離散的時間，隱藏在連續時間的世界裡？

科學家們認為時間是連續的，而不是離散的——粗略地說，認為時間不會以「塊」的形式發展，而是「流動」，平穩而連續。因此，科學家經常將物理系統動力學模型化為連續時間的「馬爾可夫過程」，該過程以數學家安德烈?馬爾可夫(Andrey Markov)命名。事實上，科學家們利用這些過程研究了一系列現實世界的過程，從摺疊蛋白質，到進化的生態系統，再到轉變的金融市場，取得了驚人的成功。然而，科學家總是只能在離散的時間裡觀察系統狀態，而不是連續地觀察。

博科園：例如股票市場分析師可能會反覆觀察一天開始時的市場狀態如何與第二天開始時的市場狀態相關聯，從而建立一個條件概率分布，即給定第二天的狀態是第一天的狀態。在兩篇論文中，一篇發表在《自然通訊》(Nature Communications)上，另一篇發表在《新物理學報》(Journal of Physics)上。

聖達菲研究所(Santa Fe Institute)和麻省理工學院(MIT)的物理學家們已經證明，為了讓連續時間的馬爾可夫過程在一組「可見狀態」上產生這樣的雙時間動力學。

用馬爾可夫過程模擬了砂土樁的堆積過程。圖片：Santa Fe Institute Press

這個馬爾可夫過程實際上必須在更大的空間上展開，其中包括除了可見狀態之外的隱藏狀態。他們進一步證明，這樣一對時間之間的演化必須在有限數量的「隱藏時間步長」中進行，將這兩個時間間隔細分（嚴格地說，無論何時從早期到後期的進化是無雜訊的，這個證明都是成立的，請參閱本文了解細節）。合著者David Wolpert(聖菲研究所)說：我們說動態系統中有隱藏的變數，隱含在科學家用來研究這些系統的工具中。此外，在某種非常有限的意義上，我們說時間是以離散的時間步長進行，即使科學家把時間建模成是連續的。

科學家們可能沒有注意到那些隱藏的變數和那些隱藏的時間步長，但它們確實存在，在這些科學家讀過的許多論文中扮演著關鍵幕后角色，而且幾乎可以肯定，在這些科學家寫過的許多論文中也是如此。除了發現隱藏狀態和時間步長，科學家們還發現了兩者之間的權衡；隱藏狀態越多，所需的隱藏時間步長越少。根據合著者阿爾特米·科爾欽斯基(聖達菲研究所)的說法，這些結果令人驚訝地證明，馬爾科夫過程在時間和內存之間表現出一種權衡，這在分析計算機演算法的單獨數學領域中經常遇到。

從1到0翻轉信息的最小配置需要三個狀態和三個連續的時間步驟。圖片：David Wolpert

為了說明這些隱藏狀態的作用，合著者Jeremy a . Owen(麻省理工學院)舉了一個生物分子過程的例子，以一小時為間隔進行觀察：如果你從一個處於「a」狀態的蛋白質開始，一小時後它通常會變成「b」狀態，一小時後又會變成「a」狀態，那麼肯定還有至少一種狀態「c」：一種影響蛋白質動力學的隱藏狀態。「它存在於生物分子過程中，如果你還沒有看到它，你可以去找找。在尋找最節能方法來翻轉計算機中的信息時，作者無意中發現了隱藏狀態和隱藏時間步長的必要性。

在那次研究中，作為理解計算熱力學的更大努力的一部分，發現沒有直接的方法來實現同時發送1到0和發送0到1的映射。相反，為了翻轉一點信息，這個位必須經過至少一個隱藏狀態，並且包含至少三個隱藏的時間步驟。事實證明，任何從輸入中「計算」輸出的生物或物理系統，如細胞處理能量，或正在進化的生態系統，都將隱藏與位翻轉示例中相同的隱藏變數。這類模型確實是以一種自然的方式出現，它基於時間是連續的假設，以及你所處的狀態決定了你接下來要去哪裡。

令人驚訝的是，即使不考慮熱力學因素，所有這些結果仍然成立。這是一個非常純粹的例子，體現了菲爾?安德森(Phil Anderson)的格言『更多是不同的』，因為所有這些底層細節(隱藏的狀態和隱藏的時間步驟)對高層細節(從可見的輸入狀態映射到可見的輸出狀態)是不可見的。在很小的程度上，這就像光速的極限，系統不能超過光速的事實對絕大多數科學家來說並不是直接的結果。但這是對允許過程的一種限制，適用於任何地方，而且總是存在於你的腦海中。

博科園｜研究/來自: 聖菲研究所

參考期刊《自然通訊》,《新物理學報》

DOI: 10.1038/s41467-019-09542-x

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