陳省身：中國算學之過去與現在

作者 | 陳省身（1911-2004）

來源 | 數立方（mathcubic.org），原載《科學》第 25 卷第 5、6 期，上海，1941 年。編輯時對原文中部分人名和地名的中文翻譯作了修改。

近十數年來中國算學的研究有了若干可喜的進步。為檢討過去，策勵將來起見，筆者願把中國算學家幾千年來所做的工作加以歷史的敘述，最後則略敘近年國人進行研究工作的大概情形，俾大家瞭然我們這個時代將在中國算學史上所佔的地位。

根據幾件重要的事實，中國算學的發展約可分為五個時期，茲分述於下：

1. 第一時期

第一時期可從上古算至公元 263 年（即曹魏景元四年）。公元 263 年為劉徽注《九章算術》之年，中國古代最完整的一本算學經典，是這一年告成的。

講到上古的算學，往往要提到伏羲，隸首，或《河圖》，《洛書》，這些史實比較渺茫，我們姑置之不談。今僅提出此時期中值得注意的兩點。第一是《九章》和《周髀》兩部算經的完成。這兩書成書的確年已不易考。《九章》最遲當在秦滅之前，因為劉徽的序里曾說張蒼，耿壽昌各有刪補，而張蒼是秦末漢初的人，故《九章》之成書，在秦朝以前，當無疑義。漢時《九章》之名，幾為算學之代表，大儒如鄭玄，馬續俱通《九章》，其重要可知。全書共分九章，其目錄為：方田第一，粟米第二，差分第三，少廣第四，商功第五，均輸第六，盈不足第七，方程第八，勾股第九。其內容經劉徽注後，網羅甚廣，所論問題有涉及二次方程，方程組，及圓與球之面積體積者。另一部《周髀算經》是大家認為最古的算書，但內容遠不及《九章》。其成書確年亦不可考，只知道揚雄，蔡邕都曾提到過。今本有漢趙君卿注，注比原書重要得多。書中最重要的一部分是幾何問題，如以 3 為圓周率，以直角三角形勾股弦之比為 3:4:5 等。後世中算里有所謂割圓術與勾股術，則皆以此書為嚥矢。

第二，從以上兩書的內容可以看出中國算學的一個特點，即對於應用之注重。所謂應用，指日常問題與造歷二種。由於歷代帝王的重視，中國古時的算學家無不兼治歷算。漢初張蒼，耿壽昌都以善歷知名，以後大多均同此現象。這種注重應用的態度，導致中國算學不能產生一部有系統的著作，而只包括一群零星的結果，不成為近代意義下的算學。在同一時期，希臘的算學已在最繁榮的階段。畢達哥拉斯（Pythagoras）的門人早就有了無理數的觀念。歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》則在公元前300年已成書！希臘所產生的最末一個大算學家是丟番圖（Diophantus），他的時代約為公元 250 年左右，與劉徽同時，他的著作中已有三次方程和二次不定方程的討論。

總之，第一時期的中國算學，雖比不上希臘，然與同時期的其他國家，如埃及、印度等相比，則決無遜色。在這個時期的後半期，繼希臘而起的羅馬帝國，在算學上可說毫無成就，反把希臘的文化遺忘了。我們的算學卻由此步入一個光輝燦爛的時期。

2. 第二時期

中國算學之第二時期，應自劉徽之注《九章》，算至王孝通之著《輯古算經》，約自 260 年至 620 年。這時算學的先進——希臘——已衰落，歐洲轉入黑暗時代，印度比不上我們。美索不達米亞平原上的巴格達（Bagdad）是一個中心，但阿拉伯人的工作，大多是希臘流傳的算學。中國的算學家卻在此時有幾樁值得稱道的工作。

為簡短起見，我只舉這時期三個代表性的算學家說一說。第一個是劉徽，徽除《九章注》外，還有若干貢獻。在徽以前，周三徑一是公認的圓周率，徽以為疏，遂由圓之內接六邊形起算，令邊數倍進，而求得較密的圓周率。他所得的值為3.14，後人稱為徽率。他的方法與阿基米德（Archimedes）的相同。此外徽另造重差術，又稱海島算，實際上是相似三角形的方法。

