節點（nodes）集。 \mathcal 為機器的狀態空間， \mathcal 為機器的 full space。而一個函數 H 來自 \mathcal\rightarrow\mathcal ，且映射至每一對 \left( \eta,x \right)\rightarrow\left( \eta^{"} ,x^{"} \right)。這個函數 H 可以定義 BSS machine 的停機集 \Omega _ 。
一個函數 \pi_{\mathcal}:\mathcal 為在 \mathcal 上的 full spaces 的射影（projection）。然後其節點序列 1,\eta^,...,\eta^ 其中 \eta^=\pi_{\mathcal}\left( z^ \right) 。如果在時間 T 內 u\in\mathcal 且滿足z^=\left(N,u \right) 則有限序列 z^,...,z^ 為 BSS machine 的停機計算。而 BSS machine 的停機時間 T_\left( x \right) 為：
T_\left( x \right)=\mathrm\left\{ T_|z^} =\left( N,u_ \right)\right\}
C.量子計算機.
在量子物理中，對一個系統狀態的完整描述需要使用複數,即量子系統的狀態是一個位於 2^ 維向量空間中的一個點。右括向量 |x\rangle 意味著 x 是一個(純)量子態。與這個量子系統相關的希爾伯特空間是 2^ 個量子態作為基向量的復向量（complex vector space）空間，系統在任何時候的狀態由這個希爾伯特空間中的一個單位長度向量表示。
同時系統的疊加態可表示為： \sum_^-1}|S_\rangle }
其中振幅（amplitudes） a_ 為滿足 \Sigma _|a_|^=1 的複數，每一個 |S_\rangle 為希爾伯特空間中的一個基向量。
為了使用物理系統進行計算，我們必須能夠改變系統的狀態。量子力學定律只允許狀態向量的幺正轉換。一個幺正矩陣的共軛轉置（conjugate transpose）等於它的逆矩陣，並且要求狀態變換由酉矩陣來表示，這就保證了得到所有可能結果的概率之和為1。同時量子電路(和量子計算機)的定義只允許局部幺正轉換；也就是說，對固定數目的比特進行酉（幺正）變換。
值得注意的是：量子計算機的計算能力在本質上與圖靈機等價，但在計算複雜度上可以優於圖靈機（如果這也算是計算能力的話。）。現實中的量子計算機的計算能力可以在多項式時間內解決 BQP ，並沒有想像中的那麼強。
但是，儘管目前可以通過結構與演算法優化使計算能力不斷提高，但量子計算機的計算能力還是有真正的上限的：即布萊梅曼極限（Bremermann"s limit）。在量子物理框架下，我們宇宙中所有物質的計算能力都不可能超過每千克 \frac }{\hbar } bits/s（h為普朗克常數，c為光速）這也是量子計算機真正無法逾越的計算速度極限。而且你也不可能真正地達到該極限，因為所需能量會使你的計算機直接坍塌成一個黑洞。
最後值得一提的是，只要對量子力學中算符的線性要求做些微的放寬，例如，溫伯格引入的非線性算符（這些工作出現在溫伯格試圖研討的所謂非線性量子力學中）得到允許，則我們可以在新型量子計算機上用多項式時間求解 PSPACE 完全問題（ NP 完全問題自然不在話下）。
但是： 由於非線性的引入一定會同時容許超光速通信和違背熱力學第二定律的結果，所以提議基本是不可行的。
D.相對論時間效應 \clubsuit
在相對論中，不同物體參考系的時間流逝不一樣，如果我們能讓計算機參考系在時間流逝上快很多，那我們也變相得解決了這個問題。
一台計算機留在地球上讓它做一個複雜的計算問題，然後操作者登上一個航天器，加速到接近光速，一段時間後減速再返回地球。根據：
\Delta t為地球計算機的時間，\Delta \tau 為操作者的時間，c 為光速。 如果操作者可以找到電腦並且它還在運行的話，就可以知道那個複雜問題的答案了。
不過這要使計算機進行指數級的加速，必須讓速度指數級接近於光速，這也意味著所需要的能量指數級增長，而因為能量密度不可能大於黑洞，這也意味著計算機的大小必須指數級增長，某種程度上來說就是 EXPSPACE ，這是不可取的(建造指數級數量的計算機同時計算可達到同樣效果)。
E. 封閉類時曲線計算機. \clubsuit
依靠廣義相對論中擁有閉合時間曲線的封閉類時曲線 (closed timelike curve, CTC) 時空來計算—給計算機配一台時間機器。
在計算理論中，人們比較感興趣的問題之一是，NP 問題，比如哈密爾頓迴路問題（判斷一個圖是否有圈經過每個頂點恰好一次），是否可以在多項式時間內被解決。然而即使是引入了量子計算後，這個問題也一直懸而未決。
20世紀後期，學者們開始探討是否存在在計算能力上可以超越量子計算的模型以及它們的物理實現可能性。
物理學家 Deutsch 提出，如果我們在時間本身上做手腳呢？
於是就有了利用封閉類時曲線來進行加速計算的提議。
但是，利用 closed timelike curve 來做時間旅行的話，就不得不面對一個悖論，即祖父悖論。
目前解決祖父悖論的方法有很多，封閉類時曲線計算機採用的是這個（雖然有很多科學家並不認同這種解決方法。）：
你回到過去殺掉祖父的可能性為 50%，於是你祖父生下你的父母可能性也為 50%，這樣你回到過去的可能性就是 50%，如此循環。於是你和你的祖父其實都是「存在」和「不存在」的疊加，可能性各是 50% （ \frac ）。
那麼為什麼是 50% 的可能性呢？試想，如果你有 1/3 （ \frac ）的可能性回去殺掉祖父，那麼他生下你父母的可能性就變為 2/3，於是你回到過去殺人的可能性就是 2/3（ \frac ），而不是我們所假設的 1/3。這樣就出現了因果不連續。大自然不允許這樣的情況存在（出現悖論），所以它強迫你必須以 50% 的可能性存在。也就是說，如果你進行了「回到過去殺掉祖父」這一行動，那麼大自然說，你的存在必然是 50% 的可能。在量子機制框架下，CTC是自洽的。簡單的解釋下，就是這個世界是個概率空間，以馬爾可夫過程的方式進行運作，如果每次新的概率分布和原來的一樣，馬爾可夫過程的穩定分布則是一組解。那麼，這樣就可以避免祖父悖論了。沒有任何矛盾。
（補充內容）也就是說，如果我們讓 |\varphi \rangle 為"更年輕"版載體粒子的初始態，讓 \hat{\rho } 為與其互動的"更老"版載體粒子的密度算符。然後進入一區域這兩個粒子進行相互作用的聯合密度算符是 ：
|\varphi \rangle \langle\varphi |\otimes \hat{\rho }
而兩粒子在相互作用後的密度算符為： U\left ( |\varphi \rangle \langle\varphi |\otimes \hat{\rho } \right )U^{\dagger }
而量子一致性條件要求, 當它離開交互區域時, 更年輕版的粒子的密度運算元(符)與它進入交互區域時的更老版相同：
這個 \frac 為 Fixed-point，即不動點。這個不動點確保了自然的運行依然符合因果定律。而且大自然會以某種神奇的機制自動的尋找這個「不動點」，以使整個系統因果連續（歷史自治）。
封閉類時曲線計算機具體的計算原理是這個："莎士比亞戲劇"。
一個人抄下莎士比亞全集，然後回到過去將其交給莎士比亞本人。
於是莎士比亞全集就這麼憑空產生了。
原因是，為了保證「那個人」能夠「閱讀到」莎士比亞全集（否則他不可能知道有這麼個東西），它必須足夠出名。而既然他已經帶著它回到過去，那麼為了維護因果連續，大自然這個系統為我們「寫」了一個足夠出名的東西出來。這個東西就是莎士比亞全集，即不動點。
當然，系統同時也曾經嘗試過無數其他的「作品」，甚至一些不成話的亂碼。
這樣一台計算機，能夠隨時進行指向過去的時間旅行。並且，它能夠利用我前面提到的封閉類時曲線（CTC）來解決一些一般情況下非常難以解決的問題。
具體地，比如說「大數分解」問題。
首先，我得給它一個大數，並期望它輸出這個數的任一個因數（除了1）。一般來說，普通計算機也許會在運行100萬年以後給出答案（如果它一直不死機），而封閉類時曲線計算機卻能在短短1秒鐘之內（也許更短）給出答案。
它怎樣工作呢？首先，在輸入數據 A 之後，它記下這個時刻 t ，同時，它得到了一個神秘的輸入數據 x。然後它檢查「 x 是否是 A 的因數 」。如果不是，則 x = x+1，同時如果 x > A ，則 x = 2。之後輸出 x，並利用封閉類時曲線進行時間旅行回到 t 時刻，將 x 輸入自身。
很明顯，這是一個循環，只不過這個循環運行在時間上。而大自然為了維護因果連續，會不斷的做這個循環，尋找這個讓因果連續和歷史自治的不動點，即 "x 是 A 的因數" ；直到輸入的 x 與輸出的 x 相同為止，即直到 x 確實是 A 的因數為止。所以在我們看來，這台電腦會在1秒鐘內直接輸出我們想要的 x。
這就相當於是這個時間機器的時間循環幫我們計算了所有可能性，在一秒鐘內的不斷循環計算之內給出了答案。也就是說，如果封閉類時曲線存在，計算機可以「強迫」自然去解決複雜的組合問題，僅為了讓宇宙的歷史保持一致(比如，去阻止類似祖父悖論這樣的東西的出現)。而且在這些複雜的組合問題裡面就包括了 PSPACE（包括 PSPACE -complete ， NP 類型，也包括了 NP-complete ），甚至可能包涵圖靈不可計算問題。
另外，記P_ , 為允許封閉類時曲線的多項式時間可計算的問題。BQP_ 是結合量子計算機時多項式時間可計算的問題。它們倆能解決地的計算問題級別是等價的：都可以解決PSPACE。
如果 Deutsch 的封閉類時曲線可以允許計算任意長度的字元串，則封閉類時曲線計算機可以判定停機問題。
P.S. 補充說明，以上的 CTC 計算機的計算原理和計算能力是基於 Deutsch 的模型。除此之外，學術界還存在著其他解決祖父悖論的方法，在此之上提出了另一種 CTC 計算機模型。
2009年，另一位物理學家 Seth Lloyd 給出了利用另一種 CTC 模型進行計算的方法，該模型中封閉類時曲線的存在是基於量子態隱形傳輸和事後選擇（post-selection）演算法。與 Deutsch 的封閉類時曲線不同的是，Deutsch 的模型會導致相關性破壞效應，即時間旅行者從 Deutsch 的 CTC 出來進入的宇宙，與他在未來的退出（即他之前所在的那個宇宙）無關。相比之下,後選擇 CTC 保持了相關性,這樣時間旅行者回到他記憶中的同一個宇宙。
Seth Lloyd 的模型解決祖父悖論的方式如下：
運用 Post-selection 演算法能夠確保某一特定類型的量子信息態進行隱形傳輸，而將其他量子信息過濾掉。只有經「後選擇」演算法認定傳輸前後能自相一致的量子信息態，才有資格得到這種「通行證」，進行隱形傳輸，形成一個自治、不產生矛盾的環境狀態。而且 Post-selection 會決定只有有限類型的量子態能被遠距傳輸，即在遠距傳輸前原始物體的量子態也被局限了，由於時間旅行的結果屬於有限概率，祖父悖論將不可能發生。
但是，Seth Lloyd 的模型會削弱封閉類時曲線的計算能力。在 Deutsch 模型中，無論是配經典圖靈機還是量子圖靈機，都可以解決全部 PSPACE。而在 Seth Lloyd 模型中，配經典圖靈機只可以解決 BPP_ ，配量子圖靈機可以解決 PP。
F.我們熟知的神經網路：前提是具有無限精度。 \clubsuit
在 H. Siegelmann 的框架下，同步演化的處理器連接成的有限大小的神經網路由處理器的同步網路組成，其架構由一個一般性的有向圖描述。輸入字元通過 M 個輸入通道傳輸，每次傳一個。輸出端是一個字元流，每個字元由 p 個值表示。圖的節點稱為神經元。每個神經元把一個單變數函數作用到所有神經元的激活值和外部輸入的仿射組合上，以此來更新自己的激活值。
具體地，更新方式是：
x_i(t+1) = \sigma\left(\sum_^N a_ x_j(t) + \sum_^M b_ u_j(t) + c_i\right)\,\,,\,\,i=1,2,3,...
