源於古希臘的數學體系

作者：梁宗巨

來源：《數學文化素質教育資源庫》

轉自：數學與人工智慧

哲學園鳴謝

古希臘的地理範圍，除了現在的希臘半島以外，還包括整個愛琴海區域和北面的馬其頓和色雷斯、義大利半島和小亞細亞等地。公元前五六世紀，特別是希、波戰爭以後，雅典取得希臘城邦的領導地位，經濟生活高度繁榮，生產力顯著提高，在這個基礎上產生了光輝燦爛的希臘文化，對後世有深遠的影響。

希臘數學的發展歷史可以分為三個時期。

第一期從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約當公元前7世紀中葉到公元前3世紀；

第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年希臘陷於羅馬為止；

第三期是亞歷山大後期，是羅馬人統治下的時期，結束於641年亞歷山大被阿拉伯人佔領。

伊奧尼亞學派從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數學史料很少。不過希臘數學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關係。伊奧尼亞位於小亞細亞西岸，它比希臘其他地區更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統治所代替，商人具有強烈的活動性，有利於思想自由而大膽地發展。城邦內部的鬥爭，幫助擺脫傳統信念。在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。這大大有助於科學和哲學從宗教中分離開來。

米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉。泰勒斯是公認的希臘哲學鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學會古代流傳下來的知識，並加以發揚。以後創立伊奧尼亞哲學學派，擺脫宗教，從自然現象中去尋找真理，以水為萬物的根源。

當時天文、數學和哲學是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數學。他曾預測到一次日食，促使米太（在今黑海、裏海之南）、呂底亞（今土耳其西部）兩國停止戰爭。多數學者認為該次日食發生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關係算出金字塔的高度，使法老大為驚訝。泰勒斯在數學方面的貢獻是開始了命題的證明，它標誌著人們對客觀事物的認識從感性上升到理性，這在數學史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學派的著名學者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對後來的畢達哥拉斯有很大的影響。

畢達哥拉斯學派

畢達哥拉斯公元前580年左右生於薩摩斯（今希臘東部小島）。為了擺脫暴政，移居義大利半島南部的克羅頓。在那裡組織一個政治、宗教、哲學、數學合一的秘密團體。後來在政治鬥爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續存在兩個世紀（約公元前500～前300）之久。這個學派企圖用數來解釋一切，不僅僅認為萬物都包含數，而且說萬物都是數。

他們以發現勾股定理（西方叫做畢達哥拉斯定理）聞名於世，又由此導致不可通約量的發現。這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯繫起來。他們找到用三個正整數表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從1起連續的奇數和必為平方數等等，這既是算術問題，又和幾何有關。他們還發現五種正多面體。在天文方面，首創地圓說，認為日、月、五星都是球體，浮懸在太空中。畢達哥拉斯還是音樂理論的始祖。

伊奧尼亞學派

這個學派和畢達哥拉斯學派有顯著的不同。前者研習數學並不單純為了哲學的興趣，同時也為了實用。而後者卻不注重實際應用，將數學和宗教聯繫起來，想通過數學去探索永恆的真理。

智人學派

公元前5世紀，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學及數學等知識，於是「智人學派」（sophist school,或譯巧辯學派、哲人學派）應運而生。他們以教授文法、邏輯、數學、天文、修辭、雄辯等科目為業。在數學上，他們提出「三大問題」：

三等分任意角；

倍立方，即求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；

化圓為方，即求作一正方形，使其面積等於一已知圓。

問題的難處，是作圖只許用直尺（沒有刻度的尺）和圓規。希臘人的興趣並不在於圖形的實際作出，而是在尺規的限制下從理論上去解決這些問題。這是幾何學從實際應用向系統理論過渡所邁出的重要的一步。這個學派的安提豐（約公元前430）提出用「窮竭法」去解決化圓為方問題，是近代極限理論的雛形。先作圓內接正方形，以後每次邊數加倍，得8，16，32、……邊形，這樣繼續下去，安提豐深信「最後」的多邊形與圓的「差」必會「窮竭」。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽（約263年前後）的割圓術思想不謀而合。