在此時期中第二個算學家為祖沖之，南朝宋齊間人（429 至 500）。許多人認他為中國最大的算學家，雖尚有人持異議，至少可見他在算學史上地位之重要。他最重要的貢獻是求圓周率，得知π之值在 3.1415926 與 3.1415927 之間，並另得兩近似值為與。這是一個超時代的貢獻！以當時算學進展的情形，這種準確程度，甚為難能可貴。沖之圓率西洋方面直到 1573 年德人奧陶（Valentinus Otto）才得同樣的結果，前後相差一千餘年！

沖之在算學上的其他貢獻，我們不大知道，原因是他所著的書《綴術》失傳了。《綴術》的內容已不可知，史稱「學官莫能究其深奧，是故廢而不理」，可見必定包含其他許多新結果。此外可知者，此書的內容必很豐富：唐代學官制度，《孫子算經》與《五曹算經》共習一年，《九章》與《海島》共習三年，而《綴術》一書要讀四年之久！

第三個算學家是王孝通，唐初算學博士（相當於現在的教授），時代約在 620年左右。他著的書叫做《輯古算經》，今尚有存本。《輯古算經》中的問題，應用到二次和三次的方程，可惜書中沒有解法，不知他的結果是怎樣得到。

這是中國算學家在世界上稱雄的一個時期。

3. 第三時期

祖沖之，王孝通以後，歐洲固仍為黑暗時代，中國的算學也缺少新的進展。到了13世紀大家都同時醒覺了。西洋開始了近數百年的文明（文藝復興），中國的算學因有天元術、四元術的發現，成就一項不可磨滅的貢獻。所謂天元術、四元術，其實就是代數，元指未知數，天就是 x。不過照那時的寫法，未知數不能在四個以上，所以「天、地、人、物」四元並用，為最普通的情形。那時的代數算式的形狀，可舉例明之如次：

式中太即是常數，寫成今式，當為：

x2 680x 96000

與

x2 y2 z2 w2 2xy 2xz 2xw 2yz 2yw 2zw.

在此時期內傑出的算學家，當推李冶，秦九韶，其他如楊輝，郭守敬，朱世傑，亦都有重要的著作。這幾個算學家的年代，都在13世紀中葉到13世紀末葉，約當南宋，金，元的時候。

這時期是中國算學的黃金時期，學者之多，貢獻之廣，超越前代。我們試隨便舉幾點重要的說一說。第一，中國自己的代數學此時奠定了基礎。正負數的觀念，代數運算的規則，已為一般算學家所共習。進一步的方程論自然成了中心的問題。楊輝《詳解九章演算法》已有帕斯卡三角形定理，比帕氏約早四百年。此外如霍納（Horner）方法，已早為許多算學家所發現，至秦九韶著《數書九章》，其理遂大明，時間上比霍氏早了五百多年。

第二，秦九韶《數書九章》卷一「大衍類」論及一次同餘方程組的解法。這問題在中國有悠久之歷史，實起源於《孫子算經》（大約為後漢時人所著，為中國第三部古算書）「物不知數」之問。我先把這問題及其解答錄下：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？

「答曰：二十三。術曰：三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十; 並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。」

此問題俗稱「韓信點兵法」（自然韓信不會只點二十幾個兵），問題和解法都很美妙可喜。所謂大衍就是這問題的推廣。秦九韶的普通解法，與歐幾里得演算法實際上完全一致。在初等數論中這是一個比較「深」的定理。西洋近人所作數論教本中，有稱此定理為「中國剩餘定理」者。

第三，中算學家往往喜言堆垛與縱橫圖，前者即為有窮級數論，後者今稱幻方。研究這類問題的算學家當以楊輝、朱世傑為最重要。他們的結果因圖式太繁，茲從略。

以上所列舉和選擇的，自然雜有個人主觀的成分，但即此已可見中國算學在此時期之光芒萬丈了！

4. 第四時期

中國算學經過第三時期的清醒以後，復入於一沉睡的時期。西洋的算學卻從此長足進展，漸漸令我們望塵莫及。一直到16世紀末葉，利瑪竇（Matte Ricci）東來，才把我們喚醒，把西洋精神上的食糧餵給我們。於是我們遂入於一新時期，即接受西洋算學的時期。

利瑪竇來華後，與徐光啟、李之藻等合作，譯了許多書，就中從算學方面講，以《幾何原本》前六卷與《同文算指》二書，為最重要。兩書都是當時歐洲所通行的書，後者是一本算術，系德國算學家克拉維斯（Clavius）所著。克氏即為利氏之師，以善寫課本出名。利氏譯本序中所盛讚之丁先生，即指克氏。