其中 x_ 為激活函數 （function of the activations）； u_ 為輸入； a_,b_,c_ 為神經網路的權重。
其中 \sigma 為飽和線性函數： 1 \end" eeimg="1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin: 0px 3px; display: inline-block;">
注意，在這裡， a_,b_,c_ 都為實數而不是有理數；
具有實權重的神經網路將擁有超越圖靈機的計算能力。
可知：實權重神經網路是一個 nonuniform 模型，它可以在多項式時間內判定 \textrm ;
然而目前權重神經網路是不可能做到的，因為現實中存在熱力學制約和量子基本單位的制約；其實更主要的是熱力學層面的限制。
P.S. 在生物大腦中，神經元之間的信號傳遞靠離子通道；當縮小神經元，可產生電信號的離子通道也會減少，雜訊則會隨之增多（由於離子通道太小，僅憑 thermal vibration 便可輕鬆打開或關閉這些通道；開或關完全是隨機的，於是神經噪音便產生了）；特別地：當軸突直徑為 150 至 200 納米時，它們已經會產生大量的噪音了。
存在噪音的神經網路無限精度是不可能的。
G.無限時間圖靈機. \clubsuit
由 Joel Hamkins 和 Andy Lewis 提出。作為芝諾機的泛化模型，可以在計算任務時間內執行超限數計算步驟（例如 \omega .\omega +1...2\omega ...\omega ^ ...\omega ^{\omega } ...\varepsilon _ ...）。在限定的超限序數時間內, 計算機的組態是根據所有之前的組態定義的。當機器進入一個特殊的極限狀態（limit-state）時,操作帶的方格將取其如下數值：
0, if the square has settled down to 01, if the square has settled down to 11, if the square alternates between 0 and 1 unboundedly often
讀寫頭被放回第一個操作帶方格上, 然後機器從這個極限狀態繼續它的計算。如果在某一時刻沒有 appropriate step 來執行，則該機器停機。因此, 它可以在有限的計算步驟內停機, 或無限計算步驟內停機, 或繼續在超限序數時間內運行, 永不停機。
無限時間圖靈機可以用 \omega 步驟來計算任何遞歸可枚舉函數, 通過將其操作帶上的第一個方格設置為 0, 然後開始計算函數。如果 f（n）=1 ，則第一方格字元再設置為1。具體地，如果 f（n）=1，經過\omega 步驟計算後其第一方格數值保留為1； 如果 f（n）=0，經過\omega 步驟計算後其第一方格數值保留為0。類似的方法也計算任何遞歸可枚舉實數。由於無限時間圖靈機在計算過程中可以使用它們的全部方格, 因此，它們接受無限輸入時 , 也可以產生無限輸出。
更具體地拓展，無限時間圖靈機可以用 n\,\cdot\,\omega 計算步驟計算 \Sigma_^\cup\Pi_^ ;
一個 relation \triangleleft \subseteq A\times A 其中 \mathrm\left( A \right)=\omega 可以編碼一個 x\in\mathbb 而這樣對於第 \left(\langle n,k \rangle \right) 位比特來說
{\displaystyle x={\begin1,&{\text}\,n\triangleleft k{\text{ holds }},\\0,&{\text}\end}}
\left(\langle. , .\rangle \right) 是一個 bijective pairing function， n,k\in A ，如果 x 對應與一個良序（well-ordering） \triangleleft 。則可定義良序集（set of well-ordering） WO , 而 \Pi_^ 可以圖靈歸約至 WO 而任何的 reducing computable function 是無限時間圖靈機可判定的，因為 WO 是無限時間可判定的。所以 \Pi_^ 同樣是無限時間可判定的。
結論： \Pi_^ 是無限時間圖靈機可判定的，同樣 \Sigma_^ 也是無限時間可判定的。
無限時間圖靈機是圖靈機計算時間延長至超限序數的自然延伸。該模型需要在完全連續的（不存在最小時間單位）的時間裡進行計算，然而在現實中不可能做到，因為這樣該機的讀寫頭的速度會違背相對論速度極限亦或無限長度計算時間。
P.S. 無限時間圖靈機更多的是作為可執行 supertask 的機器的「抽象描述」。
H.模糊圖靈機.（Fuzzy Turing Machine） \clubsuit
模糊圖靈機會採用基於模糊邏輯的模糊演算法，可以在「不經意間」解決經典圖靈機不能解決的「停機問題」。由 Wiedermann 提出並證明了該類型圖靈機可以解決不可判定問題，允許非遞歸函數的計算。
模糊圖靈機的計算本身只要求一個大概的分布，而不要求精確值。精確並不是必須的，從而整個計算過程並不要求離散化，至少對輸入不作要求，只要在輸出的時候離散化到某幾個特定範疇。這樣的話，由於計算精度要求帶來的約束就可以放寬。
具體地，一個具有單向磁帶的非確定性模糊圖靈機是一個九元組（nonuple）：
\mathscr=(Q,T,I,\Delta,?\,\,,q_,q_,\mu,*)
其中：Q 是有限狀態集；T 是有限符號集；I 是一個輸入符號集，其中 I\subseteq T ; \Delta 是一個轉移關係（transition relation）並且它是 Q\times T\times Q\times T\times\left\{ L,N,R \right\} 的子集，機器所採取的每一個操作都與一個元素 \delta\in\Delta 相關聯； ? \,\in T ? I 是一個空符號（blank symbol）； q_ 為初始態； q_ 為末態；* 是一個 t-norm.
如果 \mu 是一個從 Q\times T 至 Q\times T \times\left\{ L,N,R \right\} 的部分函數 （partial function）而 T 是一個 Q 的模糊子集，則該模型變為確定性模糊圖靈機。
模糊圖靈機所接受的模糊語言的模糊集定義如下：
L(\mathscr)=\left\{ (w,e(w)) | w\, \mathrm\,\,with\,\,plausibility\,\,degree}\,\,e(w)\right\}
以 \Phi 來表示模糊圖靈機可計算的 t-norms；並且： \Phi=\Pi_^\cup \Sigma_^ .
