柳暗花明又一村——讀《素數之戀》有感
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柳暗花明又一村
——讀《素數之戀》有感
作者：王進
作品編號：016
投稿時間：2019.7.12
對自然數的研究可能誕生於文明開始之時，之後，人們學會了分類，把除0,1外的自然數按因數的多少分為了素數和合數，於是，很多數學家便踏上了一個艱苦而美妙的漫長旅程，即對素數分布之謎的探索。
從古希臘先哲歐幾里得對素數無窮多絕妙的反證法，到20世紀70年代比利時數學家德利涅證明了代數上的韋伊猜想，再到同時期蒙哥馬利-奧德利茲克定理，《素數之戀》講訴了素數的前世今生。本書的作者是美國數學科普作家約翰·德比希爾（John Derbyshire），他以豐富的學識和嚴謹的態度寫出了這部科普書籍，全書幾乎不涉及到高等數學和複變函數，並不時出現幽默的話語，極大的改善了本書的可讀性和擴充了它的閱讀對象。
小學我們就接觸到了素數，很多人也聽到過一個在中國很知名有關於素數的猜想——哥德巴赫猜想，但是在數學家眼中，關於素數更重要的問題是黎曼猜想，而這個問題，也是《素數之戀》從始至終貫穿的主題。在古希臘愛琴海燦爛的陽光下，數學家們便對素數有了不少認識，歐幾里得利用所有素數連乘再加一，巧妙的反證了素數個數必為無窮，簡潔漂亮令人讚歎。全書第一章始於一個有趣的「紙牌遊戲」，兩張紙牌疊在一起，上面一張紙牌最多可以推多遠而不掉下來，答案顯而易見是1/2個紙牌寬度，如果是三張疊在一起，最上面那張紙牌顯然最多可以推1/2 1/4個寬度，如果是有n張呢，那可以推1/2 1/4 1/6 ··· 1/2（n-1）個寬度，這個距離是無窮大嗎？顯然，提出公因子1/2，學過一點微積分的人都知道這是非常特殊也很重要的一個級數，稱之為調和級數。調和級數是不收斂的，也就是當n趨於無窮大時，這個式子的值也趨於無窮大，但是，雖然它的值是發散的，但增加的非常之慢，100張紙牌的總伸出量約2.58869個紙牌寬度，而10000億張紙牌也僅僅只能伸出約14張紙牌的寬度。讀到這裡，包括我在內的很多讀者或許都會有這樣一個疑問，調和級數會和素數有啥關係？而他們的聯繫，正是暗合了我的標題，柳暗花明又一村，表面上似乎沒什麼聯繫的東西有時候也會蘊含有巨大的能量。
黎曼
任何牽涉到素數的問題一不下心都會變得巨難無比，可能是因為對素數的很多性質人們還不太清楚，在漫長的數學歷史中，第一次對素數的認識取得很大突破的是素數定理（PNT）的發現，而素數定理也是本書前半部分花了很大篇幅講述的，直接發現素數的分布規律似乎很難，那能不能發現其他不那麼精確的統計規律呢？有下面一張表：
從上面的這張表能發現什麼呢？可能我們一般人看到都會一頭霧水，但是高斯、勒讓德等人就從中發現了天機。那就是小於N的素數個數是服從規律的，如下表所示：
此時已經很明朗了，lnN與N/π(N)的大小很接近，寫作lnN ~ N/π(N)，改寫一下，就是素數定理：
素數定理另一個更重要誤差更少的表達：
素數定理當時被高斯、勒讓德發現時，還是猜想，之後正是在黎曼猜想的啟發下證明了素數定理，由此可見黎曼猜想的威力。
現在回過頭看前面提到的調和級數，此時開始由此級數引出的一些東西開始展露出巨大的力量。調和級數確實不收斂，但他收斂的如此之慢，事實上，他和lnx的大小差不多，將調和級數稍作擴展，有這樣一類在國內工科高數課本上稱之為p級數的重要級數，
