斯坦福數學教授：這才是影響數學成績的根本原因
幾年前，英國政治家 Stephen Byers 在一次採訪中犯了一個錯誤。有人請他回答 7×8=？他給出的答案是 54，而不是正確的 56。他的錯誤引起了全國媒體的嘲笑，同時英國教育界開始呼籲重視對乘法表的記憶。
英國保守派教育部長，一個沒有教育經驗的人，堅持要求所有英國的學生在 9 歲之前熟記 12×12 乘法表，這一要求已被納入英國的數學課程。
美國則與此相反，新出台的核心標準不再強調對數學公式的死記硬背，更強調對數學的流暢應用，但如何實現「流暢」，仍無定論。
數學常識的確很重要，但死記硬背乘法表卻大可不必的。當英國大臣被問到 7×8 等於多少時，人們關注的是他的記憶如何，這很諷刺，因為他的錯誤暴露了記憶的局限性，沒有「數感」。
有數感的人是那些能夠靈活使用數字的人，當被問到 7×8=？時，有數字常識的人可能會記住 56，但他們也能算出 7×7 是 49，然後加 7 得到 56，或者他們可以算出 10×7，減去 2×7（70-14），他們不必依賴遙遠的記憶。
數學常識只是數學的一小部分，對數學常識的學習最好是通過各種不同的數字應用場景來記憶。不幸的是，很多教師課堂上只是單獨地介紹數字常識，讓學生誤以為數學常識就是數學的本質，更糟糕的是，讓學生誤以為能夠快速回憶起這些常識就是數學能力強的表現。
上述提到的兩點誤解也是造成學生數學焦慮和不滿的主要原因，所以我們必須要摒棄這兩個觀點。
如果能記住一些數學常識固然是好事。8+4=？我當然知道這個結果，但我是通過數學的情境學習掌握了加減乘除，而不是通過死記硬背、套用記憶去完成練習測試而掌握的數理。
我成長在英國比較開明的時期，當時小學初中都注重學生的全面發展，所以我不需要背那些加減乘除表。我從來沒被要求去死記硬背那些數學常識，但因為我的數感很好，而且我知道如何快速處理數字，所以我可以很快地掌握所需的數學常識。 即使我當了數學教授，數學常識記憶問題也從未成為阻礙我前進的絆腳石。
所以，讓學生培養數感、在理解與應用的過程中記憶數學常識、弄懂數字間的關係非常重要。
數感
在一個重要的研究項目中，研究人員在學生解決數字問題時對他們進行了研究（Gray & Tall）。這些 7~13 歲的學生，被他們的老師打上了成績好的、成績一般的與成績差的標籤。
他們發現，成績好的學生與成績差的學生的一個重要區別： 成績好的學生在解決數字問題時採用了我們眾所周知的數感，也就是理解數字的意義，並可以靈活使用數字；成績差的學生在解題過程中沒有用到任何數感。
成績好的學生將問題轉化為 20+6 來解決 19+7 的問題，但成績差的學生就不會，當成績差的學生被問到減法問題時，如：21-16，他們則從 21 開始倒數，把 16 個 1 從 21 中依次減掉，而成績好的學生會把這道題轉化為 20-15，這樣做就容易多了。
研究人員得出結論： 成績好與成績差的學生的區別不是成績差的學生掌握的數學知識少，而是他們不能靈活的運用數字。
可能是他們很小的時候就被要求去記憶標準解題方法，而不是被鼓勵使用數感來解決問題。這種錯誤的方式意味著他們所運用的數學是一種費力不討好的數學，但不幸的是，這些學習差的學生經常被認為是數學學習困難戶，所以老師和家長便給他們灌輸更多的標準解題方法，這就更加強了他們對數學的錯誤觀念：
數學的成功需要記憶解決問題，而不是理解概念和意義構建。這些成績差的學生從此便把數學的希望寄託於標準解題方法之上，最終導致他們一生都要非常艱難地與數學打交道。
數感是高等數學的基礎，學生代數不及格，往往是因為他們沒有數感。當學生們專註於對乘法表的記憶，那麼他們對數學的理解範圍就會非常有限，而且容易犯錯。
例如導致英國政治家全國性嘲笑的錯誤。 缺乏數感成績還導致了更大的災難性錯誤，比如哈勃望遠鏡錯過了預定在太空中拍攝的恆星——望遠鏡在尋找某個星團中的恆星，但由於有人在望遠鏡的編程中犯了算術錯誤而失敗了 （洛杉磯時報，1990年） 。