（P.S. 原先被替換的內容可以在 「模糊圖靈機的逼近性與通用性」找到）
I.廣義相對論中的 Malament-Hogarth 時空。 \clubsuit
這些時空擁有一條奇怪的世界線，世界線的本徵時間 （proper time）是無限的，但時空中存在一個 event p ，沿著世界線發生的所有事件都可以包涵於 event p 中的過去有限區間中。這個 event p 稱為 Malament-Hogarth event 。
一個標準的 Malament-Hogarth 時空模型是這樣的：
Toy Malament-Hogarth spacetimes
首先，在 Minkwski 時空 \left( \Re ^ ,\eta _ \right) ，考慮一個緊緻集 （compact set）C 且 C\subset M；選定一個位於 M 上的標量場 （scalar field）Ω ，位於緊緻集 C 之外且 Ω=1；時空中存在一個 point r 屬於緊緻集 C，在接近 point r 時，Ω 迅速變為無限。
則時空 \left( \Re ^ -r,\Omega ^ \eta _ \right) 是一個 Malament-Hogarth 時空。
時空中的任何類時曲線在接近 point r 時本徵時間將變為無限（圖中的 \gamma _ ），而一條類時曲線在接近時空的 endpoint p 時則它的本徵時間卻是有限的（圖中的 \gamma _ ），而在 \gamma _ 上發生的所有事件都已經成為過去。
即：在 時空 \left( M,g \right) 中，M 為連貫四維豪斯多夫 C^{\infty } 流形，g 為洛倫茲度規：
I. 如果存在類時半曲線 （timelike half-curve）\gamma _ \subset M ；
II.存在一個 event point p，其中：
\mathrm p\in M , \int_{\gamma_}^{}d\tau=\infty , \gamma_\subset I^{-}\left( p \right)
其中 \gamma_\subset I^{-}\left( p \right) 表示為 p 的過去區間。則它為 Malament-Hogarth 時空。此外：
還存在一條未來定向類時半曲線 ( future-directed timelike half curve) ：
\gamma _ \subset M
III.存在一個 event point q ，其中：
\mathrm q\in I^{-}\left( p \right) ， \int_{\gamma_\left(q,p \right)}^{}d\tau
於是有了以下的提議：
讓一台計算機（圖靈機）沿著類時曲線 \gamma _ 移動，由於它的本徵時間是無限的，圖靈機就有時間來進行無限步驟的計算過程。而一個觀測者則沿著類時曲線 \gamma _ 移動，時間是有限的，當觀測者到達 p 時，圖靈機的無限計算也已經完成了。
更正一下，Malament-Hogarth 時空不是單一的時空結構，事實上它是一類特殊時空結構的統稱。
它們包括：
I. anti-de Sitter 時空
II. Reissner-Nordstr?m 時空 （RN 黑洞中）
III.Kerr-Newman 時空 （ 克爾-紐曼黑洞中）
IV.一個"捲起來"的 Minkowski 時空（補充說明，該 Malament-Hogarth 時空中的時間維被卷了起來，形成封閉類時曲線。）
這些時空相當於是把Malament-Hogarth 時空塑造成一台時空版的無限機器。使得計算機器任意的無限枚舉都可以在一個常數時間內完成。
Malament-Hogarth 時空的時空結構允許超計算能力逐級遞增，利用這些時空結構，
數學家 Mark Hogarth 把 Malament-Hogarth 時空構造成一個叫 SAD -計算機 （SAD machine）的非圖靈計算機，它們各部分依次能判定不可解度不同的集合。
簡要地講，在 Malament-Hogarth 時空中進行操作，\gamma_ 為在無限世界線上運行的圖靈機（記作 \mathrm} ），\gamma _ 為觀測者。
它可以判定任何的任一如下關係形式 ：
S(z)= \exists xR\left( x,z \right) 或者 S\left( z \right) = \forall xR\left( x,z \right) ，其中 R 是遞歸關係。上述方式就相當於構造了一台 SAD_ 計算機。
在 Malament-Hogarth 時空的操作區域為 O_ ,i=1,2,3,...n... ，則 ：
I. O_ \subset I^{-} \left( O_ \right) ； II. O_ \subset I^{-} \left( p \right) 。
在 Malament-Hogarth 時空區域中重複 SAD_ 操作，\gamma _ 為一台 \mathrm} 來判定 \forall yR(i,y) , 然後另外一台 \mathrm} 來收集各部分結果判定 \exists x\forall yR(x,y) 。\gamma _ 為觀測者，收集結果。
最終構造了 SAD_ 計算機。它可以判定：
S_ \left( x_ \right) =\forall x_{}\exists yR\left( x,y \right) =\forall x_ \exists x_ R\left( x_ ,x_ ,x_ \right)
或者
S_^{"}\left ( x_ \right )=\exists x\forall yR\left ( x,y \right )=\exists x_\forall x_R\left ( x_ ,x_,x_\right )
重複 SAD_ 操作，得到SAD_ 計算機；重複 SAD_ 操作，得到 SAD_ 計算機 ...
最終，重複所有的操作後。可得到如下遞歸關係：
S_\left( x_ \right)=\forall x_ \exists x_...\forall x_\exists x_ R\left(x_ ,...,x_\right)
或
S_^{"}\left( x_ \right)=\exists x_\forall x_...\exists x_ \forall x_R\left(x_ ,...,x_\right)
於是，我們得到了一台 SAD_ 時空計算機.
在SAD_ 時空中：
I. 當 n=1時，為 Malament-Hogarth 時空 ；
II. 當 n >1 時， SAD_ 時空計算機由 i 台 SAD_ 計算機「串聯」構成；
III.SAD_ 計算機可以判定克林算數層級中的 \Sigma _^ \cup \Pi _^ 層級；SAD_ 計算機可以判定 \Sigma _^ \cup \Pi _^ 層級；SAD_ 計算機可以判定 \Sigma _^ \cup \Pi _^ 層級；...；而最終 SAD_ 計算機可以判定 \Sigma _^ \cup \Pi _^ 層級。
結論：
I. \mathbf_ 可以判定 \Sigma _^ \cup \Pi _^ ；
II. \mathbf_ 可以映射至算數層級的每一層；SAD machines 可以判定完整的算數層級。
最終，把所有操作全部 "串連" 在一起。相當於構造了 AD ( Arithmetical sentence deciding ) machine。
AD machine 可以精確地求解 \aleph _ 函數和判定 Arithmetic 。
P.S. 對 Kerr 時空進行操作步驟如圖所示：
首先，對黑洞時空世界線（位於克爾-紐曼黑洞的赤道平面的軌道）運行的圖靈機 （Orbiting Machine）進行設置計算任務。
接著，圖靈機開始無窮無盡的計算任務。計算任務的計算步驟與計算時間為無限。計算機將會經歷無限數量於觀測者的本徵時間。
然後，觀測者（操作人員）（Falling Observer）進入內視界， Malament-Hogarth event 發生，「圖靈無限計算任務」這一事件在 Malament-Hogarth event 的有限時間內被觀測者（操作人員）所經過。（觀測者的這一路徑只會用掉有限的本徵時間。）
接著，觀測者穿過 Malament-Hogarth event 並從內視界離開黑洞，最終觀測者離開黑洞時，圖靈機的無限計算任務也已經完成。在觀測者的參考系來看就相當於是圖靈機在有限時間內完成了無限多次的計算步驟。
最後，在圖靈機確認完成計算任務（停機）後發送計算結果給觀測者，觀測者收到計算結果後，（操作人員）發出終止指令。計算完成。
Malament-Hogarth 時空具體可以幹些什麼呢？
答：如果 Malament-Hogarth 時空存在且計算操作可以實現，則它可以實現超級任務（Supertask）！
超級任務（Supertask），是芝諾悖論的現代變體。指的是有限時間內完成無限多次操作序列的任務。比如說 π 的最後一位數字；湯姆遜燈；等等。
完成該任務的機器稱為 infinite machine 。
目前主流的認識是：超級任務是不可能完成的， infinite machine 不存在。
不過，在 Malament-Hogarth 時空中，在有限時間內完成無限多次操作的過程，理論上是可以完成的。
J.芝諾機（Zeno Mchine） \clubsuit
該模型使用\frac } 的時間來完成演算法的第n步。可以在有限的時間內完成無限的運算步驟。舉個例子，一種演算法第一步需要0.5s，第二步需要0.25s，第三步需要0.125s，...在1秒鐘之後，這段無窮步驟的演算法就可以完成。
另外經典圖靈機的「停機問題」就可以在芝諾機上由如下的演算法給出解答：
begin program write 0 on the first position of the output tape; begin loop simulate 1 successive step of the given Turing machine on the given input; if the Turing machine has halted, then write 1 on the first position of the output tape and break out of loop; end loopend program
該演算法的另一種形式：
begin write 1 to the first cell of the tape (output) i ← 1 while i > 0 do run given TM m for given input n for i steps if m halts then write 0 to the first cell of the tape i ← i + 1 end if end while end
P.S.該模型同樣需要可以無限分割（連續）的時間，或者保證計算機器的計算步驟可以無限的加速。可惜我們的宇宙中造不出這樣的計算機器。
雖然在量子理論的普朗克時間限制和相對論的光速限制下物理不允許這樣的機器出現在現實世界。但是，在現有的理論，比如廣義相對論，或許允許我們利用特殊的時空結構以另外一種方式——"計算機的無限計算步驟可以在另一個觀察者有限的本徵時間內完成"來達到同樣的效果，即 Malament-Hogarth 時空。
K.Fast-growing constructs Oracle.