現在我們知道p≤1（等於1時是調和級數）時級數發散，p＞1時級數收斂。1735年，年輕的歐拉做出了他生涯第一個大的成果，解出了著名的巴塞爾問題（即p=2時）的準確值，結果竟然是驚人的。稍微扯遠一點，筆者第一次在高中競賽書上看到這個結果時，感到十分的驚奇，和圓根本無關的問題居然會出現π，之後知道泰勒級數後，才明白得出這個結果需要涉及到三角函數，於是，π的出現也不算驚奇了。看，又是兩個表面上無關的東西產生了很深的聯繫。巴塞爾問題打開了通往黎曼ζ函數的大門，而黎曼ζ函數就是黎曼猜想的關注對象。下面就是黎曼ζ函數：
當然，此時這種表達式s的定義域並不是所有的複數甚至不是所有的實數，例如，當s為負數時，就不能簡單的由上式計算，不過可以看到，在某個定義域上（複平面實部＞1的區域），黎曼ζ函數就是這麼簡單，有時候，可能最簡單就是最複雜。
歐拉
那麼，黎曼ζ函數和素數有什麼關係呢，作者德比希爾循循善誘，花費了幾乎大半部分書的內容來仔細說明了它，通過「金鑰匙」（歐拉乘積公式），黎曼ζ函數與素數產生了聯繫，如下就是這個金鑰匙：
上式中，p是指素數，這個式子是通過巧妙的埃拉托色尼篩法得出的。
在金鑰匙中，黎曼ζ函數與素數建立了關係，但是之後如何使用呢，歐拉的工作就到此為止了，作為複分析的創始人之一，黎曼以其驚人的才華將黎曼ζ函數的定義域擴展到了整個複數，然後提出了著名的黎曼猜想。
黎 曼 猜 想
ζ函數的所有非平凡零點的實部都是1/2
在此我不將黎曼ζ函數在整個複數域上的式子寫出來，事實上全書也沒有給出那個表達式，那個式子有點嚇人，已經超過了大多數人的理解範圍。每一個負偶數，如-2，-4，-6，-8等都是它的零點，這不是黎曼猜想需要考慮的，按專業術語，這些是平凡零點。除去這些實數的零點，其他複數形式的零點正是黎曼考慮的，黎曼猜想正是說明了所有那些非平凡零點都在複平面實部為1/2的那條直線上，都有形如1/2 a*i的形式，事實上，前三個非平凡零點是1/2 14.134725i，1/2 21.022040i，1/2 25.010856i，確實都是這種形式。下圖顯示了在臨界線（實部為1/2的那條線）從a=0向上時，黎曼ζ函數的函數值，從ζ(1/2)即最左邊的約-1.46035處開始出發，開始連續不斷畫出類似圓的曲線不斷穿過零點的樣子。
圖1 臨界線上的那些點的函數值
臨界線上是不是包含有所有的非平凡零點呢（即黎曼猜想）？我們不得而知，不過在1914年，哈代（就是賞識了傳奇數學家拉馬努金的那位）證明了ζ函數確實有無窮多個零點在臨界線上。我們知道了「金鑰匙」，知道了黎曼ζ函數，進一步知道了黎曼猜想，可是我們還是不知道黎曼猜想和素數的分布有什麼關係，在1901年，就是證明PNT後的五年，瑞典數學家馮·科赫（Helge von Koch）證明出了一個結果，如果黎曼假設成立，那麼有：
上式中，O是確定函數界限的一種方式，由此可以看出，黎曼猜想對素數定理的余項給出了一個很精確的估計，素數定理只是黎曼猜想一個弱的推論。
作為一篇讀書感言，本應該更通俗簡略的講述一下文章內容就可以了，不過本書作為一篇極優秀的科普類文章，如果不把裡面的精華拿出來說一下那太可惜了，沒辦法，必須涉及到一些微積分知識，接下來，讓我們擰動金鑰匙，走進1859年黎曼論文的核心。
