九連環中的數學原理

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九連環作為我國民間玩具，以金屬絲製成9個圓環，將圓環套裝在橫板或各式框架上，並貫以環柄。遊戲時，按照一定的程序反覆操作，可使9個圓環分別解開，或合而為一。「九連環」現已成為一種國際性的益智遊戲，國內外都有學者在研究，拆解九連環的過程中也蘊含著一些數學原理。

九連環在拆解的過程中有兩個原理：

1. 如圖一所示，九連環中的第一個環，在任何情況下都可上可下；

2. 如圖二所示，如果某一個環在上面的環桿上，而它前面所有的環都在下面的環桿上，那麼這個環的後一個就可上也可下。這也就是說，如果我們想把第n個環卸下，那麼第n-1個環要留在上面的環桿上，而第n-1個環前面的所有環都要在下面的環桿上。

3. 每次只能解下或裝上一個環。

由以上可知，如果我們解下第九個環，我們就要把第八個環放到上面的環桿上，而把前七個環放到下面，進而把拆解「九連環」轉變為拆解「七連環」。我國古代也有拆解九連環的口訣：「上倆下一個，再動後一個；上一個下倆，再動後一個」。而九連環的拆解方法就涉及到了「數列」這一數學原理：

我們假設環的數量為n，記解開n連環所需的總步數是Sn,解下每個環的步數為an；根據第二個原理我們可以推出，如若要卸下第n個環，就需要先卸下前n-2個環，其總步數就為Sn-2，這時再需要一步就可以把第n個環解下；而為了解下第n-1個環，還需要把前面的n-2個環套上，裝上前n-2個環就需要Sn-2步(因為裝上和卸下的步驟正好相反，所以步數相同)，所以卸下第n個環需要an=2Sn-2 1步。因此，解開九連環所需要的步數就是一道數列題：「已知S1=1，S2=2，an=2Sn-2 1,求Sn(n≥3)。」

由上圖可知，S9=341，即拆解一個九連環需要341步。

熟悉九連環的人解開處於原始狀態下的九連環所需的時間大概是6分鐘左右，解開11連環則需24分鐘左右，以此類推，如要解開17連環就要一晝夜以上，這不僅僅是在解環，也是在挑戰自身的極限。這也就是九連環自誕生之後，雖然步驟簡單卻可以在民間廣為流傳，盛行不衰的原因吧。

本作品為「科普中國-科學原理一點通」原創，轉載時務請註明出處。

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