Dmytro Taranovsky 提出了一個傳統非有限分析分支的有限模型，圍繞一個配備一個具有以不可計算速率快速增加功能的增長函數作為諭示的圖靈機，能夠給出一個二階算術的解答。
更為具體地：如果存在一個全函數 （total function）A 對於函數 B，且對於每一個自然數 n 來說總有 B\left( n \right)\geq A\left( n \right) ，則會有一種語言 L 可由這台配有該 Oracle 的圖靈機所識別，當且僅當 S 位於 L 中時該機器使用 B 作為一個諭示在輸入 S 後停機。
由於這些謂詞是用某些自然有限結構的性質來解釋的，因此可以說它們是有限的。
結論：一台圖靈機配 fast-growing sequence oracle 能力等價於 \Pi_^ 。
對於一個足夠快速增長的序列 A，遞歸關係有一個通過 n 的無限下行路徑（infinite descending path）當且僅當一個無限下行路徑通過 n 以及然後通過一個A(max(n,m)) 的自然數 ，其中 m 是遞歸定義關係的長度。根據 K?nig"s lemma ，如果關係是良基（well-found）的，那麼 tree 是有限的，因此機器的搜索最終會發現關係是 well-found 的。相反的，對於每台機器和輸入，機器對每一個 A:?→? 都有一個停機計算當且僅當機器接收的答案至少和 A 給出的答案一樣大。
L. Active Element Machine \clubsuit
Michael Stephen Fiske 的 Active Element Machine 由被稱為 Active Element （AE）的計算基元（computational primitives）組成。
Active Element 分為三類，分別是：輸入，計算，輸出。
每個 AE 從其它 AE 接收信息；並將信息傳送到其它的 AE 。現在引入對於整數（integers）集的拓展： \bar{\mathbb}=\left\{ m+kdT:m,k\in \mathbb;\,dT: \mathrm\right\}
\Gamma,\Delta,\Omega 分別是輸入，計算，輸出 AE 的索引集 （index set）， \Gamma\cap \Omega 以及 \Omega \cap\Delta 可以為空集或非空集。
整個機器架構定義為一個三元組： \mathscr=\left( \mathscr\right) ；包括一組輸入 AE 。具體地：
\mathscr=\left\{ E_:i\in\Gamma \right\}, \mathscr=\left\{ E_:i\in\Omega\right\}, \mathscr=\left\{ E_:i\in\Delta\right\}
每個計算，輸出 AE E_ 具有以下屬性：
一個 threshold \theta_；一個 refractory period 0" eeimg="1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin: 0px 3px; display: inline-block;"> ; 一組 pulse amplitudes ： \left\ :k\in\Gamma \cup \Omega\right\} ; 一組 transmission times ： 0:k\in \Gamma\cup \Omega \right\}" eeimg="1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin: 0px 3px; display: inline-block;"> ;
時間函數 \Psi_\left( t \right)=\textrm\left\{ s:s
一個二進位輸出函數 g_\left( t \right) 用來確定 E_ 是否會在時間 t 被觸發，則：
\theta_,t\geq \Psi _\left( t \right)+r_}{\text{ holds}};\\0, &{\text{}}t ；
定義 W_\left( t \right)=\left\{ s:\textrm\, E_\,\textrm\,s\,\textrm\,0\leq t-s-\tau_
W_\left( t \right) 中的元素個數以 \left| W_\left( t \right) \right| 表示，若 W_\left( t \right)=\emptyset 則 \left| W_\left( t \right) \right|=0 ；
一組輸入函數 \left\{ \phi_:k\in\Gamma \cup Q \right\} ，輸入函數值的計算方式為： \phi_\left( t \right)=\left| W_ \left( t \right)\right|A_\left( t\right)
pulse widths，refractory period，transmission times 為正整數；pulse amplitudes 和 thresholds 為整數；代表這些函數參數的時間 t 為 \bar{\mathbb} 的一個元素。
由於 AEM 能夠在執行其程序時更改其體系結構，並且使用來自環境中的隨機比特，AEM 可以表示 \left[ 0,1 \right] 中的任意一個實數。
任意一類語言 L 且 L\subseteq\left\{ 0,1 \right\}^{\ast} 都可以被 AEM 所識別。
M. Self-similar cellular automata \clubsuit
設想在一個特殊的宇宙中，該宇宙支持著時空的無限可分性。
目前，「時空可無限分割」這一假設屬性已經被用於探討超越圖靈計算的提議，比如 Zeno Machine；這個模型是基於圖靈機模型拓展而來。那麼，有一個問題是：基於「時空的無限可分性」這一屬性，其他的可計算模型是否可以擁有超越圖靈機的計算能力呢？
答案是肯定的。
Martin Schaller 和 K. Svozil 給出了基於這一屬性的元胞自動機（cellular automata）的構架。
普通元胞自動機的基本結構是由胞體在空間和時間的均勻鑲嵌所決定的。如下圖所示：
元胞自動機的演化圖示
而對於 Self-similar cellular automata 作為一個自動機：無限多個胞體在一維晶格上運行。同一胞體的每兩次更新之間的大小和時間根據其在晶格中的位置而變化。
對於每個胞體 j ，大小為： \frac} ；兩次更新之間的時間與胞體大小成正比。
同時自動機所在的晶格是嵌入至整個 \mathbb 中：對於起始胞體 j 來說 j\mapsto 2-\frac} ；這樣整個晶格被映射至 \left( -\infty,2 \right) ；而胞體 0 佔據區間 [0,1) 。整個機器如下圖所示：
一個 Self-similar cellular automata 的演化；橫為時間，縱為 cells
接下來：
一個 Self-similar cellular automata 是一個三元組 ： \mathscr=\left( S,f_,f_ \right) ；S 為有限狀態集；後兩項為特定規則 （local rule）。每個胞體都有狀態集中的一個狀態，cell j 會在時間 \frac} 更新自己的狀態（k 為一個整數）。在任何給定的時間,自動機的的配置是一個映射 c:\mathbb\rightarrow S 它指定所有細胞的狀態。另外，cell j 會在時間 \frac}=\frac} 與自己的左鄰 cell 同時進行再次轉換。這種轉換稱為 coupled ，一個胞體進行 coupled 時顏色為灰色。
下面利用該自動機來構造一個可以進行超計算的機器。
對於一台任意圖靈機 M，這台自動機利用一個靜態構成的 \mathscr_=\left(S,f_,f_, \square \right) 來模擬 M。
一個集合 ： T=\left( Q\times \left\{ \triangleleft ,\triangleright \right\} \right)\cup\Gamma ；而自動機的狀態集 S 為： S=T\cup\left( T\times\left\{ \blacktriangleright \right\} \right)\cup\left\{ \square , \blacksquare ,\diamond \right\} 。位於狀態集 Q 內的 q，使用 q^{\triangleleft } 表示 \left( q,\triangleleft \right) ; q^{\triangleright }表示 \left( q, \triangleright \right) 。
\mathscr_ 的 local rules 由 block transformations 指定， x_{\blacktriangleright } 表示位於 T\times\left\{ \blacktriangleright \right\} 中的一個元素 \left( x, \blacktriangleright \right) ; x\in T;a,b\in\Gamma;q,p\in Q
定義機器的 block transformations ：
\begin \blacksquare x \mapsto\blacksquare x_{\blacktriangleright }\, \textrm\,x\neq q^{\triangleleft } \,&x\square \mapsto\diamond x \, \textrm\, x \neq q^{\triangleright }\\ x_{\blacktriangleright} \diamond \mapsto\diamond x\,&q^{\triangleright } \square \mapsto q^{\triangleright }B_{\blacktriangleright } \\ a\,b \mapsto a\,b_{\blacktriangleright} & B_{\blacktriangleright }\square\mapsto \diamond B\\ q^{\triangleleft }a \mapsto q^{\triangleleft }a_{\blacktriangleright } & \blacksquare \diamond \mapsto \diamond \blacksquare \\ a\,q^{\triangleright } \mapsto a\,q_{\blacktriangleright }^{\triangleright } & \end
接下來：
\mathscr_ 使用配置 \blacksquare q_^{\triangleright }\diamond a_\diamond a_...\diamond a_\diamond 來模擬在輸入 a_a_...a_ 上運行的圖靈機。 Q\times\left\{ \triangleleft ,\triangleright \right\} 中的一個符號充當圖靈機的讀寫頭的作用，面向左 \triangleleft 或右 \triangleright ，從而指示接下來掃描左側還是右側的操作帶上的符號。通過每個帶上符號和讀寫頭兩個狀態 x 和 x_{\blacktriangleright } 的 stop-and-go 同步形式實現可控轉換。轉換由左分隔符 \blacksquare 開始；如果與符號 x 相鄰則 block transformations 中的 \blacksquare x \mapsto\blacksquare x_{\blacktriangleright }\, \textrm\,x\neq q^{\triangleleft } \, 會將 x 轉換為 x_{\blacktriangleright } 並且它向右移動一格變回 x 並與 \diamond 交換位置。如果 x,y\in T 且兩個符號相鄰，則右邊符號被觸發為狀態 y_{\blacktriangleright } 。如果它們其中一個位於帶上；另一個作為圖靈機讀寫頭的作用，則自動機利用餘下的 block transformations:
\begin \mathrm\,\delta (q,a)=(p,b,R) & \mathrm\,\delta (q,a)=(p,b,L) \\ q^{\triangleright }a\mapsto bp_{\blacktriangleright }^{\triangleright } & q^{\triangleright }a\mapsto p^{\triangleleft }b_{\blacktriangleright}\\ aq^{\triangleleft }\mapsto bp_{\blacktriangleright }^{\triangleright } & aq^{\triangleleft }\mapsto p^{\triangleleft }b_{\blacktriangleright } \end
來模擬在圖靈機上的一個計算步驟。
最終結論： \mathscr_ 停機時間會在少於 4 個時間單位當且僅當圖靈機 M 在輸入 w 上停機；如果 M 不停機則 \mathscr_ 會在 4 個時間單位時進入配置 \diamond ^{\infty} 。
N.極限遞歸 \clubsuit
由 Gold 提出的極限遞歸理論中圖靈停機問題可以在一個有限時間裡得到判定結果，不過我們不能知道這個結果在確切何時取得，於是大部分學者認為在無限長時間後才能取得結果。
更具體地：如果一個函數 P 是一個極限遞歸謂詞，則滿足一個廣義遞歸函數 f 對於每一個 (x_，...，x_) 當且僅當
P\left( x_ ,...,x_\right)\Longleftrightarrow \lim_ ,...,x_,y\right)}=1
\neg P\left( x_ ,...,x_\right)\Longleftrightarrow \lim_ ,...,x_,y\right)}=0
其中：
\lim_,...,x_ ,y\right)}=k\overset{\underset{\mathrm}{}}{=}\exists y \forall z\left( z\geq y \rightarrow f\left( x_,...,x_ ,z\right)=k\right)
而極限遞歸謂詞 P 位於 \Delta_^ 。
O.波計算機
在物理學家費曼的演講《The Character of Physical Law》中提及，對於物理現象的計算機模擬時，即使做了全面離散化也不保證模擬的有效性，從而所謂有限自然假說的初衷無法滿足。在實數域上可以存在無限多不可計算的連續函數，並且求導和積分不保持可計算性。那麼描述某個物理體系的微分方程完全可以有一個不可計算的解，不滿足「總能用有限步運算逼近到充分的精度」的條件。上世紀80年代，文獻 Advances in mathematics 39,215-239（1981）中：機械波的存在遵循著三維波動方程（wave equation）：
\frac{\partial^2 u}}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u }{\partial z^2}-\frac{\partial^2u }{\partial t^2}=0