π(x)是素數計數函數，上文的一張表中已經給出了他的部分值，如何聯繫ζ函數和π(x)，這乍一看並沒有任何關係的兩個函數，在歐拉金鑰匙的聯繫下，緊緊糾纏在了一起。
圖2 素數計數函數
π(x)是一個階梯函數，在每個跳躍點（即素數）取一半的值，然後引入了另一個階梯函數——J函數，下面是J函數的定義，
看，這裡的每一項的係數也是不是像調和級數，J函數會在每一個素數，素數的平方，素數的立方......上跳躍。利用默比烏斯反演，我們得到了用J(x)表達的π(x)。
注意有些項已經沒有了，並且正負號也不同，參見默比烏斯函數。然後說了很久的金鑰匙終於擰動了，對金鑰匙兩邊取對數並用級數展開，得到了一個無窮和的無窮和，對其中每一項都可以用一個積分式來表示，並不複雜。然後對J(x)進行積分，顯然，這個積分趨於無窮大，於是用x-s-1乘以J(x)，並依次選取無窮多個素數分成無窮多個條帶進行積分，然後和金鑰匙展開後的類比，得到了微積分形式的金鑰匙，如下所示：
上面的式子將黎曼ζ函數和J(x)聯繫了起來，而π(x)又可以由J(x)表示出來，顯然，黎曼ζ函數和素數分布聯繫了起來，下面我直接給出結論:
就是這個看著很醜陋嚇人的式子，是1859年黎曼論文的主要結果，你可能會想ζ函數去哪了？其實他隱藏在第二項中了，ρ就是ζ函數的非平凡零點。於是，現在我們計算π(x)可以不用一個一個找出素數累加，又多了一種方法，直接用上面的幾個式子算出來。
到此，全書的精彩論文接近結束，在其中也穿插了代數學和物理學上的進展，黎曼猜想甚至與量子力學也聯繫了起來，又是「柳暗花明又一村」的篇章，雖然這些路徑並沒有徹底解決這個猜想，但同樣釋放出巨大的能量遠超黎曼那個時代了。
《素數之戀》成書於2002年，距離現在已經過去了17年，黎曼猜想也有了不少新進展，不時聽說有人宣稱證明了它，但克雷數學研究所的100萬獎金還沒發出去也就說明還沒有取得一致公認的證明。去年9月，知名數學家阿蒂亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，引起了軒然大波，正是在那股科普熱潮下，我買下了這本黎曼猜想的經典科普讀物仔細品讀了一番。筆者是工科研究生，讀起來相對輕鬆，除了極少部分的微積分外，高中生慢慢品讀也不會有壓力，讀完此書，除了感慨這些天才的傑出創造力外，也對平時的科研生活有些許幫助，有時候，往往看上去毫無聯繫的的東西也會有巨大的威力，要有充分的想像力和勇氣去接觸看著可能沒什麼聯繫的問題。學習時，需要多接觸其他知識和想法，一條路走不通不代表這個課題有問題，可以試試其他路徑，如把結構自振反應引入到地震工程中就產生了最重要的反應譜理論。善於聯繫，從多角度思考問題，跳出條條框框，有時候也不能太囿於感覺，直覺不一定正確，不能乍一看沒什麼關係，就不去接觸也不去思考了。
人們開始有素數這個概念很早很早，經歷了幾千年的發展，對素數的認識已大大加深，它最簡單又最困難，無規律而又有規律，它有著眾多表述簡單的命題吸引了很多人，也因這些看似簡單實則巨難的問題讓眾多數學家耗盡心血。如夢亦如幻，如露亦如電，素數還有著眾多的秘密隱藏在極深的未知處，需要一代又一代數學家拂開楊柳枝，踏過荊棘花，找到理想的桃花源。
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