柏拉圖學派及其他學術中心

柏拉圖（約公元前427～前347）在雅典建立學派，創辦學園。他非常重視數學，但片面強調數學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中。這個學派培養出不少數學家，如歐多克索斯就曾就學於柏拉圖，他創立了比例論，是歐幾里得的前驅。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日後將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開闢了道路。

這個時期的希臘數學中心還有以芝諾（約公元前496～前430）為代表的埃利亞學派，他提出四個悖論，給學術界以極大的震動。這四個悖論是：二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步。阿基琉斯（善跑英雄）追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜的出發點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重複下去，總也追不上。飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。

以德謨克利特為代表的原子論學派，認為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構成。計算面積和體積，等於將這些原子集合起來。這種不甚嚴格的推理方法卻是古代數學家發現新結果的重要線索。

公元前4世紀以後的希臘數學，逐漸脫離哲學和天文學，成為獨立的學科。數學的歷史於是進入一個新階段──初等數學時期。這個時期的特點，是數學（主要是幾何學）已建立起自己的理論體系，從以實驗和觀察為依據的經驗科學過渡到演繹的科學。由少數幾個原始命題（公理）出發，通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數學的基本精神。在這一時期里，初等幾何、算術、初等代數大體已成為獨立的科目。和17世紀出現的解析幾何學、微積分學相比，這一個時期的研究內容可以用「初等數學」來概括，因此叫做初等數學時期。

埃及的亞歷山大城，是東西海陸交通的樞紐，又經過托勒密王（約公元前367～前285）的加意經營，逐漸成為新的希臘文化中心，希臘本土這時已經退居次要地位。幾何學最初萌芽於埃及，以後移植於伊奧尼亞，其次繁盛於義大利和雅典，最後又回到發源地。經過這一番培植，已達到豐茂成林的境地。

亞歷山大前期從公元前4世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區域的統治者為止，希臘數學以亞歷山大為中心，達到它的全盛時期。這裡有巨大的圖書館和濃厚的學術空氣，各地學者雲集在此進行教學和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數學家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。

歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。過去所積累下來的數學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有藉助於邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯繫，整理在一個嚴密的系統之中，才能建成宏偉的大廈。《幾何原本》體現了這種精神，它對整個數學的發展產生深遠的影響。阿基米德是物理學家兼數學家，他善於將抽象的理論和工程技術的具體應用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經驗事實上升為理論。他根據力學原理去探求解決面積和體積問題，已經包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。

除了三大數學家以外，埃拉托斯特尼（約公元前276～前195）的大地測量和以他為名的「素數篩子」也很出名。天文學家喜帕恰斯（公元前2世紀）製作「弦表」，是三角學的先導。

亞歷山大後期公元前146年以後，在羅馬統治下的亞歷山大學者仍能繼承前人的工作，不斷有所發明。海倫（約公元62）、門納勞斯（約公元100）、帕普斯等人都有重要貢獻。天文學家C．托勒密（約85～165）將喜帕恰斯的工作加以整理髮揮，奠定了三角學的基礎。

晚期的希臘學者在算術和代數方面也頗有建樹，代表人物有尼科馬霍斯（約公元100）和丟番圖（約250）。前者是傑拉什（今約旦北部）地方的人。著有《算術入門》，後者的《算術》是講數的理論的，而大部分內容可以歸入代數的範圍。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數學中獨樹一幟，對後世影響之大，僅次於《幾何原本》。

325年，羅馬帝國的君士坦丁大帝開始利用宗教作為統治的工具，把一切學術都置於基督教神學的控制之下。529年，東羅馬帝國皇帝查士·丁尼下令關閉雅典的柏拉圖學園以及其他學校，嚴禁傳授數學。許多希臘學者逃到敘利亞和波斯等地。數學研究受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人佔領，圖書館再次被毀，希臘數學至此告一段落。

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