而為了使該波動方程具有唯一的解，這個唯一解 u 將由兩個初始條件（initial conditions）所決定：
當 t = 0 時 ： \frac{\partial u}{\partial t}\left( x,y,z,0 \right)=0 和 u\left( x,y,z,0 \right)
而初始條件可由一個圖靈可計算函數 f 所對應： u\left( x,y,z,0 \right)=f\left( x,y,z \right)
但在 t 時刻後，f 在波動方程中的解 u\left( x,y,z,t \right) 不可計算，且該解的數值 u\left( 0,0,0,1 \right) 是一個不可計算的實數。
即：可以用機械波構造出了初始條件可計算，但解一般不可計算的一個範例。曾被提議製造利用機械波為計算介質進行超計算的波計算機。
Q.超遞歸演算法（Super-recursive algorithm）. \clubsuit
由 Mark Burgin 提出，並在此基礎上提出好幾種新的計算模型（例如Gold提出的極限遞歸就是其中之一。）。他的論述依賴於對演算法更廣泛的定義， 這種定義上的擴展使得一些歸納性圖靈機包含的不可計算函數變得可計算。並且 Mark Burgin 相信他的超遞歸演算法理論可用於反證丘奇-圖靈論題。不過這種對邱奇-圖靈論題的解讀與計算機科學的常規解讀不同，把超遞歸演算法歸於邱奇-圖靈意義上的演算法的這種看法並未受到計算領域的廣泛接受。
Mark Burgin 的歸納圖靈機 （inductive Turing Machine）與經典圖靈機類似，與之不同的是在於它們決定輸出的方式(即:，計算的結果)。在它的操作過程中，一個歸納機器在連續的方格上列印符號，這些符號構成了計算結果的符號序列。有時，如果機器進入了它的停機狀態，它就會停止運轉，就像一台普通圖靈機一樣。然而，有些情況下，機器實際上並沒有停止，但這並不能阻止機器給出結果。
所以：對於任意圖靈機 \mathscr ，有一個歸納圖靈機 \mathscr ， \mathscr 可以計算與 \mathscr 相同的函數。
歸納圖靈機有三個部件組成： hardware, software, infware. 接受的語言是一個三元組 \left( L_ ,L_,L_\right) 且 L_ \ne L_\ne L_ \ne L_ 。
特別地， \mathscr 是一個歸納圖靈機，它包含一個通用圖靈機 \mathscr 作為子程序。給定一個圖靈機 \mathscr的字元串 u 和一個 description D\left( \mathscr \right) 。 \mathscr 使用 \mathscr 來模擬輸入 u 運行的 \mathscr 。在操作過程中， \mathscr 在輸出磁帶上寫入一個 0 。如果 \mathscr 停機，意味著 \mathscr 在輸入 u 上停機： \mathscr 寫入1。現在 \mathscr 的計算結果等於 1 如果 \mathscr 停機，否則等於0。
更重要的是：一個關係 Y\in \Pi_^\cup \Sigma_^ 都存在一個 n 階歸納圖靈機使得可以判定 Y 。
R.量子引力計算機
著名的數學物理學家羅傑·彭羅斯 ( Roger Penrose ) 走出了更加大膽的一步，他推測量子引力不可能用普通計算機或者量子計算機來模擬，即使有可以任你處置的無限的時間和內存。彭羅斯認為應把模擬量子引力的問題歸入邏輯學家阿蘭.圖靈( Alan Turing )和庫爾特·科德爾( Kurt Godel )在1930年代所研究的一類問題中，這些問題里有的比 NP 完全問題還要難解--比如確定一個給定的計算機程序是否會停止運行的問題( 比如說「停機問題」 )。
最新的量子引力學的進展好像支持一個相反的結論，即它們暗示一台標準的量子計算機甚至可以模擬量子引力過程，比如黑洞的形成與消失。最值得一提的是源自弦理論的 Ads/CFT 對偶 ，它斷定了兩種看起來極為不同的理論之間的「對偶性」。對偶的一邊是反德西特空間( Anti de Sitter )理論:它是關於一個假想宇宙的一個理論，這個假想宇宙有一個負的宇宙常數，它導致整個宇宙被一個反射邊界所包圍。而另一邊則是共場理論( Conformal Field Theory ):一個沒有引力，只存在於 AdS 空間的邊界上的「普通」量子場理論。Ads/CFT 對偶原理已有壓倒性的(雖非確鑿的)證據指出，任何關於在 AdS 空間中是什麼情況的問題都可以轉化為關於 CFT 的一個「相當的」問題，反之亦然。
這就意味著，如果我們想在AdS空間中模擬量子引力現象，我們就可能可以先把這個問題轉化到CFT 那一邊，然後在量子計算機中模擬這個 CFT ，最後再將結果轉化回 AdS 中。這其中最關鍵的一點是，因為 CFT 不包括引力，在量子計算機中模擬它的難度就「僅僅」是相對簡單的如何在量子計算機中模擬量子場論的問題。更廣義地說，我們能從 AdS/CFT 中所了解到的是，即便量子引力論看起來「瘋狂」--即使它包括了非定域性、蟲洞及其他的新奇事物--它也可能有一個更加「馴服」的與之對偶的敘述方式。(要讓這成為可能， AdS 與 CFT 描述之間的轉化需要在計算上是高效的--也有可能有些情形下它沒辦法高效。)
S. Coupled Turing Machines \clubsuit
該模型也由 Copeland 和 Sylvan 提出。這是在計算過程中擁有一個或多個輸入通道來提供輸入的計算模型。這一輸入可以以機器的字母表中的一個符號的形式寫在機器的操作帶的第一個方格上。這個方格是為特殊的輸入而保留，不能由讀寫頭寫入。與諭示機一樣, 特定的輸入序列決定了 Coupled Turing Machines 可以執行的功能。例如，如果模型有一個又一個的 \tau 位輸入，則該模型可以計算所有其他的遞歸可枚舉函數。
具體地：設一個數 u\in\mathbb 是一個位於 \left\{ 0,1 \right\} 之間的一個不可計算實數，且形式為： 0.a_a_a_...
Coupled Turing Machine 的輸入通道在 T 的操作帶的一個方格上寫入符號，輸入數據流中的第一個符號是 a_ ，第二個符號是 a_ ，依此類推。當每一個符號被寫入時，CTM 可以執行一些微不足道的計算，例如：乘以2；並將結果寫在操作帶的某些指定的方格上。
所以：一個 CTM 可以計算出比通用圖靈機更多的東西。
P.S 被換下來的 Asynchronous Networks [1] 和 Error Prone [2] 模型可查閱：
[1] Copeland and Sylvan , Beyond the universal Turing machine. Australasian Journal of Philosophy 77, 1 (1999), 44–66.
[2] Toby Ord , Hypercomputation:computing more than the Turing barrier
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在計算理論歷史上，也有人提出過量子版本的 hypercomputation 模型。
T.量子模型. \clubsuit
1990年，Norton 探討了 Supertask 在量子領域實現的可能性。他考慮了一個具有無限晶格點陣（Infinite lattice）的交互諧振子（Harmonic oscillators）系統。如下圖所示：
Norton 假設每兩個諧振子之間的 spring 都具有相同張力以及相同的系統運動方程解，Norton 發現它可以自發地在有限的時間內產生無限連續的振蕩。利用這個系統作為模型, Norton 製造了一個類似 Supertask 的諧振子量子晶格點陣。
以一個無限晶格點陣的 2 維量子系統作起始，其每一個諧振子都具有一個基態 |\phi \rangle 和一個激發態|\chi \rangle 。考慮粒子們的 basis vectors， 其向量集 （Collection of vectors）：
|0\rangle= |\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes...
|1\rangle= |\chi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes...
|2\rangle= |\phi\rangle\otimes|\chi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes...
|3\rangle= |\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\chi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes...
|4\rangle= |\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\chi\rangle\otimes...
......
之後 Norton 得到了這交互系統薛定諤方程的微分形式：
i\frac}=0 ,...,\,\,\,i\frac}=C_+ia\left( C_-C_ \right),...
Norton 爭辯說, 他的解決方案中在無限晶格中的所有節點開始由基態轉變為激發態的時間是有限的。
Norton 的量子 Supertask 需要一個非標準（Non-standard）的量子系統，因為他所提出的動力學演化不是幺正（unitary）的, 即使它服從一個微分方程形式的薛定諤方程的波函數空間中。
U. 量子模型二. \clubsuit
如果我們不斷地監控一個量子系統, 比如一個不穩定的原子, 會發生什麼？預測的效果是系統不會改變, 即使它是一個不穩定的原子，也會迅速衰變。
1977年，Misra 和 Sudarshan 提出對一個芝諾式 supertask 的系統進行「精確監測」。假設一個不穩定的原子是根據某種幺正演化定律（law of unitary evolution ） U_ 而演化的。假設我們衡量的原子是否已經發生衰變是遵循芝諾二分法的回歸形式。即我們在時間 t 進行測量；而後在時間 \frac 進行測量；接著在時間 \frac 進行測量，等等。讓 E 為粒子初始未衰變狀態的射影（projection）。在 supertask 的每個階段找到原子未衰變階段然後對應於每個序列：
EU_{\frac}}E,\left (n \geq 0 \right )
Misra 和 Sudarshan 使用此序列作為一種模型進行連續測量，假設上面的序列收斂於一個運算元： T\left ( t \right )=E 而這樣做的所有時間大於或等於零。然後在固定時間 t=0 對原子進行連續觀測。他們從這個假設證明, 對於大多數合理的量子系統, 如果初始狀態在 \textrm\left ( \rho E \right )=1 的意義上是未衰變的，那麼原子在任意給定時間間隔 \left [ 0,1 \right ] 中衰變的概率等於零。也就是說, 持續的監測意味著原子不會衰變。
同時意味著，如果我們可以連續地測量一個不穩定原子以觀察它是否仍然處於初始狀態，則始終能發現該原子處於初始狀態。
這個提議引發了大量的反響。Ghirardi 等人和 Pati 反對這樣的芝諾式量子測量模型，因為它與量子理論的其他特徵，如時間-能量不確定關係（time-energy uncertainty relations）相抵觸。不過 Bokulish 認為，這種 Supertask 仍然可以進行：當滿足對系統的測量（measurement ）與系統的幺正演化（unitary evolution）相交換且 E 為其能量本徵態的投影（projection）。
V. Hypertask 模型 \clubsuit
Miha Habi? 對原有的 Hamkins 無限時間圖靈機進行拓展，得到了一個新的計算模型並在計算能力上與原有的無限時間圖靈機進行比較。
與無限時間圖靈機不同的是 Miha 模型會使用一個 「基數狀態」（cardinal state）取代了「極限狀態」。並且機器在 \kappa 階段 （stage \kappa ）時允許 \kappa 是一個不可數的無窮基數並執行以下操作：機器讀寫頭位於第一個方格上；機器位於基數狀態，操作帶每一個方格的數值為前一個方格數值的極限上界 （lim sup）。
定義機器的可計算函數都位於 Cantor space 2^{\omega} 上。接下來：
該機器可判定無限時間圖靈機的停機問題。
ITTM 的停機問題： 0^{\blacktriangledown }=\left\{ \left( p,x \right);\varphi_ \left( x \right)\downarrow\right\}
一個 stabilization problem ： S=\left\{ \left( p,x \right); \mathrm\varphi_\left( x \right)\mathrm\right\}
0^{\blacktriangledown } 可簡化為 S 的可判定性：給定一個程序 p 和一個輸入 x ，同時構造一個類似與 p 的新程序 p" 可在完成 p 的各項指令後定義一個特定單元方格格式（稱作 flag）；程序 p 會在 x 上停機當且僅當 p" 在 x 上穩定。
同時 S 也是可判定的，考慮一個演算法：一對 \left( p,x \right) 它會模擬 \varphi_\left( x \right) 和每次模擬輸出變化的特定單元格格式。當到達一個基數狀態時，如果 flag 顯示為 1，則輸出 「No」，顯示為 0 則輸出 「Yes」。這個演算法可判定 S。
接下來：
機器的可計算函數都會在時間 \aleph_{\omega_} 內停機，也就是說，在它的計算任務內至多可以執行的計算步驟總數為 \aleph_{\omega_}。這是一個相當大的不可數基數了。
在一個有限任務序列中可以執行不可數無窮數量的操作步驟，則稱它為超任務 （Hypertask）。如果是可數無窮，為超級任務（Supertask）。
不過即使把計算任務步驟拓展到不可數無窮，雖然模型計算能力得到了提升，但並不顯著。
結論：該模型與配了 0^{\blacktriangledown } 諭示的無限時間圖靈機在能力上是等價的。
想像一下給無限時間圖靈機配一個跳躍運算元（jump-operator）黑箱：它可以把一個實數寫在一個特殊帶上，然後一個 x^{\bigtriangledown } jump 出現在另一條特殊帶上。
這種情況下可看做配了 0^{\blacktriangledown } 的無限時間諭示機。然而，它的計算能力仍然位於 \Delta_^ 內。
W. 快子模型 \clubsuit
在相對論中，一個基本事實是： E^-p^=m^ 。
E 是一個物體的能量, p 是它的動量, m 是它的靜質量,我們就稱之為「質量」。其中光速 c=1 。
具有質量的普通物質，處於光錐之內，速度小於光速；
若 E^=p^ ：零質量物質，存在光錐之上，速度等於光速；
但理論上還存在另外一種情況，速度大於光速的物質：快子（tachyon）。
單個快子的波函數滿足描述自旋零粒子的一般方程即 Klein-Gordon quation： \left( \square +m^\right)\varphi=0 .