數感對學生的數學發展至關重要，但越是要求學生對數學死記硬背，他們越難培養數感，在數學領域的發展也會受到限制。
大腦與數感
有些學生不善於記憶數字常識，我們應該為這樣的學生感到慶幸，這也是人類生命多樣性的一種體現。大家可以想像一下，如果老師測試學生對數字常識的掌握情況，而所有的學生答題的方式和速度都一樣，就像機器人一樣，豈不是很可怕。
在最近的一項研究中，科學家對正在記憶數字常識的學生的大腦進行了研究，他們發現有些學生的記憶能力很強。可能大家都會認為記憶力強的學生就是數學能力比較強、比較聰明的學生。但研究人員卻發現，這些記憶力好的學生並沒有取得更好的成就，他們也不具備更多的數學能力，而且 IQ 測試成績也不高。
這些研究人員發現記憶力好與不好，學生的唯一的差別在於大腦的海馬體，這是大腦專門負責記憶的部分。學生們的記憶能力各異是一種普遍現象，這種現象和一個人的數學潛力沒有任何關係。有些學生在記憶時會慢一些，但他們仍然有特殊的數學潛力。
數學常識是數學的一個很小的組成部分，但不幸的是，那些沒有很好地記憶數學常識的學生，往往被認為他們在數學方面永遠不會成功，導致他們在數學學習的過程中偏離軌道，迷失方向。
英國和美國的老師要求學生記住乘法常識，有時也要記住加法和減法常識，通常是因為課程標準規定學生必須「數字流暢」。
Fosnot 和 Dolk 將數學的流暢度定義為「知道如何組合和分解數字，並利用這些信息靈活高效地解決問題」，由此可見，通過死記硬背掌握加減乘除，得出數字結果並不在這個流暢度的範疇中，盲目地記憶數字常識，不具有什麼實質的意義。
無論我們是否相信流暢度需要的僅僅是依靠記憶，研究都指向一個方向：發展數學流暢度最好的方法是發展數感，以及採用不同策略進行計算的學習方式。
當老師開始強調結果記憶，並以此來進行測試，往往就成為學生數學焦慮的開端。Sian Beilock 和她的同事研究了人腦共振成像，他們發現數學常識都存儲在大腦記憶區。
但當學生們處於壓力之下時，比如當他們需要在一定的時間內完成一定數量的數學題時，大腦的記憶區就會被堵塞，學生就無法調用存儲在哪裡的數學常識。當學生們意識到他們考試考不好時，焦慮就會產生，而且他們對數學的信心也會被削弱。
記憶的堵塞以及由此產生的焦慮在成績好的學生和女生中出現的情況比較多。保守估計顯示，有 1／3 的學生所患的數學焦慮症與限時考試有關，而且這些學生在各種人群中的分布是均勻的。一旦我們讓學生陷入容易產生焦慮的情境中，這些學生就失去了對數學的興趣。
據記載，出現數學焦慮症的最小年齡是五歲，而限時考試是導致這種終生焦慮的主要原因。在斯坦福大學，我碰到了很多有數學創傷的學生 （雖然在很多人眼裡，他們已經是佼佼者了） 。當我問他們為什麼討厭數學時，很多人說是由於二年級或者三年級時的限時考試，這些限時考試就是轉折點，在此之後，他們覺得自己不是學數學的料。
很多學生，尤其是女學生提到，她們在學習過程中需要深刻理解所學的數學知識，而當限時考試作為評價標準時，他們覺得深入思考並不被人們重視，所以就放棄了數學。
學生本可以在數學課上做一些更有意義的事情，比如意義構建或者深入思考，但限時考試給他們的暗示卻是快速記憶並應用數學常識才是數學的本質。這種狀況令人痛心疾首。我們可以看到這種側重記憶與考試的數學教學後果：學生們都紛紛放棄數學。
我女兒在五歲便開始記憶乘法表、參加限時考試，她一回到家就哭訴數學。這不是我們想讓孩子對數學產生的感情。只要我們將學生置於死記硬背數學常識的壓力之下，我們就不可能消除瀰漫於英國和美國的數學焦慮症以及孩子們對數學的厭惡情緒。
近年來，大腦研究人員發現，那些能夠啟用大腦多條不同路徑學習方式的學生，更傾向於在數學領域的學習中獲得成功。
學生掌握數學通常有兩種方式： 策略和記憶。 研究表明，通過策略學習的人往往比通過記憶學習的人有更優異的學習表現——他們可以實現舉一反三，將策略運用到新的問題上。
本文翻譯自斯坦福大學教授、倫敦國王學院研究員喬·博勒發表的論文《Fluency Without Fear》。
