從泊松方程的解法，聊到泊松圖像融合

雷鋒網 AI 科技評論按，本文作者成指導，位元組跳動演算法工程師，本文首發於知乎，雷鋒網 AI 科技評論獲其授權轉載，正文內容如下：

2004 年 SIGGRAPH 上，Microsoft Research UK 有篇經典的圖像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其驚人的融合結果（非論文配圖，本人實驗結果）：

這篇文章的實現，無關目前演算法領域大火的神經網路，而是基於泊松方程推導得出。

泊松方程是什麼？

很多朋友比較熟悉概率論裡面的泊松分布。泊松方程，也是同一個數學家泊松發明的。但卻和泊松分布沒有什麼關係，是泊松物理學領域提出的一個偏微分方程。

這裡

表示的是拉普拉斯運算元，

和

（

在泊松方程中是已知量）可以是實數或複數值方程，特殊情況當

時被稱為拉普拉斯方程。當處於歐幾里得空間時，拉普拉斯運算元通常表示為

。

學習圖像處理的朋友對於

和

比較熟悉，分別表示二階微分（直角坐標系下的散度）、一階微分（直角坐標系下的梯度）。

微分與卷積

連續空間中的微分計算，就是大學裡微積分那一套公式。但是在計算機的世界裡，數據都是在離散空間中進行表示，對於圖像而言，基本的計算單元就是像素點。讓我們從最簡單的情形，一維數組的微分說起：

表示位置 x 一階微分計算（一階中心導）：

表示位置 x 二階微分計算（二階中心導）：

隨著

，上面的微分算式的結果會逐漸逼近真實的微分值。對於圖像而言，這裡 h 最小可分割單元是像素，也就表示像素間的間距，可視為 1。再看看，二階微分的公式，是不是可以看成

的卷積核

在一維數組上進行卷積計算的結果（卷積中心在 x 上）。

至此，不難理解，離散數據（例如圖像）上的微分操作完全可以轉換為卷積操作。

當數組維度更高，變成二維數組呢？也就是處理圖像的拉普拉斯運算元：

此時，卷積核尺寸應該是

，具體數值為

，稱為拉普拉斯卷積核。

記住拉普拉斯卷積核，我們後面會用到。

泊松方程求解

這個時候，想想我們學會了什麼？泊松方程的形式，以及拉普拉斯卷積核。

再想想，在圖像場景下，什麼是泊松方程的核心問題？

已知圖像點二階微分值（直角坐標系下即散度 div）的情況下，求解各個圖像點的像素值。

一個簡單的例子，假設有一張

的圖像

，

表示各個位置上的圖像像素值，共 16 個未知參數需要被求解。

應用拉普拉斯卷積核後，得到 4 個方程式：

4 個方程式求解出 16 個未知參數？這是不可能的。

因此，我們需要另加入至少 12 個更多的方程式，也就是說，需要把剩餘 12 個邊界點的值確定，即需要確定邊界條件。邊界一般符合 2 種常見的邊界條件：

• Neumann 邊界，譯為紐曼邊界或黎曼邊界，給出函數在邊界處的二階導數值；

• Dirichlet 邊界，狄利克雷邊界，給出邊界處函數在邊界處的實際值。

但給定邊界條件之後，就可以有 16 個方程式組成的方程組了，矩陣化表示此方程組之後，得到形式為

。

看到

，大家就應該放鬆了，不就是解方程嘛，用雅可比迭代法或者高斯賽德爾迭代法來求解就 OK 了。

Poisson Image Editing

背景知識儲備好了後，讓我們把目光拉回到論文《Poisson Image Editing》上。

在圖像融合任務中，前景放置在背景上時，需要保證兩點：

• 前景本身主要內容相比於背景而言，盡量平滑；

• 邊界處無縫，即前景、背景在邊界點位置上的像素值，需要保持邊界一致。

重點關注兩個詞：內容平滑、邊界一致。平滑是什麼？可以理解成圖像前景、背景梯度相同。邊界一致是指什麼？可以理解成在邊界上像素值相同。再用一張圖來說明：

上圖中 u 表示需要被合成的前景圖片，V 是 u 的梯度場。S 是背景圖片，

是合併後目標圖像中被前景所覆蓋的區域，則

是

的邊界。設合併後圖像在

內的像素表示函數是 f，在

外的像素值表示函數是

。

此時，平滑可表示為：

；保持邊界一致可表示為：

。

這裡如果接觸過泛函的朋友會比較開心，沒接觸過的朋友可以先看看歐拉-拉格朗日方程。

令

，

代入歐拉-拉格朗日方程後則有：

注意：F 是

f 的函數，不是對 f 的，因此

怎麼樣，看起來是不是一個泊松方程呢？當然，還差兩步：

• 因為需要平滑，div v 取值需要同時參考前景圖片和背景圖片，可以直接等於前景像素的散度，也可以在前景和背景在同一點像素的散度進行某種組合得到（論文中在 Selection cloning 和 Selection editing 章節有討論各自合適的場景，但個人以為這裡採取學習的方法應該更魯棒，而不是用固定的策略來區分）。anyway，div v 是可以計算的已知量；

• 因為需要保持邊界一致，邊界條件上像素值等於背景圖片即可。當然也可以做一些策略，但同樣也可以計算得到的已知量。

現在很輕鬆了，邊界條件已知、散度已知，在離散空間中求解泊松方程中的 f，參考上一節的求解過程即可。

代碼實現

函數代碼已經收錄在了 OpenCV 的官方函數 seamlessClone 里：github source code

使用的時候，需要三張圖片：前景圖、背景圖、mask 圖（指明前景圖中需要融合的區域，最簡單的就是直接等於前景圖大小的 mask，待融合區域是白色，其餘位置黑色）。

下面我們使用 OpenCV 的 Python 介面來動手試試，用到以下兩張圖以及一段代碼：

foreground.jpg

background.jpg

import cv2

import numpy as np

# Read images : src image will be cloned into dst

dst = cv2.imread("background.jpg")

obj= cv2.imread("foreground.jpg")

# Create an all white mask

mask = 255 * np.ones(obj.shape, obj.dtype)

# The location of the center of the src in the dst

width, height, channels = im.shape

center = (height/2, width/2)

# Seamlessly clone src into dst and put the results in output

normal_clone = cv2.seamlessClone(obj, dst, mask, center, cv2.NORMAL_CLONE)

mixed_clone = cv2.seamlessClone(obj, dst, mask, center, cv2.MIXED_CLONE)

# Write results

cv2.imwrite("images/opencv-normal-clone-example.jpg", normal_clone)

cv2.imwrite("images/opencv-mixed-clone-example.jpg", mixed_clone)

最終效果如下：

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