其中 \square 是達朗伯算符 （d"Alembertian），其 3+1 維形式為：
\square=\frac{\partial^}{\partial t^}-\frac{\partial^}{\partial x^}-\frac{\partial^}{\partial y^}-\frac{\partial^}{\partial z^} ；
不同之處在於快子的 m^ 是負的，所以質量為虛數。
雖然目前在實驗上還沒有觀測到快子態, 但是相對論在理論上給出了其存在的可能性。
Takaaki Musha 探討了基於快子的計算模型是否會擁有超越圖靈機的能力。
首先，Feynmann 定義了計算過程中每一步所需的能量為：
per \,\,step=2k_T\frac 其中 k_ 為玻爾茲曼常數，T 為溫度，f 為計算正向速率，b為逆向速率。假設在計算過程中沒有能量供應以及參數 f 和 b 是固定的，則無限次計算步驟可表示為：
E_=kE_,...,E_=kE_,... 其中 E_=k_，k=\frac
E_ 為第 n 步計算的能量。從上面得到 E_=k^E_ ,然後每一個計算步驟的能量損失為： \Delta E_=E_-E_=\left( 1-k \right)k^E_ 其中 n\geq1 。
而一個平均能量為 \Delta E 的量子系統演化出一個正交態（orthogonal state）的時間 \Delta t 至少為 ：
\Delta t=\frac{\pi \hbar} ， 設置 E=\Delta E_ ， 則無限計算步驟的總能量就等於 E_ 。
這樣無限計算步驟所需要的總時間為：
T=\sum_^{\infty}{\Delta t_}=\frac{\pi \hbar}}\sum_^{\infty}{\frac{\left( 1-k \right)k^}}
不過如果僅僅是這樣的話，上式在滿足 0
現在引入快子。
相對論關係對於快子也是有效的，即使是一個虛質量 i \cdot\,m_ ; 於是得到了新形式： E=\fracc^}{\sqrt{\left( \frac \right)^-1}}\,\,\,\,\,\,p=\fracv}{\sqrt{\left( \frac \right)^-1}}
然而不確定性關係對於快子也是有效的，定義新的時間-能量不確定性關係：
\Delta E\Delta t\approx \frac{\hbar}{\frac\left( \frac-1 \right)}
快子的量子計算系統所需要的總時間就變成了：
T=\frac{\pi \hbar}}\sum_^{\infty}{\frac{\beta_\left( \beta_-1 \right)\left( 1-k \right)k^}} 其中 \beta_=\sqrt^c^}E_^}}
結論：T 在滿足 0
使用快子在有限的時間內完成。
物理學家 Deutsch 所設想的 「終極超計算模型」 ，即存在一台可以模擬所有其他物理系統的通用模擬機 。這是一個未定的假說：CTD原理 （Church–Turing–Deutsch principle ）。如果該論題為真，那麼計算機的計算能力一定是存在上限的，雖然說上限不一定是圖靈機。
除此之外，超計算模型還有很多很多，例如概率圖靈機，無限狀態圖靈機，等等等等。這裡不再一一列舉了。
P.S. 這裡的的超計算模型介紹是不太嚴謹的，如有錯誤，請多包涵。僅僅是高度科普高度口水化的介紹。
不過，對於任何一台諭示機，無論所帶諭示的諭示能力多麼強大，都存在其自身諭示不能判定，必須由更高一階的諭示機才能判定的停機問題。通過添加能力越來越強的「諭示」來讓經典圖靈機不斷突破計算能力限制，而諭示機的停機問題的層級為原先諭示機的層級的圖靈跳躍（Turing jump），是一種順序關係，於是得到一個0^{\left( n \right) } n為超窮序數的超窮層級，稱為圖靈度層級（不可解度）。
經典圖靈機可以計算的可判定問題位於最最底層，是最最簡單的層級，記作0。
除了0以外的全部層級都是不可計算的不可判定問題。而且層級越高，問題越難。
另外，在一個關於自然數的邏輯公式 P(x) 中，只有一個自由變元 x ，那麼，使這個公式成立的所有值組成的集合為 P(x) 定義的自然數集。在這其中沒有量詞的命題被稱為零階命題，而有量詞的命題，它們開頭必定由存在量詞和全稱量詞交錯組成，這樣交錯的段數，就是命題的階數。對於一個 n 階命題，如果它的開頭是存在量詞，我們就稱它為 n 階存在命題，反之則是 n 階全稱命題。
在這些這些類別的命題能定義的自然數集中，0階命題定義的自然數集組成的集合稱為 \Delta _^ ，而將 n 階存在命題和 n 階全稱命題定義的自然數集組成的集合分別稱為 \Sigma _^ 和 \Pi _^ ，這些集合組成了一個向上無限綿延的層級，每一層都是自然數集組成的集合，階數越高，命題能定義的自然數集也越多，表達能力也越強。這就是除了圖靈度以外可以判定一個計算機器計算能力的另一個層級：克林算術層級（Kleene arithmetical hierarchy）；
在算術層級中：
\Sigma_^=\exists x_\forall x_...\exists x_R\left( x_...x_ \right)\Pi_^=\forall x_\exists x_...\forall x_R\left( x_...x_ \right) 其中 \Delta_^=\Sigma_^\cap \Pi_^
一個關係 R\in \Pi_^ 則 \bar\in \Sigma_^ ;
一個關係 R\in \Sigma_^ 則滿足在 \Sigma_^ 中是遞歸可枚舉的。
至於基於超算模型的計算機能否在我們的宇宙中製造，也就是超計算的物理實現可能性，我們目前無法得知，因為：
I. "丘奇-圖靈" 論題 （Church-Turing thesis）
首先是弱化的論題版本：想像一個理想化的人類，不限制時間和內存資源(紙和筆)，圖靈曾描述實施的那種理想化的計算——即根據某些類型的正式規則使用紙筆計算並聲稱：任何這樣的演算法，在原則上可以由這樣一個理想化的人類代理來執行，實際上是通過一個合適的圖靈機程序進行的。
大多數學者說到 Church-Turing thesis 時會想到的弱化的版本。目前至少這弱形式的Church-Turing 包括數學上的各種正式的可計算模型：包括圖靈機；修改和擴展的圖靈機：如 multi-tape 圖靈機等等，但也包括基於理想化版本的基本編程語言的機器比如說 C++ 或者其他的計算機語言。所有這些形式的可計算性的概念都被證明是等價的——它們都可以相互模擬——這使我們認為我們已經正確地捕獲了一個關於可計算能力的概念。它相對來說沒有太大爭議。
然而還存在著強化版本：強"丘奇-圖靈論題 "。它斷言不僅是所有理想化的紙筆計算程序和演算法程序都可由圖靈機模擬，原則上在我們的物質世界的計算，包括物理系統都可由圖靈機模擬。
我們並不知道這個論題是否真正地對我們所處的宇宙的計算能力造成制約。如果論題為真；那麼是否可在我們的宇宙構造 hypercomputation 的答案就是否定的。
就目前來說，我們能實際運用的計算模型都嚴格等價於經典圖靈機。
II. 目前物理上的限制.
量子物理框架下的布萊梅曼極限（Bremermann"s limit）；
貝肯斯坦界限（Bekenstein Bound）：量子物理框架下一個質量為 m 半徑為 R 的球體所能儲存的最多信息量為 I 則 {\displaystyle I\leq {\frac {\hbar \ln 2}}} ；該上限使得真正處理實數的計算機（如 Blum–Shub–Smale machine 和 Real computer）不可實現，即便是在沒有熱雜訊的假想環境里也不例外。
熱力學極限，再加上大腦中的各種電信號，環境中的噪音，使得無限神經網路不可實現。
數學對象並不一定總可以在物理上找到對應。目前在所有的 Hypercomputation 模型中絕大部分都只是只能在數學上成立的"數學機器"，在物理上是無法實現的。