利氏以後，西洋教士之東來者日眾，譯著亦漸多，幾何學，天文學，對數術等漸漸的都輸入中國。中國人雖尚有隻習中算的，但漸漸都感到西洋方法之優越，不能墨守成規。所以清初著名的算學家，如梅文鼎（1633—1721），王錫闡（1628—1682）等都兼治西算。自利氏東來至民國初年前後三百餘年，中國出的算學家很多，清時漢學家兼善算者尤不少。但其結果與並時的西洋算學家相比，就瞠乎其後了。

就譯述方面講，徐，李以後，工作較多者，有清末之李善蘭（1811—1882），華蘅芳（1833—1902）。比較深一點的書如微積分等都是這時候譯的。以當時譯述情形的困難，此項譯書工作，其價值正不亞於創作的貢獻。比方說，偉烈亞力（Alexander Wylie）幫李善蘭譯書，李不懂西文，而偉不懂算學，困難可想。我們現在展開一本舊譯的算書，觀其譯筆之雅而達，當對這幾位古人致無限的景仰。惜自學校盛興之後，我國中小學之課本，大都取自於日本。大學用書又直接採用英美原版。對於李，華諸人之譯本，久已束置高閣，無人過問，不免可惜耳！

5. 第五時期

這是最近的一個時期，它的前途一時還不容易估量，它的特色是研究精神的復興。四十年來的學校教育已替許多有志於算學的人開了路，從前需要十年才習畢的材料，現在也許一年就夠了。同時還有一些始終受西洋教育的學者，他們的西文程度使他們與西洋學者能有差不多的方便與機會。才智志士，遂得進行同樣的工作。1920年左右中國算學家已有將其在國外大學的論文發表於國際第一流算學雜誌的。此後數年，即有若干人繼起。到了現在，國人前後在有地位的國際算學雜誌發表論文者，據個人的統計，約在三百篇左右，戰事發生前數年，每年約有三十篇，在國內雜誌發表的尚不在內。以工作者之人數比之，這些數目自然要算難得的了！

以上論及的工作，最初幾年所產生的，大約是中國學生在國外導師指導下所做的。其中國內產生的部分，則隨時間而增加。這自然要歸功於國內算學研究機關的設立，與算學研究設備之充實。最先設立算學研究所的，是清華大學，從1930年起，前後畢業肄業者已有多人。此後浙江大學，中央大學，北京大學，都先後設研究所，成績亦頗為一般人所稱道。南開大學未設算學研究所，但最先注意算學的設備，其圖書館所藏算學圖書之充實，國內迄今無出在右者。惜自戰事發生以還，該項藏書，稍有分散，如何加以整理和充實，使永成國家之珍藏，當為該校當局與社會上熱心科學的人士，所應熟為考量的。

1936年中國數學會創辦《數學學報》，專載有創作性的論文，已出兩卷。這雜誌已得國際的注意，所刊論文，質量不在一般先進國雜誌之下。猶憶 1937年的時候，編輯者慮此雜誌或因戰事不能續刊，把存留的稿件，分寄國外第一流雜誌，結果都刊登了！

近代中國算學家工作的範圍，代數方面著重於數論，幾何則拓撲、微分幾何、代數幾何都有作者，分析則以函數論，微分方程論，級數論工作者較多。至於詳細的結果及其價值，一則太涉專門，未易細述，二則這些專家大多是筆者的師友，批評起來，不免參加主觀的成分，最好讓他們的工作說明他們的成績罷了！

6. 結論

在以上的敘述後，願對未來的中國算學界及社會，提出兩點希望：

一、希望中國算學界同志保留並發揚那點可貴的研究精神，使中國科學能漸漸不落人後。上節所說的工作實很有限，以之開始則可喜，從此自滿便可悲了！同時近代的研究工作需要設備，希望政府及熱心文化事業的機關予以充分的幫助。

二、在第一節中曾提及中國算學注重應用的特色。這也是應有的精神，值得加以培養的。希望有一部分算學家能多注意一點應用的問題，以發揮算學的效能。同時希望社會上遇著與算學有關的問題，肯予算學家以一個商討的機會。

傳播數學，普及大眾

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