幾乎所有的候選量子引力（quantum gravity）模型都希望時空是離散的，這是個很大的麻煩。
III. 潛在的物理模型及障礙.
不過並不是所有的超計算模型都只能在數學上存在，已經有部分模型在物理上找到了對應對象。
它們的實現在物理上是可能的。
不過這些模型學術界對它們是否能真正地在物理上突破圖靈屏障至今存在質疑和爭議。比如說：
SAD machine：
它所需要的 Malament-Hogarth 時空只是單純在廣義相對論框架下得出的結果，並未考慮量子引力。因此我們不知道量子引力是否會對時空結構本身造成破壞。
計算機中的熱噪音，Malament-Hogarth 時空的藍移問題會導致其噪音被放大而掩蓋通訊信號。而計算機為抵抗噪音造成的耗散不可避免，這將導致計算機需要無限大的能量維持運作，這是非常不現實的。因此要讓 Malament-Hogarth 時空的超計算確實可行，計算機中就不能存在熱噪音。
霍金輻射. 這也是我為什麼不希望霍金輻射真正存在的根本原因。存在霍金輻射的黑洞會最終導致黑洞蒸發消失。而從黑洞形成到消失的時間為： {\displaystyle t_{\mathrm {} }={\frac M_^}{\hbar c^}}} 。這會導致計算機的無限計算還沒完成黑洞就消失了。因此超級任務無法完成。
封閉類時曲線計算：
封閉類時曲線計算機所需要的可以進行時間旅行的類時閉曲線時空的特殊時空結構在數學上是可能的。但如果在正能量條件普世的條件下現實的物理系統就不允許它的出現和存在。除非自然規律允許負能量的物質出現。
封閉類時曲線可以明確的計算能力的問題判定範圍是全部 PSPACE 。即使用一個 Polynomial - size 字元串，封閉類時曲線計算機可以在多項式時間內準確判定全部PSPACE。但進一步放寬條件可得到一個新的計算能力範圍 \mathrm} ，可以證明\mathrm} =\Delta_^ 。不過這不代表它真的就"一定可以解決" 。因為這需要任意長度字元串的計算在封閉類時曲線中得到允許 （這代表需要無限寬的輸入通道）才有可能真正做到。
面對這類不可計算問題時，計算機所擁有的符合自治性結果將不再唯一；面對自治性結果不唯一的情況時，大自然將會讓封閉類時曲線計算機從所有的自治性結果中選擇令整體馮·諾依曼熵最大的結果。不過這是一個壞消息，因為直覺上計算機的電路板被燒穿，整個機器崩潰會帶來更高的馮·諾依曼熵。當計算機對"機器崩潰，直接壞掉。"和"吐出該問題的判定結果。"的選擇可能性時，封閉類時曲 線計算機更有可能會選擇前者......
機械波計算：
波計算機所利用的不可計算機械波，即通過構造了一個可計算函數，其導數是非遞歸不可計算函數。再對其結果進行擴展，構造出一組特殊的偏微分方程，在某個特定的初始值下，某個時刻 t 後的解不可計算。 但該偏微分方程組可作為某個物理系統的演化函數。 這個系統理論上可以以機械波進行對應。當然，這個系統是否可以利用人為實驗構造出來就另當別論了。
IV.如果宇宙不是一台圖靈機。
非常感謝
@錐管
的回答。他給出了永遠不會因霍金輻射的影響而蒸發的黑洞質量下限： M_0\ge\frac\approx3.5\times 10^M_{\odot}
這個超大質量黑洞由於不再受到霍金輻射的影響（即使它是真實的物理現象），所以在計算機無限計算中因為黑洞不會消失而不影響計算。因此利用它構造 hypercomputer 是可能的。
正如費曼在他的演講中所表達的困惑，一個描述某個物理體系的微分方程完全可以有一個不可計算的解，不滿足「總能用有限步運算逼近到充分的精度」的條件。換言之，有效的數值解都不會存在（更不用說解析解了）。
引用恩里科 · 費米的一句話：
聖經中並沒有說過一切大自然的定律都可以用線性方程來表示。
同理沒有解析解的非線性方程，數值近似是有力的武器——但是那同時也就不知不覺假設了演算法可解性，一個同樣是「聖經里」沒有的假設。
用於構造不可計算機械波的方式，說明理論上我們可以通過構造出一個物理系統，讓其演化出的物理系統可以計算一個圖靈不可計算函數。 理論上超越圖靈機的函數在物理上是可以存在的。
是否可以說，存在著一部分物理體系，它們無法用圖靈機的有限步運算步驟進行模擬和重現，即不可計算的物理現象。也就是說，物理定律不是圖靈可計算的。
另外，如果我們的萬物理論（Theory of everything）是基於弦理論的 M-theory 的話，會有一個不可思議的結果：M-theory 具有 T-對偶性（T-duality）:採用弦論把一個維度包進一個半徑為 R 的圓圈中，在採用另外一個弦論把一個維度包進一個半徑為 1/R 的圓圈中，兩者對比是完全等價的。
即使讓 R 變得非常小，甚至小於普朗克長度，也成立。因為在普朗克尺度時空會呈現出泡沫狀，而遠大於和遠小於普朗克尺度的時空則會是平滑的，二者完全一致。如果它最終是正確的，也就意味著，小於普朗克距離和大於的所遵循的物理學相等。弦論最小的普朗克距離以內，也可以有一個完整的宇宙。同理，我們也可以利用場論而非數字化結構來描述整個宇宙。從這點看，宇宙也不是一台圖靈機，物理系統也不是一個計算機程序。
Pour-EI 等人除了構造不可計算的波動方程之外，還證明了在可分希爾伯特空間中（很重要，用於模擬物理現象）：
存在一個有效的確定有界自伴運算元（determined bounded self-adjoint operator） T:H\rightarrow H 其特徵值序列是不可計算的。並且其範數（norm）是一個不可計算實數。
這是否證明了「我們的宇宙具有不可計算的屬性。」就仁者見仁，智者見智了。
Arkady Bolotin 認為構成量子理論的數學基礎本身涵蓋了不可計算性且無法避免。
量子力學中使用了一個無限可分的希爾伯特空間，線性運算元作用於其中。希爾伯特空間 \mathcal 的可分性（separable）意味著 \mathcal 承認一個標準正交基（orthonormal basis），它由一個可數的向量族組成。而向量族 \left\{ |\Phi_\rangle \equiv |n\rangle_ } \right\} 滿足正交化（orthonormalization）關係： \forall m,n\in\mathbb:\langle m|n\rangle =\delta_ 以及閉包（closure）關係：
\sum_^{\infty}{|x\rangle \langle n|=\mathbb_{\infty}}\,\,\, \left( A\right) ，
為 \mathcal 的標準正交基。而後可分希爾伯特空間 \mathcal 的 |\Phi\rangle 可拓展為： |\Phi\rangle =1_{\infty}|\Phi\rangle=\sum_^{\infty}{|n\rangle\langle n|\Psi\rangle} 。
其中 \Psi\equiv\langle n|\Psi\rangle \in\mathbb 定義了 |\Psi\rangle 的 numerical representation。然後一個線性運算元 L 在希爾伯特空間 \mathcal 中為線性映射： L:\mathcal\left( L \right)\rightarrow\mathcal\,\, and\, \, |\Psi\rangle \rightarrow L|\Psi\rangle 其中 \mathcal\left( L \right) 定義了運算元的定義域。使用 \left( A \right) 任何線性運算元 L 作用於無限可分希爾伯特空間 \mathcal 都可以表示為： L=1_{\infty}L1_{\infty}=\sum_^{\infty}{\langle n|L|m\rangle |n\rangle\langle m|}
其中 L_\equiv\langle n|L|m\rangle \in\mathbb 定義 L 的 numerical representation。
上述式用於在無限維希爾伯特空間 \mathcal representation 和 number-based representation之間進行轉換。
Arkady Bolotin 亦認為一個人無法寫下一個 numerical vector： \overrightarrow{\Psi_{\infty}} =\left( \Psi_ ,...,\Psi_,..\right)或者是一個 numerical matrix ： \mathbf}=\left( L_ \right)_^{\infty} 。因為這些對象包含了無限數量的元素。此外，對這些數值對象的運算，比如說： ||\overrightarrow{\Psi_{\infty}} ||^=\Sigma_^{\infty}|\Psi_|^ 以及 \mathrm\left ( \mathbf} \right )=\Sigma_^{\infty}L_ 可能需要進行無限求和（infinite summations）。更重要的是，任何試圖將這些無限的向量和矩陣規成一個有限序列(以便使它們顯式和對它們的運算都很明確)的嘗試會立即導致與正則對易關係（canonical commutation relation，CCR）發生衝突：即量子力學中規範共軛量（ conjugate quantities）的基本關係。
對於物理系統確切地可計算函數與圖靈機可計算函數之間是否可以畫上等號的探討還在繼續，目前圖靈機架構已經為可計算性給出了一個極限，然而至於對於物理來說這個可計算極限到底在哪裡：牛頓經典物理學的連續時空是可以構造超越圖靈機的機器的；廣義相對論的特定時空也可以做到；然而量子理論卻達不到要求。
正如 Konstantine Arkoudas 所寫的：
... 古典派學者的觀點是：圖靈可計算函數構成了物理可實現計算的最大類。如果超計算的擁護者聲稱圖靈可計算函數並沒有形成一個最大的物理可計算函數類，那麼他們就應該指出哪些函數是物理可計算的。有以下三種可能性:
1. 任何地方都沒有設置限制。所有的函數都是物理可計算的。
2. 這個限制是根據圖靈機的極限(或者甚至可能是在圖靈機之下)設置的。
3. 這限制是在上面兩點之間的某個地方設置的。
第一種選擇是物理泛可計算性，這是非常難以置信的，它將可計算性降低到無關緊要的程度。第二個選擇反映了古典派學者的信念。因此，人們會得出結論，超計算的擁護者會提倡第三種選擇 ... 注意，一個純粹的數學模型，如 oracle machine ，coupled Turing Machine 等等，將不符合我們的要求。我們必須要知道哪些物理定律（以經驗可證偽為準）會設法在所有的函數類中畫出一條線（區分真正可計算與不可計算的），並且確切地知道這條線的準確位置。事實上，實現這種劃分是超計算擁護者的一個重要願望。...
既然物理理論上允許不可計算的現象存在，在最樂觀的情況下，可以用於製造突破現有計算設備根本限制,不受丘奇-圖靈論題約束的強力裝置：超計算機（Hypercomputer），完成跨越圖靈屏障（Turing"s barrier）。做到：
由不可計算的物理現象構成的 Hypercomputer 至少可以幫助我們完成一個經典圖靈機做不好的任務：模擬它自己。因為經典圖靈機的有限步運算無法給出有界連續變數的大多數取值，只能做近似模擬。而且不可計算性會導致初始條件精確已知時依然難以做長期預測，而可計算的混沌則會失去作用。單純的混沌現象在不可計算現象面前根本就是小巫見大巫
Hypercomputer 可以幫助我們訪問圖靈機不能訪問的更高階層的 arithmetical hierarchy和 degrees of unsolvability。解決圖靈機不可判定問題。
Hypercomputer 可以用來構建非遞歸枚舉的形式系統。最重要的是，非遞歸枚舉形式系統不受哥德爾不完備性的限制。
P.S.比如說 True arithmetic ,即把所有在(N,0,1,+,*)上成立的一階語句抽取出來，令數論中的所有真命題組成一個集合，把裡面所有的真命題當作公理。這樣的形式系統既包涵了皮亞諾公理（足夠強），又是自治完備的。自治性與完備性兼得且兩不誤。那麼哥德爾不完備性對它無效。不過我們是沒有辦法構建這樣強大的形式系統的，因為它們對於我們來說是不可計算的。由於它的不可計算性，其次是因為使用圖靈機的話我們很可能無法在一個有限時間裡獲得它的公理 （因為它是非可枚舉的。）。想要獲得非可枚舉形式系統中的公理，除非使用超計算。
具體的：True arithmetic 為所有在 Peano arithmetic {\displaystyle {\mathcal }} 中為真的一階算術語句集合，記作 \mathrm( {\displaystyle {\mathcal }}) 。並且 \mathrm( {\displaystyle {\mathcal }}) 不是算術可定義的（arithmetically definable）。
令 \mathrm_( {\displaystyle {\mathcal }}) 為 \mathrm( {\displaystyle {\mathcal }}) 的子集，並且其只包含在算術層級中為 \Sigma_^ 或更低的語句（關係）。不過對於高於 \Sigma_^ 的關係來說 \mathrm_( {\displaystyle {\mathcal }}) 是算術可定義的。並且： {\displaystyle {\mbox}({\mathcal })=\bigcup _ }{\mbox}_({\mathcal })} 。
最重要的是， \mathrm( {\displaystyle {\mathcal }}) 的圖靈度為 0^{(\omega)} 。這表明，True arithmetic 是高階不可計算的，且表達能力極其強大。
特別地，對於那些可能會在物理上得到實現的模型，Konstantine Arkoudas 也給出他的看待：
... 事實上，即使是一項非常嚴謹的數學結論證明了一些超計算模型提議與某些物理理論的原理是一致的 ... 然而這並沒有任何實際意義，除非這種裝置(或至少是它的一個原型)被建造並且成功測試之前，原因在於畢竟這是經驗科學。
據我們所知，這種證據所依據的一些科學原理可能是錯誤的。可證偽性一直是科學理論接受的命運，沒有任何理論可以作為這種命運的先天例外。第二，到目前為止，我們還沒有關於真正正確的關於「萬物理論」的物理理論 ...
因為一個理論的兼容性參數可能會與另一個理論相衝突。也就是說，不與一個理論衝突的假設可能會對另一個理論產生問題。例如，旨在表明一些 Supertask 與廣義相對論相容性的思想實驗可能會違反量子力學或熱力學的物理約束 ...
最後，所有的科學理論都提出了自身的理想化結構，而這種理想化的結構是否會真正與那些聲稱是超計算的奇異、精巧的裝置構造和操作有關，還遠不清楚。要證明一個理論上有爭議的計算設備在物理上的合理性，唯一的方法就是建立一個原型。
當然最悲觀的可能性就是：這些不可計算現象仍然是不可能利用的。可實行的計算最終還是脫離不了圖靈機的能力範圍，圖靈屏障仍舊無法跨越。那麼還有一件事情是很值得做的：弄清楚這種異常背後的原因。
最新補充：某乎的公式編輯器終於修好了。
對於部分內容進行修改和擴充
我們在超計算中失去了什麼？
超計算的探討給予了我們突破圖靈屏障的可能性；但我們在追求這種神奇的可能性的過程中會不會在不經意之間失去了某些特別的東西呢？
這是 da Costa 和 Doria 的看法：
人們通常會從實際應用的角度來考慮有關超計算的困難。... 這意味著：我們驗證了關於算術層級中語句的標準模型 的正確性。
因此，超計算允許我們沿著算術層級來判定相關語句——相對於關於算術的標準模型。
這可能被視為數學的貧乏。一個不實的理論，如 \mathrm ，其中 \mathrm 是斷言 ZFC 一致性的常用正式語句，顯然超出了超計算的範圍，本質上是因為它們的模型需要一種非標準算術。
然而，有人可能會反對說，像 \mathrm 這樣的理論太抽象，太脫離日常考慮。但在這裡我們可以舉一個理論的例子，它涉及到一個具體的問題，這可能需要非標準的數學模型來解釋它。它非常簡單：給定一個丟番圖方程 p(x_,x_,...,x_)=0 ，對於算術的標準模型來說，它沒有解：並且是正確的，而在 ZFC 中不能被證明也不能被證偽。然而，ZFC 有一個非標準算術模型，在這個模型中：這個方程確實有解。
...
所以，重點是：我們可能會從超計算中得到很多關於算術的標準模型的東西，但是我們也可能會失去很多有趣的結果，這些結果依賴於算術的非標準模型。
以此出發，得出以下的結果：
ZFC + 基於 \mathrm 猜想的特殊關係式 \mathrm{\left[ P=NP\right]^{\mathsf}} 如果是一個 \omega- 一致理論，那麼 \mathrm 就是一致的。
總結：
Atitit 自動機列表attilax總結
目錄
1. 2. 四種自動機 fsm pda lba turin 2 1
2. 其他類型自動機 2
2.1. 時序機 波斯特機 隨即存儲機; 2
2.2. 堆棧自動機;無限自動機 概率自動機和細胞自動機 2
2.3. 統計自動機 2
2.4. 元胞自動機。 2
3. 超計算（Hyper computation）模型 3
3.1. A.諭示機. （Oracle Machine）3
3.2. B.BSSM Blum–Shub–Smale machine 3
3.3. C.量子計算機.3
3.4. 相對論時間效應 3
3.5. E. 封閉類時曲線計算機3
3.6. F.我們熟知的神經網路.4
3.7. H.模糊圖靈機.（Fuzzy Turing Machine）4
3.8. J.芝諾機（Zeno Mchine）
4
3.9. K.Fast-growing constructs Oracle.4
3.10. Fair nondeterminism .4
3.11. M.實計算機（Real computer）4
3.12. N.極限遞歸4
3.13. O.演化計算機4
3.14. P.波計算機4
3.15. Q.超遞歸演算法（Super-recursive algorithm）.4
3.16. R.量子引力計算機4
3.17. S. Asynchronous Networks of Turing Machines4
3.18. T. Error Prone Turing Machines4
3.19. U.Coupled Turing Machines4
3.20. V.量子模型.4
3.21. X. Hypertask 模型4
3.22. Y. 快子模型5
3.23. SAD machine：5
1. 2. 四種自動機 fsm pda lba turin 2
2.1. FSM "finite state machine"有限狀態自動機(FSM "finite state machine 正則語言機器 2
2.2. 圖靈機模型;用來描述通用計算機計算能力的圖靈機模型; 2
2.3. PDA下推自動機;push down automata 2
2.4. LBA線性有界自動機 (linear bounded automaton)上下文有關語言的識別接受器。
2. 其他類型自動機
2.1. 時序機 波斯特機 隨即存儲機;
2.2. 堆棧自動機;無限自動機 概率自動機和細胞自動機
2.3. 統計自動機
進行與轉移函數，轉移狀態有關輸出的時序機;
由一些基本語句構成程序框圖的波斯特機;
隨即存儲機;
堆棧自動機;
不受有限自動機做控制器和存儲限制的無限自動機;
統計自動機某一條件概率分布的概率自動機和細胞自動機。
2.4. 元胞自動機。
美國一個數學家證明了可以用元胞自動機進行通用計算，不過比普通計算機慢多了。 可是像蟻群，蜜蜂，免疫系統這樣的系統都是沒有中央控制，具有適應性，可以由個體的簡單規則產生集體的複雜行為的，它們都屬於元胞自動機模型。可能是我們對這種模型還不了解，因而速度太慢，反正它們在自然界運轉的挺好的。
3. 超計算（Hyper computation）模型
3.1. A.諭示機. （Oracle Machine）
3.2. B.BSSM Blum–Shub–Smale machine
3.3. C.量子計算機.
3.4. 相對論時間效應
3.5. E. 封閉類時曲線計算機
D. 依靠廣義相對論中擁有閉合時間曲線的封閉類時曲線 (closed timelike curve, CTC) 時空來計算—給計算機配一台時間機器。
3.6. F.我們熟知的神經網路.
3.7. H.模糊圖靈機.（Fuzzy Turing Machine）
3.8. J.芝諾機（Zeno Mchine）
3.9. K.Fast-growing constructs Oracle.
3.10. Fair nondeterminism .
3.11. M.實計算機（Real computer）
3.12. N.極限遞歸
3.13. O.演化計算機
3.14. P.波計算機
3.15. Q.超遞歸演算法（Super-recursive algorithm）.
3.16. R.量子引力計算機
3.17. S. Asynchronous Networks of Turing Machines
3.18. T. Error Prone Turing Machines
3.19. U.Coupled Turing Machines
3.20. V.量子模型.
3.21. X. Hypertask 模型
3.22. Y. 快子模型
3.23. SAD machine：
